Lista de integrais de funções exponenciais - List of integrals of exponential functions

A seguir está uma lista de integrais de funções exponenciais . Para obter uma lista completa de funções integrais, consulte a lista de integrais .

Integral indefinida

Integrais indefinidos são funções antiderivadas . Uma constante (a constante de integração ) pode ser adicionada ao lado direito de qualquer uma dessas fórmulas, mas foi suprimida aqui para fins de brevidade.

Integrais de polinômios

${\ displaystyle \ int xe ^ {cx} \, dx = e ^ {cx} \ left ({\ frac {cx-1} {c ^ {2}}} \ right) {\ text {for}} c \ neq 0;}$

${\ displaystyle \ int x ^ {2} e ^ {cx} \, dx = e ^ {cx} \ left ({\ frac {x ^ {2}} {c}} - {\ frac {2x} {c ^ {2}}} + {\ frac {2} {c ^ {3}}} \ right)}$

${\ displaystyle {\ begin {alinhados} \ int x ^ {n} e ^ {cx} \, dx & = {\ frac {1} {c}} x ^ {n} e ^ {cx} - {\ frac { n} {c}} \ int x ^ {n-1} e ^ {cx} \, dx \\ & = \ left ({\ frac {\ partial} {\ partial c}} \ right) ^ {n} {\ frac {e ^ {cx}} {c}} \\ & = e ^ {cx} \ sum _ {i = 0} ^ {n} (- 1) ^ {i} {\ frac {n!} {(ni)! c ^ {i + 1}}} x ^ {ni} \\ & = e ^ {cx} \ sum _ {i = 0} ^ {n} (- 1) ^ {ni} {\ frac {n!} {i! c ^ {n-i + 1}}} x ^ {i} \ end {alinhado}}}$

${\ displaystyle \ int {\ frac {e ^ {cx}} {x}} \, dx = \ ln | x | + \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {(cx) ^ {n}} {n \ cdot n!}}}$

${\ displaystyle \ int {\ frac {e ^ {cx}} {x ^ {n}}} \, dx = {\ frac {1} {n-1}} \ left (- {\ frac {e ^ { cx}} {x ^ {n-1}}} + c \ int {\ frac {e ^ {cx}} {x ^ {n-1}}} \, dx \ right) \ qquad {\ text {( para}} n \ neq 1 {\ text {)}}}$

Integrais envolvendo apenas funções exponenciais

${\ displaystyle \ int f '(x) e ^ {f (x)} \, dx = e ^ {f (x)}}$

${\ displaystyle \ int e ^ {cx} \, dx = {\ frac {1} {c}} e ^ {cx}}$

${\ displaystyle \ int a ^ {cx} \, dx = {\ frac {1} {c \ cdot \ ln a}} a ^ {cx} \ qquad {\ text {for}} a> 0, \ a \ neq 1}$

Integrais envolvendo funções exponenciais e trigonométricas

${\ displaystyle {\ begin {alinhados} \ int e ^ {cx} \ sin bx \, dx & = {\ frac {e ^ {cx}} {c ^ {2} + b ^ {2}}} (c \ sin bx-b \ cos bx) \\ & = {\ frac {e ^ {cx}} {\ sqrt {c ^ {2} + b ^ {2}}}} \ sin (bx- \ phi) \ qquad {\ text {onde}} \ cos (\ phi) = {\ frac {c} {\ sqrt {c ^ {2} + b ^ {2}}}} \ end {alinhado}}}$

${\ displaystyle {\ begin {alinhados} \ int e ^ {cx} \ cos bx \, dx & = {\ frac {e ^ {cx}} {c ^ {2} + b ^ {2}}} (c \ cos bx + b \ sin bx) \\ & = {\ frac {e ^ {cx}} {\ sqrt {c ^ {2} + b ^ {2}}}} \ cos (bx- \ phi) \ qquad {\ text {onde}} \ cos (\ phi) = {\ frac {c} {\ sqrt {c ^ {2} + b ^ {2}}}} \ end {alinhado}}}$

