Teorema de Lions-Lax-Milgram - Lions–Lax–Milgram theorem

Em matemática , o teorema de Lions-Lax-Milgram (ou simplesmente teorema de Lions ) é um resultado na análise funcional com aplicações no estudo de equações diferenciais parciais . É uma generalização do famoso teorema de Lax-Milgram , que fornece condições sob as quais uma função bilinear pode ser "invertida" para mostrar a existência e a unicidade de uma solução fraca para um determinado problema de valor de contorno . O resultado leva o nome dos matemáticos Jacques-Louis Lions , Peter Lax e Arthur Milgram .

Declaração do teorema

Seja H um espaço de Hilbert e V um espaço normatizado . Seja B  :  H  ×  V  →  R uma função contínua , bilinear. Então, o seguinte é equivalente:

• ( coercividade ) para alguma constante c  > 0,

${\ displaystyle \ inf _ {\ | v \ | _ {V} = 1} \ sup _ {\ | h \ | _ {H} \ leq 1} | B (h, v) | \ geq c;}$

• (existência de um "inverso fraco") para cada funcional linear contínuo f  ∈  V ^∗ , existe um elemento h  ∈  H tal que

${\ displaystyle B (h, v) = \ langle f, v \ rangle {\ mbox {para todos}} v \ in V.}$

Resultados relacionados

O teorema de Lions-Lax-Milgram pode ser aplicado usando o seguinte resultado, cujas hipóteses são bastante comuns e fáceis de verificar em aplicações práticas:

Suponha que V esteja continuamente embutido em H e que B seja V -elíptico, ou seja,

• para algum c  > 0 e todo v  ∈  V ,

${\ displaystyle \ | v \ | _ {H} \ leq c \ | v \ | _ {V};}$

• para algum α  > 0 e todo v  ∈  V ,

${\ displaystyle B (v, v) \ geq \ alpha \ | v \ | _ {V} ^ {2}.}$

Então, a condição de coercividade acima (e, portanto, o resultado da existência) se mantém.

Importância e aplicações

A generalização de Lions é importante, pois permite lidar com problemas de valor limite além da configuração de espaço de Hilbert da teoria original de Lax-Milgram. Para ilustrar o poder do teorema de Lions, considere a equação do calor em n dimensões espaciais ( x ) e uma dimensão de tempo ( t ):

${\ displaystyle \ partial _ {t} u (t, x) = \ Delta u (t, x),}$

onde Δ denota o operador Laplace . Duas questões surgem imediatamente: em que domínio do espaço - tempo a equação do calor deve ser resolvida e quais condições de contorno devem ser impostas? A primeira questão - a forma do domínio - é aquela em que o poder do teorema de Lions-Lax-Milgram pode ser visto. Em configurações simples, é suficiente considerar domínios cilíndricos : isto é, fixa-se uma região espacial de interesse, Ω, e um tempo máximo, T  ∈ (0, + ∞], e prossegue para resolver a equação de calor no "cilindro"

${\ displaystyle [0, T) \ times \ Omega \ subseteq [0, + \ infty) \ times \ mathbf {R} ^ {n}.}$

Pode-se então prosseguir para resolver a equação do calor usando a teoria clássica de Lax-Milgram (e / ou aproximações de Galerkin ) em cada "fração de tempo" { t } × Ω. Isso está muito bem se alguém deseja apenas resolver a equação do calor em um domínio que não muda sua forma em função do tempo. No entanto, existem muitas aplicações para as quais isso não é verdade: por exemplo, se alguém deseja resolver a equação do calor na calota polar , deve-se levar em consideração a mudança na forma do volume do gelo à medida que ele evapora e / ou icebergs fugir. Em outras palavras, deve-se pelo menos ser capaz de lidar com domínios G no espaço-tempo que não parecem iguais ao longo de cada "fração de tempo". (Há também a complicação adicional de domínios cuja forma muda de acordo com a solução u do próprio problema.) Esses domínios e condições de contorno estão além do alcance da teoria clássica de Lax-Milgram, mas podem ser atacados usando o teorema de Lions.

Veja também

• Teorema de Babuška – Lax – Milgram

Referências

• Showalter, Ralph E. (1997). Operadores monótonos no espaço de Banach e equações diferenciais parciais não lineares . Pesquisas e monografias matemáticas 49. Providence, RI: American Mathematical Society. pp. xiv + 278. ISBN 0-8218-0500-2. MR 1422252 (capítulo III)