Simulação de grande turbilhão - Large eddy simulation

A simulação de grande turbilhão ( LES ) é um modelo matemático para turbulência usado em dinâmica de fluidos computacional . Foi inicialmente proposto em 1963 por Joseph Smagorinsky para simular correntes de ar atmosféricas e explorado pela primeira vez por Deardorff (1970). O LES é atualmente aplicado em uma ampla variedade de aplicações de engenharia, incluindo combustão , acústica e simulações da camada limite atmosférica.

A simulação de fluxos turbulentos resolvendo numericamente as equações de Navier-Stokes requer a resolução de uma ampla gama de escalas de tempo e comprimento, todas afetando o campo de fluxo. Essa resolução pode ser alcançada com simulação numérica direta (DNS), mas o DNS é computacionalmente caro e seu custo proíbe a simulação de sistemas práticos de engenharia com geometria complexa ou configurações de fluxo, como jatos turbulentos, bombas, veículos e trem de pouso.

A ideia principal por trás do LES é reduzir o custo computacional, ignorando as menores escalas de comprimento, que são as mais caras do ponto de vista computacional para resolver, por meio da filtragem passa-baixa das equações de Navier-Stokes. Essa filtragem passa-baixa, que pode ser vista como uma média de tempo e espaço, remove efetivamente informações de pequena escala da solução numérica. Esta informação não é irrelevante, no entanto, e seu efeito no campo de fluxo deve ser modelado, uma tarefa que é uma área ativa de pesquisa para problemas em que pequenas escalas podem desempenhar um papel importante, como fluxos próximos à parede, fluxos reativos e fluxos multifásicos.

Definição e propriedades do filtro

Um filtro LES pode ser aplicado a um campo espacial e temporal e realizar uma operação de filtragem espacial, uma operação de filtragem temporal ou ambas. O campo filtrado, denotado por uma barra, é definido como: ${\ displaystyle \ phi ({\ boldsymbol {x}}, t)}$

${\ displaystyle {\ overline {\ phi ({\ boldsymbol {x}}, t)}} = \ displaystyle {\ int _ {- \ infty} ^ {\ infty}} \ int _ {- \ infty} ^ { \ infty} \ phi ({\ boldsymbol {r}}, \ tau) G ({\ boldsymbol {x}} - {\ boldsymbol {r}}, t- \ tau) d \ tau d {\ boldsymbol {r} }}$

onde está o kernel de convolução do filtro. Isso também pode ser escrito como: ${\ displaystyle G}$

${\ displaystyle {\ overline {\ phi}} = G \ star \ phi.}$

O kernel do filtro tem uma escala de comprimento de corte associada e uma escala de tempo de corte . Escalas menores do que essas são eliminadas . Usando a definição de filtro acima, qualquer campo pode ser dividido em uma parte filtrada e subfiltrada (denotada como principal), como ${\ displaystyle G}$${\ displaystyle \ Delta}$${\ displaystyle \ tau _ {c}}$${\ displaystyle {\ overline {\ phi}}}$${\ displaystyle \ phi}$

${\ displaystyle \ phi = {\ bar {\ phi}} + \ phi ^ {\ prime}.}$

É importante notar que a grande operação de filtragem de simulação de redemoinhos não satisfaz as propriedades de um operador Reynolds .

Equações reguladoras filtradas

As equações governantes do LES são obtidas filtrando as equações diferenciais parciais que governam o campo de fluxo . Existem diferenças entre as equações que regem o LES incompressível e compressível, que levam à definição de uma nova operação de filtragem. ${\ displaystyle \ rho {\ boldsymbol {u}} ({\ boldsymbol {x}}, t)}$

Fluxo incompressível

Para fluxo incompressível, a equação de continuidade e as equações de Navier-Stokes são filtradas, produzindo a equação de continuidade incompressível filtrada,

${\ displaystyle {\ frac {\ partial {\ bar {u_ {i}}}} {\ partial x_ {i}}} = 0}$

e as equações filtradas de Navier-Stokes,

${\ displaystyle {\ frac {\ partial {\ bar {u_ {i}}}} {\ partial t}} + {\ frac {\ partial} {\ partial x_ {j}}} \ left ({\ overline { u_ {i} u_ {j}}} \ right) = - {\ frac {1} {\ rho}} {\ frac {\ partial {\ overline {p}}} {\ partial x_ {i}}} + \ nu {\ frac {\ partial} {\ partial x_ {j}}} \ left ({\ frac {\ partial {\ bar {u_ {i}}}} {\ partial x_ {j}}} + {\ frac {\ partial {\ bar {u_ {j}}}} {\ partial x_ {i}}} \ right) = - {\ frac {1} {\ rho}} {\ frac {\ partial {\ overline { p}}} {\ parcial x_ {i}}} + 2 \ nu {\ frac {\ parcial} {\ parcial x_ {j}}} {\ bar {S}} _ {ij},}$

onde é o campo de pressão filtrado e é o tensor de taxa de deformação avaliado usando a velocidade filtrada. O termo de advecção filtrada não linear é a principal causa de dificuldade na modelagem LES. Requer conhecimento do campo de velocidade não filtrado, que é desconhecido, por isso deve ser modelado. A análise que se segue ilustra a dificuldade causada pela não linearidade, ou seja, que provoca interação entre grandes e pequenas escalas, evitando a separação de escalas. ${\ displaystyle {\ bar {p}}}$${\ displaystyle {\ bar {S}} _ {ij}}$${\ displaystyle {\ overline {u_ {i} u_ {j}}}}$

O termo de advecção filtrado pode ser dividido, conforme Leonard (1975), como:

