Lente (geometria) - Lens (geometry)

Uma lente contida entre dois arcos circulares de raio R e centros em O ₁ e O ₂

Na geometria bidimensional , uma lente é uma região convexa limitada por dois arcos circulares unidos entre si em seus pontos finais. Para que esta forma seja convexa, ambos os arcos devem se curvar para fora (convexo-convexo). Esta forma pode ser formada como a interseção de dois discos circulares . Também pode ser formado como a união de dois segmentos circulares (regiões entre a corda de um círculo e o próprio círculo), unidos ao longo de um acorde comum.

Tipos

Exemplo de duas lentes assimétricas (esquerda e direita) e uma lente simétrica (no meio)

A Vesica piscis é a intersecção de dois discos com o mesmo raio, R, e com a distância entre os centros também igual a R.

Se os dois arcos de uma lente têm raios iguais, é chamada de lente simétrica ; caso contrário, é uma lente assimétrica .

A vesica piscis é uma forma de lente simétrica, formada por arcos de dois círculos cujos centros estão cada um no arco oposto. Os arcos se encontram em ângulos de 120 ° em seus pontos finais.

Área

Simétrico

A área de uma lente simétrica pode ser expressa em termos de raio R e comprimentos de arco θ em radianos:

${\ displaystyle A = R ^ {2} \ left (\ theta - \ sin \ theta \ right).}$

Assimétrico

A área de uma lente assimétrica formada por círculos de raios R e r com distância d entre seus centros é

${\ displaystyle A = r ^ {2} \ cos ^ {- 1} \ left ({\ frac {d ^ {2} + r ^ {2} -R ^ {2}} {2dr}} \ right) + R ^ {2} \ cos ^ {- 1} \ left ({\ frac {d ^ {2} + R ^ {2} -r ^ {2}} {2dR}} \ right) -2 \ Delta}$

Onde

${\ displaystyle \ Delta = {\ frac {1} {4}} {\ sqrt {(-d + r + R) (d-r + R) (d + rR) (d + r + R)}}}$

é a área de um triângulo com lados d , R , e R .

Formulários

Uma lente com uma forma diferente faz parte da resposta ao problema da Sra. Miniver , que pergunta como dividir a área de um disco por um arco de outro círculo com determinado raio. Uma das duas áreas nas quais o disco é dividido ao meio é uma lente.

Lentes são usadas para definir esqueletos beta , gráficos geométricos definidos em um conjunto de pontos conectando pares de pontos por uma aresta sempre que uma lente determinada pelos dois pontos está vazia.

Veja também

• Lune , uma forma não convexa relacionada formada por dois arcos circulares, um curvando-se para fora e o outro para dentro
• Limão , criado por uma lente girada em torno de um eixo através de suas pontas.

Um limão .

Referências

• Pedoe, D. (1995). "Circles: A Mathematical View, rev. Ed". Washington, DC: Math. Assoc. Amer .
• Plummer, H. (1960). Um Tratado Introdutório de Astronomia Dinâmica . York: Dover.
• Watson, GN (1966). Um Tratado sobre a Teoria das Funções de Bessel, 2ª ed . Cambridge, Inglaterra: Cambridge University Press.