${\ displaystyle \ int e ^ {cx} \ sin ^ {n} x \, dx = {\ frac {e ^ {cx} \ sin ^ {n-1} x} {c ^ {2} + n ^ { 2}}} (c \ sin xn \ cos x) + {\ frac {n (n-1)} {c ^ {2} + n ^ {2}}} \ int e ^ {cx} \ sin ^ { n-2} x \, dx}$

${\ displaystyle \ int e ^ {cx} \ cos ^ {n} x \, dx = {\ frac {e ^ {cx} \ cos ^ {n-1} x} {c ^ {2} + n ^ { 2}}} (c \ cos x + n \ sin x) + {\ frac {n (n-1)} {c ^ {2} + n ^ {2}}} \ int e ^ {cx} \ cos ^ {n-2} x \, dx}$

Integrais envolvendo a função de erro

Nas fórmulas a seguir, erf é a função de erro e Ei é a integral exponencial .

${\ displaystyle \ int e ^ {cx} \ ln x \, dx = {\ frac {1} {c}} \ left (e ^ {cx} \ ln | x | - \ operatorname {Ei} (cx) \ direito)}$

${\ displaystyle \ int xe ^ {cx ^ {2}} \, dx = {\ frac {1} {2c}} e ^ {cx ^ {2}}}$

${\ displaystyle \ int e ^ {- cx ^ {2}} \, dx = {\ sqrt {\ frac {\ pi} {4c}}} \ operatorname {erf} ({\ sqrt {c}} x)}$

${\ displaystyle \ int xe ^ {- cx ^ {2}} \, dx = - {\ frac {1} {2c}} e ^ {- cx ^ {2}}}$

${\ displaystyle \ int {\ frac {e ^ {- x ^ {2}}} {x ^ {2}}} \, dx = - {\ frac {e ^ {- x ^ {2}}} {x }} - {\ sqrt {\ pi}} \ operatorname {erf} (x)}$

${\ displaystyle \ int {{\ frac {1} {\ sigma {\ sqrt {2 \ pi}}}} e ^ {- {\ frac {1} {2}} \ left ({\ frac {x- \ mu} {\ sigma}} \ right) ^ {2}}} \, dx = {\ frac {1} {2}} \ operatorname {erf} \ left ({\ frac {x- \ mu} {\ sigma {\ sqrt {2}}}} \ right)}$

Outros integrais

${\ displaystyle \ int e ^ {x ^ {2}} \, dx = e ^ {x ^ {2}} \ left (\ sum _ {j = 0} ^ {n-1} c_ {2j} {\ frac {1} {x ^ {2j + 1}}} \ right) + (2n-1) c_ {2n-2} \ int {\ frac {e ^ {x ^ {2}}} {x ^ {2n }}} \, dx \ quad {\ text {válido para qualquer}} n> 0,}$

Onde ${\ displaystyle c_ {2j} = {\ frac {1 \ cdot 3 \ cdot 5 \ cdots (2j-1)} {2 ^ {j + 1}}} = {\ frac {(2j)!} {j! 2 ^ {2j + 1}}} \.}$

(Observe que o valor da expressão é independente do valor de n , e é por isso que ele não aparece na integral.)

${\ displaystyle {\ int \ underbrace {x ^ {x ^ {\ cdot ^ {\ cdot ^ {x}}}}} _ {m} dx = \ sum _ {n = 0} ^ {m} {\ frac {(-1) ^ {n} (n + 1) ^ {n-1}} {n!}} \ Gamma (n + 1, - \ ln x) + \ sum _ {n = m + 1} ^ {\ infty} (- 1) ^ {n} a_ {mn} \ Gamma (n + 1, - \ ln x) \ qquad {\ text {(para}} x> 0 {\ text {)}}}}$

Onde ${\ displaystyle a_ {mn} = {\ begin {cases} 1 & {\ text {if}} n = 0, \\\\ {\ dfrac {1} {n!}} & {\ text {if}} m = 1, \\\\ {\ dfrac {1} {n}} \ sum _ {j = 1} ^ {n} ja_ {m, nj} a_ {m-1, j-1} & {\ text { caso contrário}} \ end {cases}}}$

e Γ ( x , y ) é a função gama superior incompleta .