${\ displaystyle {\ overline {u_ {i} u_ {j}}} = \ tau _ {ij} + {\ overline {u}} _ {i} {\ overline {u}} _ {j}}$

onde está o tensor de tensão residual, de modo que as equações de Navier-Stokes filtradas tornam-se ${\ displaystyle \ tau _ {ij}}$

${\ displaystyle {\ frac {\ partial {\ bar {u_ {i}}}} {\ partial t}} + {\ frac {\ partial} {\ partial x_ {j}}} \ left ({\ overline { u}} _ {i} {\ overline {u}} _ {j} \ right) = - {\ frac {1} {\ rho}} {\ frac {\ partial {\ overline {p}}} {\ parcial x_ {i}}} + 2 \ nu {\ frac {\ parcial} {\ parcial x_ {j}}} {\ bar {S}} _ {ij} - {\ frac {\ parcial \ tau _ {ij }} {\ parcial x_ {j}}}}$

com o tensor de tensão residual agrupando todos os termos não fechados. Leonard decompôs esse tensor de tensão e forneceu interpretações físicas para cada termo. , o tensor de Leonard representa as interações entre escalas grandes , o termo semelhante ao estresse de Reynolds representa as interações entre as escalas de subfiltro (SFS) e , o tensor de Clark, as interações entre escalas grandes e pequenas. Modelar o termo não fechado é a tarefa dos modelos em escala de sub-grade (SGS). Isso se torna um desafio pelo fato de que o tensor de tensão da subgrade deve levar em conta as interações entre todas as escalas, incluindo escalas filtradas com escalas não filtradas. ${\ displaystyle \ tau _ {ij}}$${\ displaystyle \ tau _ {ij} = L_ {ij} + C_ {ij} + R_ {ij}}$${\ displaystyle L_ {ij} = {\ overline {{\ bar {u}} _ {i} {\ bar {u}} _ {j}}} - {\ bar {u}} _ {i} {\ bar {u}} _ {j}}$${\ displaystyle R_ {ij} = {\ overline {u_ {i} ^ {\ prime} u_ {j} ^ {\ prime}}}}$${\ displaystyle C_ {ij} = {\ overline {{\ bar {u}} _ {i} u_ {j} ^ {\ prime}}} + {\ overline {{\ bar {u}} _ {j} u_ {i} ^ {\ prime}}}}$${\ displaystyle \ tau _ {ij}}$${\ displaystyle \ tau _ {ij}}$

A equação governante filtrada para um escalar passivo , como fração de mistura ou temperatura, pode ser escrita como ${\ displaystyle \ phi}$

${\ displaystyle {\ frac {\ partial {\ overline {\ phi}}} {\ partial t}} + {\ frac {\ partial} {\ partial x_ {j}}} \ left ({\ overline {u} } _ {j} {\ overline {\ phi}} \ right) = {\ frac {\ partial {\ overline {J _ {\ phi}}}} {\ partial x_ {j}}} + {\ frac {\ parcial q_ {j}} {\ parcial x_ {j}}}}$

onde está o fluxo difusivo de , e é o fluxo do subfiltro para o escalar . O fluxo difusivo filtrado não é fechado, a menos que uma forma particular seja assumida para ele, como um modelo de difusão gradiente . é definido analogamente a , ${\ displaystyle J _ {\ phi}}$${\ displaystyle \ phi}$${\ displaystyle q_ {j}}$${\ displaystyle \ phi}$${\ displaystyle {\ overline {J _ {\ phi}}}}$${\ displaystyle J _ {\ phi} = D _ {\ phi} {\ frac {\ partial \ phi} {\ partial x_ {i}}}}$${\ displaystyle q_ {j}}$${\ displaystyle \ tau _ {ij}}$

${\ displaystyle q_ {j} = {\ bar {\ phi}} {\ overline {u}} _ {j} - {\ overline {\ phi u_ {j}}}}$

e pode ser dividido em contribuições de interações entre várias escalas. Este fluxo de subfiltro também requer um modelo de subfiltro.

Derivação

Usando a notação de Einstein , as equações de Navier-Stokes para um fluido incompressível em coordenadas cartesianas são

${\ displaystyle {\ frac {\ partial u_ {i}} {\ partial x_ {i}}} = 0}$

${\ displaystyle {\ frac {\ parcial u_ {i}} {\ parcial t}} + {\ frac {\ parcial u_ {i} u_ {j}} {\ parcial x_ {j}}} = - {\ frac {1} {\ rho}} {\ frac {\ parcial p} {\ parcial x_ {i}}} + \ nu {\ frac {\ parcial ^ {2} u_ {i}} {\ parcial x_ {j} \ parcial x_ {j}}}.}$

Filtrar a equação de momentum resulta em

${\ displaystyle {\ overline {\ frac {\ parcial u_ {i}} {\ parcial t}}} + {\ overline {\ frac {\ parcial u_ {i} u_ {j}} {\ parcial x_ {j} }}} = - {\ overline {{\ frac {1} {\ rho}} {\ frac {\ partial p} {\ partial x_ {i}}}}} + {\ overline {\ nu {\ frac { \ parcial ^ {2} u_ {i}} {\ parcial x_ {j} \ parcial x_ {j}}}}}.}$

Se assumirmos que a filtragem e a diferenciação comutam, então

${\ displaystyle {\ frac {\ parcial {\ bar {u_ {i}}}} {\ parcial t}} + {\ overline {\ frac {\ parcial u_ {i} u_ {j}} {\ parcial x_ { j}}}} = - {\ frac {1} {\ rho}} {\ frac {\ parcial {\ bar {p}}} {\ parcial x_ {i}}} + \ nu {\ frac {\ parcial ^ {2} {\ bar {u_ {i}}}} {\ parcial x_ {j} \ parcial x_ {j}}}.}$

Esta equação modela as mudanças no tempo das variáveis ​​filtradas . Como as variáveis não filtradas não são conhecidas, é impossível calcular diretamente . No entanto, a quantidade é conhecida. Uma substituição é feita: ${\ displaystyle {\ bar {u_ {i}}}}$${\ displaystyle u_ {i}}$${\ displaystyle {\ overline {\ frac {\ parcial u_ {i} u_ {j}} {\ parcial x_ {j}}}}}$${\ displaystyle {\ frac {\ parcial {\ bar {u_ {i}}} {\ bar {u_ {j}}}} {\ parcial x_ {j}}}}$

${\ displaystyle {\ frac {\ parcial {\ bar {u_ {i}}}} {\ parcial t}} + {\ frac {\ parcial {\ bar {u_ {i}}} {\ bar {u_ {j }}}} {\ partial x_ {j}}} = - {\ frac {1} {\ rho}} {\ frac {\ partial {\ bar {p}}} {\ partial x_ {i}}} + \ nu {\ frac {\ partial ^ {2} {\ bar {u_ {i}}}} {\ partial x_ {j} \ partial x_ {j}}} - \ left ({\ overline {\ frac {\ parcial u_ {i} u_ {j}} {\ parcial x_ {j}}}} - {\ frac {\ parcial {\ bar {u_ {i}}} {\ bar {u_ {j}}}} {\ parcial x_ {j}}} \ right).}$

Deixe . O conjunto de equações resultante são as equações LES: ${\ displaystyle \ tau _ {ij} = {\ overline {u_ {i} u_ {j}}} - {\ bar {u}} _ {i} {\ bar {u}} _ {j}}$

${\ displaystyle {\ frac {\ parcial {\ bar {u_ {i}}}} {\ parcial t}} + {\ bar {u_ {j}}} {\ frac {\ parcial {\ bar {u_ {i }}}} {\ partial x_ {j}}} = - {\ frac {1} {\ rho}} {\ frac {\ partial {\ bar {p}}} {\ partial x_ {i}}} + \ nu {\ frac {\ parcial ^ {2} {\ bar {u_ {i}}}} {\ parcial x_ {j} \ parcial x_ {j}}} - {\ frac {\ parcial \ tau _ {ij }} {\ parcial x_ {j}}}.}$

Equações reguladoras compressíveis

Para as equações que regem o fluxo compressível, cada equação, começando com a conservação da massa, é filtrada. Isto dá:

${\ displaystyle {\ frac {\ partial {\ overline {\ rho}}} {\ partial t}} + {\ frac {\ partial {\ overline {u_ {i} \ rho}}} {\ partial x_ {i }}} = 0}$

o que resulta em um termo de subfiltro adicional. No entanto, é desejável evitar ter que modelar as escalas de subfiltro da equação de conservação de massa. Por esse motivo, Favre propôs uma operação de filtragem de densidade ponderada, chamada de filtragem de Favre, definida para uma quantidade arbitrária como: ${\ displaystyle \ phi}$

${\ displaystyle {\ tilde {\ phi}} = {\ frac {\ overline {\ rho \ phi}} {\ overline {\ rho}}}}$

que, no limite da incompressibilidade, torna-se a operação normal de filtragem. Isso torna a conservação da equação de massa:

${\ displaystyle {\ frac {\ partial {\ overline {\ rho}}} {\ partial t}} + {\ frac {\ partial {\ overline {\ rho}} {\ tilde {u_ {i}}}} {\ parcial x_ {i}}} = 0.}$

Este conceito pode então ser estendido para escrever a equação de momento filtrada por Favre para escoamento compressível. Seguindo Vreman:

${\ displaystyle {\ frac {\ partial {\ overline {\ rho}} {\ tilde {u_ {i}}}} {\ partial t}} + {\ frac {\ partial {\ overline {\ rho}} { \ tilde {u_ {i}}} {\ tilde {u_ {j}}}} {\ parcial x_ {j}}} + {\ frac {\ parcial {\ overline {p}}} {\ parcial x_ {i }}} - {\ frac {\ partial {\ tilde {\ sigma}} _ {ij}} {\ partial x_ {j}}} = - {\ frac {\ partial {\ overline {\ rho}} \ tau _ {ij} ^ {r}} {\ parcial x_ {j}}} + {\ frac {\ parcial} {\ parcial x_ {j}}} \ left ({\ overline {\ sigma}} _ {ij} - {\ tilde {\ sigma}} _ {ij} \ right)}$

onde está o tensor de tensão de cisalhamento, dado para um fluido newtoniano por: ${\ displaystyle \ sigma _ {ij}}$

${\ displaystyle \ sigma _ {ij} = 2 \ mu (T) S_ {ij} - {\ frac {2} {3}} \ mu (T) \ delta _ {ij} S_ {kk}}$

e o termo representa uma contribuição viscosa do subfiltro da avaliação da viscosidade usando a temperatura filtrada por Favre . O tensor de tensão da sub-grade para o campo de momento filtrado por Favre é dado por ${\ displaystyle {\ frac {\ partial} {\ partial x_ {j}}} \ left ({\ overline {\ sigma}} _ {ij} - {\ tilde {\ sigma}} _ {ij} \ right) }$${\ displaystyle \ mu (T)}$${\ displaystyle {\ tilde {T}}}$

${\ displaystyle \ tau _ {ij} ^ {r} = {\ widetilde {u_ {i} \ cdot u_ {j}}} - {\ tilde {u_ {i}}} {\ tilde {u_ {j}} }}$

Por analogia, a decomposição de Leonard também pode ser escrita para o tensor de tensão residual de um produto triplo filtrado . O produto triplo pode ser reescrito usando o operador de filtragem Favre como , que é um termo não fechado (requer conhecimento dos campos e , quando apenas os campos e são conhecidos). Ele pode ser quebrado de uma maneira análoga à anterior, o que resulta em um tensor de tensão de subfiltro . Este termo de subfiltro pode ser dividido em contribuições de três tipos de interações: o tensor de Leondard , representando interações entre escalas resolvidas; o tensor de Clark , representando interações entre escalas resolvidas e não resolvidas; e o tensor de Reynolds , que representa as interações entre escalas não resolvidas. ${\ displaystyle {\ overline {\ rho \ phi \ psi}}}$${\ displaystyle {\ overline {\ rho}} {\ widetilde {\ phi \ psi}}}$${\ displaystyle \ phi}$${\ displaystyle \ psi}$${\ displaystyle {\ tilde {\ phi}}}$${\ displaystyle {\ tilde {\ psi}}}$${\ displaystyle {\ overline {u_ {i} u_ {j}}}}$${\ displaystyle {\ overline {\ rho}} \ left ({\ widetilde {\ phi \ psi}} - {\ tilde {\ phi}} {\ tilde {\ psi}} \ right)}$${\ displaystyle L_ {ij}}$${\ displaystyle C_ {ij}}$${\ displaystyle R_ {ij}}$

Equação de energia cinética filtrada

Além das equações de massa e momento filtradas, filtrar a equação de energia cinética pode fornecer uma visão adicional. O campo de energia cinética pode ser filtrado para produzir a energia cinética filtrada total:

${\ displaystyle {\ overline {E}} = {\ frac {1} {2}} {\ overline {u_ {i} u_ {i}}}}$

e a energia cinética filtrada total pode ser decomposta em dois termos: a energia cinética do campo de velocidade filtrado , ${\ displaystyle E_ {f}}$

${\ displaystyle E_ {f} = {\ frac {1} {2}} {\ overline {u_ {i}}} \, {\ overline {u_ {i}}}}$

e a energia cinética residual , ${\ displaystyle k_ {r}}$

${\ displaystyle k_ {r} = {\ frac {1} {2}} {\ overline {u_ {i} u_ {i}}} - {\ frac {1} {2}} {\ overline {u_ {i }}} \, {\ overline {u_ {i}}} = {\ frac {1} {2}} \ tau _ {ii} ^ {r}}$

tal que . ${\ displaystyle {\ overline {E}} = E_ {f} + k_ {r}}$

A equação de conservação para pode ser obtida multiplicando a equação de transporte de momento filtrado por para produzir: ${\ displaystyle E_ {f}}$${\ displaystyle {\ overline {u_ {i}}}}$

${\ displaystyle {\ frac {\ partial E_ {f}} {\ partial t}} + {\ overline {u_ {j}}} {\ frac {\ partial E_ {f}} {\ partial x_ {j}} } + {\ frac {1} {\ rho}} {\ frac {\ parcial {\ overline {u_ {i}}} {\ bar {p}}} {\ parcial x_ {i}}} + {\ frac {\ parcial {\ overline {u_ {i}}} \ tau _ {ij} ^ {r}} {\ parcial x_ {j}}} - 2 \ nu {\ frac {\ parcial {\ overline {u_ {i }}} {\ bar {S_ {ij}}}} {\ partial x_ {j}}} = - \ epsilon _ {f} - \ Pi}$

onde é a dissipação da energia cinética do campo de velocidade filtrado por tensão viscosa e representa a dissipação da escala do subfiltro (SFS) da energia cinética. ${\ displaystyle \ epsilon _ {f} = 2 \ nu {\ bar {S_ {ij}}} {\ bar {S_ {ij}}}}$${\ displaystyle \ Pi = - \ tau _ {ij} ^ {r} {\ bar {S_ {ij}}}}$

Os termos do lado esquerdo representam transporte e os termos do lado direito são termos de dissipação que dissipam energia cinética.

O termo de dissipação SFS é de particular interesse, uma vez que representa a transferência de energia de grandes escalas resolvidas para pequenas escalas não resolvidas. Em média, transfere energia de grande para pequena escala. No entanto, instantaneamente pode ser positivo ou negativo, o que significa que também pode atuar como um termo fonte para a energia cinética do campo de velocidade filtrado. A transferência de energia de escalas não resolvidas para escalas resolvidas é chamada de retroespalhamento (e da mesma forma a transferência de energia de escalas resolvidas para não resolvidas é chamada de dispersão para frente ). ${\ displaystyle \ Pi}$${\ displaystyle \ Pi}$${\ displaystyle \ Pi}$${\ displaystyle E_ {f}}$

Métodos numéricos para LES

A simulação de grande turbilhão envolve a solução para as equações governantes filtradas discretas usando dinâmica de fluidos computacional . O LES resolve escalas desde o tamanho do domínio até o tamanho do filtro e, como tal, uma parte substancial das flutuações turbulentas de alto número de onda deve ser resolvida. Isso requer esquemas numéricos de alta ordem ou resolução de grade fina se forem usados ​​esquemas numéricos de baixa ordem. O capítulo 13 de Pope aborda a questão de quão fina uma resolução de grade é necessária para resolver um campo de velocidade filtrado . Ghosal descobriu que para esquemas de discretização de ordem inferior, como aqueles usados ​​em métodos de volume finito, o erro de truncamento pode ser da mesma ordem que as contribuições da escala do subfiltro, a menos que a largura do filtro seja consideravelmente maior do que o espaçamento da grade . Embora os esquemas de ordem par tenham erro de truncamento, eles são não dissipativos e, como os modelos em escala de subfiltro são dissipativos, os esquemas de ordem par não afetarão as contribuições do modelo em escala de subfiltro tão fortemente quanto os esquemas dissipativos. ${\ displaystyle L}$${\ displaystyle \ Delta}$${\ displaystyle \ Delta x}$${\ displaystyle {\ overline {u}} ({\ boldsymbol {x}})}$${\ displaystyle \ Delta}$${\ displaystyle \ Delta x}$

Implementação de filtro

A operação de filtragem na simulação de grande turbilhão pode ser implícita ou explícita. A filtragem implícita reconhece que o modelo em escala do subfiltro se dissipará da mesma maneira que muitos esquemas numéricos. Desta forma, a grade, ou o esquema de discretização numérica, pode ser assumido como o filtro passa-baixa LES. Embora isso aproveite ao máximo a resolução da grade e elimine o custo computacional de calcular um termo de modelo de escala de subfiltro, é difícil determinar a forma do filtro LES que está associado a alguns problemas numéricos. Além disso, o erro de truncamento também pode se tornar um problema.

Na filtragem explícita, um filtro LES é aplicado às equações de Navier-Stokes discretizadas, fornecendo uma forma de filtro bem definida e reduzindo o erro de truncamento. No entanto, a filtragem explícita requer uma grade mais fina do que a filtragem implícita, e o custo computacional aumenta com . O Capítulo 8 de Sagaut (2006) cobre os números do LES com mais detalhes. ${\ displaystyle (\ Delta x) ^ {4}}$

Condições de limite de grandes simulações de redemoinhos

As condições de limite de entrada afetam significativamente a precisão do LES, e o tratamento das condições de entrada para LES é um problema complicado. Teoricamente, uma boa condição de limite para LES deve conter os seguintes recursos:

(1) fornecer informações precisas sobre as características do fluxo, ou seja, velocidade e turbulência;

(2) satisfazer as equações de Navier-Stokes e outras físicas;

(3) ser fácil de implementar e ajustar a diferentes casos.

Atualmente, os métodos de geração de condições de entrada para LES são amplamente divididos em duas categorias classificadas por Tabor et al .:

O primeiro método para gerar entradas turbulentas é sintetizá-las de acordo com casos particulares, tais como técnicas de Fourier, princípio de decomposição ortogonal (POD) e métodos de vórtice. As técnicas de síntese tentam construir um campo turbulento em entradas que têm propriedades semelhantes à turbulência e tornam mais fácil especificar os parâmetros da turbulência, como energia cinética turbulenta e taxa de dissipação turbulenta. Além disso, as condições de entrada geradas pelo uso de números aleatórios são computacionalmente baratas. No entanto, existe uma desvantagem séria no método. A turbulência sintetizada não satisfaz a estrutura física do escoamento do fluido governado pelas equações de Navier-Stokes.

O segundo método envolve um cálculo separado e precursor para gerar um banco de dados turbulento que pode ser introduzido no cálculo principal nas entradas. O banco de dados (às vezes chamado de 'biblioteca') pode ser gerado de várias maneiras, como domínios cíclicos, biblioteca pré-preparada e mapeamento interno. No entanto, o método de geração de influxo turbulento por simulações de precursores requer grande capacidade de cálculo.

Os pesquisadores que examinaram a aplicação de vários tipos de cálculos sintéticos e precursores descobriram que quanto mais realista a turbulência da entrada, mais preciso o LES prevê os resultados.

Modelagem de escalas não resolvidas

Para discutir a modelagem de escalas não resolvidas, primeiro as escalas não resolvidas devem ser classificadas. Eles se enquadram em dois grupos: escalas de subfiltro resolvidas (SFS) e escalas de sub-grade (SGS).

As escalas de subfiltro resolvidas representam as escalas com números de onda maiores que o número de onda de corte , mas cujos efeitos são amortecidos pelo filtro. Escalas de subfiltro resolvidas só existem quando filtros não locais no espaço de onda são usados ​​(como uma caixa ou filtro Gaussiano ). Essas escalas de subfiltro resolvidas devem ser modeladas usando a reconstrução do filtro. ${\ displaystyle k_ {c}}$

As escalas da sub-grade são quaisquer escalas menores do que a largura do filtro de corte . A forma do modelo SGS depende da implementação do filtro. Conforme mencionado na seção Métodos numéricos para LES , se o LES implícito for considerado, nenhum modelo SGS é implementado e os efeitos numéricos da discretização são assumidos para mimetizar a física dos movimentos turbulentos não resolvidos. ${\ displaystyle \ Delta}$

Modelos em escala de sub-grade

Sem uma descrição universalmente válida de turbulência, a informação empírica deve ser utilizada ao construir e aplicar modelos SGS, complementados com restrições físicas fundamentais, como invariância Galileana . Existem duas classes de modelos SGS; a primeira classe é de modelos funcionais e a segunda classe é de modelos estruturais . Alguns modelos podem ser classificados como ambos.

Modelos funcionais (viscosidade turbulenta)

Os modelos funcionais são mais simples do que os modelos estruturais, focando apenas na dissipação de energia a uma taxa fisicamente correta. Eles são baseados em uma abordagem de viscosidade turbulenta artificial, onde os efeitos da turbulência são agrupados em uma viscosidade turbulenta. A abordagem trata a dissipação de energia cinética em escalas de sub-grade como análoga à difusão molecular. Neste caso, a parte desviante de é modelada como: ${\ displaystyle \ tau _ {ij}}$

${\ displaystyle \ tau _ {ij} ^ {r} - {\ frac {1} {3}} \ tau _ {kk} \ delta _ {ij} = - 2 \ nu _ {\ mathrm {t}} { \ bar {S}} _ {ij}}$

onde é a viscosidade turbulenta do redemoinho e é o tensor da taxa de deformação. ${\ displaystyle \ nu _ {\ mathrm {t}}}$${\ displaystyle {\ bar {S}} _ {ij} = {\ frac {1} {2}} \ left ({\ frac {\ partial {\ bar {u}} _ {i}} {\ partial x_ {j}}} + {\ frac {\ partial {\ bar {u}} _ {j}} {\ partial x_ {i}}} \ right)}$

Com base na análise dimensional, a viscosidade turbulenta deve ter unidades de . A maioria dos modelos SGS de viscosidade parasita modelam a viscosidade parasita como o produto de uma escala de comprimento característica e uma escala de velocidade característica. ${\ displaystyle \ left [\ nu _ {\ mathrm {t}} \ right] = {\ frac {\ mathrm {m ^ {2}}} {\ mathrm {s}}}}$

Modelo Smagorinsky – Lilly

O primeiro modelo SGS desenvolvido foi o modelo Smagorinsky – Lilly SGS, que foi desenvolvido por Smagorinsky e usado na primeira simulação LES por Deardorff. Ele modela a viscosidade turbulenta como:

${\ displaystyle \ nu _ {\ mathrm {t}} = C \ Delta ^ {2} {\ sqrt {2 {\ bar {S}} _ {ij} {\ bar {S}} _ {ij}}} = C \ Delta ^ {2} \ left | {\ bar {S}} \ right |}$

onde é o tamanho da grade e é uma constante. ${\ displaystyle \ Delta}$${\ displaystyle C}$

Este método assume que a produção e dissipação de energia em pequenas escalas estão em equilíbrio - isto é ,. ${\ displaystyle \ epsilon = \ Pi}$

O modelo dinâmico (Germano et. Al e além)

Germano et al. identificou uma série de estudos usando o modelo de Smagorinsky em que cada um encontrou valores diferentes para a constante de Smagorinsky para diferentes configurações de fluxo. Na tentativa de formular uma abordagem mais universal para os modelos SGS, Germano et al. propôs um modelo Smagorinsky dinâmico, que utilizou dois filtros: um filtro LES de grade, denotado , e um filtro LES de teste, denotado para qualquer campo turbulento . O filtro de teste é maior em tamanho do que o filtro de grade e adiciona uma suavização adicional do campo de turbulência sobre os campos já suavizados representados pelo LES. Aplicar o filtro de teste às equações LES (que são obtidas aplicando o filtro "grade" às ​​equações de Navier-Stokes) resulta em um novo conjunto de equações que são idênticas na forma, mas com a tensão SGS substituída por . Germano {\ it et} al. observou que, embora nem nem possa ser calculado exatamente por causa da presença de escalas não resolvidas, há uma relação exata conectando esses dois tensores. Essa relação, conhecida como identidade de Germano é Aqui, pode ser avaliada explicitamente, pois envolve apenas as velocidades filtradas e a operação de filtragem de teste. O significado da identidade é que, se alguém assumir que a turbulência é auto-semelhante, de modo que o estresse SGS na grade e nos níveis de teste têm a mesma forma e , então, a identidade de Germano fornece uma equação a partir da qual o coeficiente de Smagorinsky (que não é mais um 'constante') pode ser potencialmente determinada. [Inerente ao procedimento está a suposição de que o coeficiente é invariante de escala (ver revisão)]. Para fazer isso, duas etapas adicionais foram introduzidas na formulação original. Em primeiro lugar, supôs-se que, embora fosse em princípio variável, a variação era suficientemente lenta para poder ser movida para fora da operação de filtragem . Em segundo lugar, como era escalar, a identidade de Germano foi contraída com um tensor de segunda categoria (a taxa do tensor de deformação foi escolhida) para convertê-la em uma equação escalar a partir da qual poderia ser determinada. Lilly encontrou uma abordagem menos arbitrária e, portanto, mais satisfatória para obter C da identidade do tensor. Ele observou que a identidade de Germano exigia a satisfação de nove equações em cada ponto no espaço (das quais apenas cinco são independentes) para uma única quantidade . O problema de obtenção foi, portanto, sobredeterminado. Ele propôs, portanto, que fosse determinado usando um ajuste de mínimos quadrados, minimizando os resíduos. Isto resulta em ${\ displaystyle C}$${\ displaystyle {\ overline {f}}}$${\ displaystyle {\ hat {f}}}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle \ tau _ {ij} = {\ overline {u_ {i} u_ {j}}} - {\ bar {u}} _ {i} {\ bar {u}} _ {j}}$${\ displaystyle T_ {ij} = {\ widehat {\ overline {u_ {i} u_ {j}}}} - {\ hat {\ bar {u}}} _ {i} {\ hat {\ bar {u }}} _ {j}}$${\ displaystyle \ tau _ {ij}}$${\ displaystyle T_ {ij}}$${\ displaystyle L_ {ij} = T_ {ij} - {\ hat {\ tau}} _ {ij}.}$${\ displaystyle L_ {ij} = {\ widehat {{\ bar {u}} _ {i} {\ bar {u}} _ {j}}} - {\ widehat {{\ bar {u}} _ { i}}} {\ widehat {{\ bar {u}} _ {j}}}}$${\ displaystyle \ tau _ {ij} - (\ tau _ {kk} / 3) \ delta _ {ij} = - 2C \ Delta ^ {2} | {\ bar {S}} _ {ij} | {\ bar {S}} _ {ij}}$${\ displaystyle T_ {ij} - (T_ {kk} / 3) \ delta _ {ij} = - 2C {\ hat {\ Delta}} ^ {2} | {\ hat {\ bar {S}}} _ {ij} | {\ hat {\ bar {S}}} _ {ij}}$${\ displaystyle C}$${\ displaystyle C}$${\ displaystyle C}$${\ displaystyle {\ widehat {C (.)}} = C {\ widehat {(.)}}}$${\ displaystyle C}$${\ displaystyle C}$${\ displaystyle C}$${\ displaystyle C}$${\ displaystyle C}$

${\ displaystyle C = {\ frac {L_ {ij} m_ {ij}} {m_ {kl} m_ {kl}}}.}$

Aqui

${\ displaystyle m_ {ij} = \ alpha _ {ij} - {\ widehat {\ beta}} _ {ij}}$

e para resumir , as tentativas iniciais de implementar o modelo em simulações LES não tiveram sucesso. Primeiro, o coeficiente calculado não estava "variando lentamente" como assumido e variou tanto quanto qualquer outro campo turbulento. Em segundo lugar, o calculado pode ser positivo ou negativo. O último fato em si não deve ser considerado uma lacuna, pois os testes a priori usando campos DNS filtrados mostraram que a taxa de dissipação da sub-rede local em um campo turbulento é quase tão provável de ser negativa quanto positiva, embora a integral sobre o fluido domínio é sempre positivo, representando uma dissipação líquida de energia em grandes escalas. Uma ligeira preponderância de valores positivos em oposição à positividade estrita da viscosidade turbulenta resulta na dissipação líquida observada. Este chamado "retroespalhamento" de energia de escalas pequenas para grandes realmente corresponde a valores negativos de C no modelo de Smagorinsky. No entanto, a formulação Germano-Lilly não resultou em cálculos estáveis. Uma medida ad hoc foi adotada pela média do numerador e denominador sobre direções homogêneas (onde tais direções existem no fluxo) ${\ displaystyle \ alpha _ {ij} = - 2 {\ hat {\ Delta}} ^ {2} | {\ hat {\ bar {S}}} | {\ hat {\ bar {S}}} _ { eu j}}$${\ displaystyle \ beta _ {ij} = - 2 \ Delta ^ {2} | {\ bar {S}} | {\ bar {S}} _ {ij}}$${\ displaystyle C}$${\ displaystyle - \ tau _ {ij} {\ bar {S}} _ {ij}}$

${\ displaystyle C = {\ frac {\ left \ langle L_ {ij} m_ {ij} \ right \ rangle} {\ left \ langle m_ {kl} m_ {kl} \ right \ rangle}}.}$

Quando a média envolvia uma amostra estatística grande o suficiente para que o cálculo fosse positivo (ou pelo menos raramente negativo), cálculos estáveis ​​eram possíveis. Simplesmente definir os valores negativos para zero (um procedimento chamado "recorte") com ou sem a média também resultou em cálculos estáveis. Meneveau propôs uma média sobre as trajetórias dos fluidos de Lagrange com uma "memória" exponencialmente decadente. Isso pode ser aplicado a problemas sem direções homogêneas e pode ser estável se o tempo efetivo durante o qual a média é feita for longo o suficiente, mas não tão longo a ponto de suavizar as desomogenias espaciais de interesse. ${\ displaystyle C}$

A modificação de Lilly do método de Germano seguida por uma média estatística ou remoção sintética de regiões de viscosidade negativa parece ad hoc, mesmo que pudesse "funcionar". Uma formulação alternativa do procedimento de minimização de mínimos quadrados conhecido como "Modelo de Localização Dinâmica" (DLM) foi sugerida por Ghosal et al. Nesta abordagem, primeiro se define uma quantidade

${\ displaystyle E_ {ij} = L_ {ij} -T_ {ij} + {\ hat {\ tau}} _ {ij}}$

com os tensores e substituídos pelo modelo SGS apropriado. Este tensor então representa a quantidade pela qual o modelo de subgrade falha em respeitar a identidade de Germano em cada localização espacial. Na abordagem de Lilly, é então puxado para fora do operador de chapéu ${\ displaystyle \ tau _ {ij}}$${\ displaystyle T_ {ij}}$${\ displaystyle C}$

${\ displaystyle {\ widehat {C (.)}} = C {\ widehat {(.)}}}$

fazer uma função algébrica da qual é então determinada exigindo que considerada como uma função de C tenha o menor valor possível. No entanto, uma vez que o assim obtido acaba sendo tão variável quanto qualquer outra quantidade flutuante na turbulência, a suposição original da constância de não pode ser justificada a posteriori. Na abordagem DLM, evita-se essa inconsistência não invocando a etapa de remoção de C da operação de filtragem de teste. Em vez disso, define-se um erro global em todo o domínio de fluxo pela quantidade ${\ displaystyle E_ {ij}}$${\ displaystyle C}$${\ displaystyle E_ {ij} E_ {ij}}$${\ displaystyle C}$${\ displaystyle C}$

${\ displaystyle E [C] = \ int E_ {ij} E_ {ij} dV}$

onde a integral varia sobre todo o volume de fluido. Este erro global é então um funcional da função variável espacialmente (aqui o instante de tempo,, é fixo e, portanto, aparece apenas como um parâmetro) que é determinado de modo a minimizar este funcional. A solução para este problema variacional é que deve satisfazer uma equação integral de Fredholm de segundo tipo ${\ displaystyle E [C (x, y, z, t)]}$${\ displaystyle C (x, y, z, t)}$${\ displaystyle t}$${\ displaystyle C}$

${\ displaystyle C ({\ boldsymbol {x}}) = f ({\ boldsymbol {x}}) + \ int K ({\ boldsymbol {x}}, {\ boldsymbol {y}}) C ({\ boldsymbol {y}}) d {\ boldsymbol {y}}}$

onde as funções e são definidas em termos dos campos resolvidos e são, portanto, conhecidos em cada etapa de tempo e os intervalos integrais sobre todo o domínio do fluido. A equação integral é resolvida numericamente por um procedimento de iteração e a convergência é geralmente rápida se usada com um esquema de pré-condicionamento. Embora essa abordagem variacional remova uma inconsistência inerente à abordagem de Lilly, o obtido a partir da equação integral ainda exibia a instabilidade associada às viscosidades negativas. Isso pode ser resolvido insistindo em que seja minimizado sujeito à restrição . Isso leva a uma equação que não é linear ${\ displaystyle K ({\ boldsymbol {x}}, {\ boldsymbol {y}})}$${\ displaystyle f ({\ boldsymbol {x}})}$${\ displaystyle L_ {ij}, \ alpha _ {ij}, \ beta _ {ij}}$${\ displaystyle C (x, y, z, t)}$${\ displaystyle E [C]}$${\ displaystyle C (x, y, z, t) \ geq 0}$${\ displaystyle C}$

${\ displaystyle C ({\ boldsymbol {x}}) = \ left [f ({\ boldsymbol {x}}) + \ int K ({\ boldsymbol {x}}, {\ boldsymbol {y}}) C ( {\ boldsymbol {y}}) d {\ boldsymbol {y}} \ right] _ {+}}$

Aqui, o sufixo + indica a "parte positiva de", isto é ,. Mesmo que superficialmente pareça um "recorte", não é um esquema ad hoc, mas uma solução genuína do problema variacional restrito. Este modelo DLM (+) foi considerado estável e produziu excelentes resultados para turbulência isotrópica forçada e decadente, fluxos de canal e uma variedade de outras geometrias mais complexas. Se um fluxo tiver direções homogêneas (digamos as direções x e z), então pode-se introduzir o ansatz . A abordagem variacional então produz imediatamente o resultado de Lilly com média sobre direções homogêneas, sem qualquer necessidade de modificações ad hoc de um resultado anterior. ${\ displaystyle x _ {+} = (x + | x |) / 2}$${\ displaystyle C = C (y, t)}$

Uma deficiência do modelo DLM (+) era que ele não descrevia o retroespalhamento, que é conhecido por ser uma "coisa" real na análise de dados DNS. Duas abordagens foram desenvolvidas para resolver isso. Em uma abordagem devido a Carati et al. uma força flutuante com amplitude determinada pelo teorema da flutuação-dissipação é adicionada em analogia à teoria da hidrodinâmica flutuante de Landau. Na segunda abordagem, nota-se que qualquer energia "retroespalhada" aparece nas escalas resolvidas apenas à custa da energia nas escalas da subgrade. O DLM pode ser modificado de uma maneira simples para levar em consideração esse fato físico, de modo a permitir retroespalhamento enquanto é inerentemente estável. Esta versão da equação k do DLM, DLM (k) substitui no modelo de viscosidade turbulenta de Smagorinsky por uma escala de velocidade apropriada. O procedimento para determinar permanece idêntico à versão "irrestrita", exceto que os tensores , onde a energia cinética da escala do subteste K está relacionada à energia cinética da escala da subgrade k por (segue tomando o traço da identidade de Germano). Para determinar k, agora usamos uma equação de transporte ${\ displaystyle \ Delta | {\ bar {S}} |}$${\ displaystyle {\ sqrt {k}}}$${\ displaystyle C}$${\ displaystyle \ alpha _ {ij} = - 2 {\ hat {\ Delta}} {\ sqrt {K}} {\ hat {\ bar {S}}} _ {ij}}$${\ displaystyle \ beta _ {ij} = - 2 {\ hat {\ Delta}} {\ sqrt {k}} {\ bar {S}} _ {ij}}$${\ displaystyle K = k + L_ {ii} / 2}$

${\ displaystyle {\ frac {\ partial k} {\ partial t}} + u_ {j} {\ frac {\ partial k} {\ partial x_ {j}}} = - \ tau _ {ij} {\ bar {S}} _ {ij} - {\ frac {C _ {*}} {\ Delta}} k ^ {3/2} + {\ frac {\ partial} {\ partial x_ {j}}} \ left ( D \ Delta {\ sqrt {k}} {\ frac {\ parcial k} {\ parcial x_ {j}}} \ direita) + \ nu {\ frac {\ parcial ^ {2} k} {\ parcial x_ { j} \ parcial x_ {j}}}}$

onde é a viscosidade cinemática e são coeficientes positivos que representam a dissipação e a difusão da energia cinética, respectivamente. Estes podem ser determinados seguindo o procedimento dinâmico com minimização restrita como em DLM (+). Esta abordagem, embora mais cara de implementar do que o DLM (+), foi considerada estável e resultou em boa concordância com os dados experimentais para uma variedade de fluxos testados. Além disso, é matematicamente impossível para o DLM (k) resultar em um cálculo instável, visto que a soma das energias de grande escala e SGS não aumenta por construção. Ambas as abordagens incorporando retroespalhamento funcionam bem. Eles geram modelos que são ligeiramente menos dissipativos com desempenho um pouco melhorado em relação ao DLM (+). O modelo DLM (k) adicionalmente produz a energia cinética da subgrade, que pode ser uma quantidade física de interesse. Essas melhorias são obtidas a um custo um pouco maior na implementação do modelo. ${\ displaystyle \ nu}$${\ displaystyle C _ {*}, D}$

O Modelo Dinâmico se originou no Programa de Verão de 1990 do Centro de Pesquisa de Turbulência (CTR) da Universidade de Stanford . Uma série de seminários "CTR-Tea" celebrou o 30º aniversário deste importante marco na modelagem de turbulência.

Modelos estruturais

Veja também

• Simulação numérica direta
• Mecânica dos fluidos
• Invariância de Galileu - uma propriedade importante de certos tipos de filtros
• Equações médias de Navier-Stokes de Reynolds
• Turbulência

Leitura adicional

• Heus, T .; van Heerwaarden, CC; Jonker, HJJ; Pier Siebesma, A .; Axelsen, S. « Formulation of the Dutch Atmospheric Large-Eddy Simulation (DALES) e visão geral de suas aplicações »  Geoscientific Model Development , 3, 2, 30-09-2010, pàg. 415–444. DOI : 10.5194 / gmd-3-415-2010 . ISSN : 1991-9603.

Referências