${\ displaystyle \ int {\ frac {1} {ae ^ {\ lambda x} + b}} \, dx = {\ frac {x} {b}} - {\ frac {1} {b \ lambda}} \ ln \ left (ae ^ {\ lambda x} + b \ right)}$quando , e${\ displaystyle b \ neq 0}$${\ displaystyle \ lambda \ neq 0}$${\ displaystyle ae ^ {\ lambda x} + b> 0.}$

${\ displaystyle \ int {\ frac {e ^ {2 \ lambda x}} {ae ^ {\ lambda x} + b}} \, dx = {\ frac {1} {a ^ {2} \ lambda}} \ left [ae ^ {\ lambda x} + bb \ ln \ left (ae ^ {\ lambda x} + b \ right) \ right]}$ quando , e${\ displaystyle a \ neq 0}$${\ displaystyle \ lambda \ neq 0}$${\ displaystyle ae ^ {\ lambda x} + b> 0.}$

${\ displaystyle \ int {\ frac {ae ^ {cx} -1} {be ^ {cx} -1}} \, dx = {\ frac {(ab) \ log (1-be ^ {cx})} {bc}} + x.}$

Integrais definidos

${\ displaystyle {\ begin {alinhados} \ int _ {0} ^ {1} e ^ {x \ cdot \ ln a + (1-x) \ cdot \ ln b} \, dx & = \ int _ {0} ^ {1} \ left ({\ frac {a} {b}} \ right) ^ {x} \ cdot b \, dx \\ & = \ int _ {0} ^ {1} a ^ {x} \ cdot b ^ {1-x} \, dx \\ & = {\ frac {ab} {\ ln a- \ ln b}} \ qquad {\ text {para}} a> 0, \ b> 0, \ a \ neq b \ end {alinhado}}}$

A última expressão é a média logarítmica .

${\ displaystyle \ int _ {0} ^ {\ infty} e ^ {- ax} \, dx = {\ frac {1} {a}} \ quad (\ operatorname {Re} (a)> 0)}$

${\ displaystyle \ int _ {0} ^ {\ infty} e ^ {- ax ^ {2}} \, dx = {\ frac {1} {2}} {\ sqrt {\ pi \ over a}} \ quad (a> 0)}$(a integral de Gauss )

${\ displaystyle \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} e ^ {- ax ^ {2}} \, dx = {\ sqrt {\ pi \ over a}} \ quad (a> 0)}$

${\ displaystyle \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} e ^ {- ax ^ {2}} e ^ {- {\ frac {b} {x ^ {2}}}} \, dx = { \ sqrt {\ frac {\ pi} {a}}} e ^ {- 2 {\ sqrt {ab}}} \ quad (a, b> 0)}$

${\ displaystyle \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} e ^ {- (ax ^ {2} + bx)} \, dx = {\ sqrt {\ pi \ over a}} e ^ {\ tfrac {b ^ {2}} {4a}} \ quad (a> 0)}$

${\ displaystyle \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} e ^ {- ax ^ {2}} e ^ {- 2bx} \, dx = {\ sqrt {\ frac {\ pi} {a}} } e ^ {\ frac {b ^ {2}} {a}} \ quad (a> 0)}$(ver Integral de uma função Gaussiana )

${\ displaystyle \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} xe ^ {- a (xb) ^ {2}} \, dx = b {\ sqrt {\ frac {\ pi} {a}}} \ quad (\ operatorname {Re} (a)> 0)}$

${\ displaystyle \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} xe ^ {- ax ^ {2} + bx} \, dx = {\ frac {{\ sqrt {\ pi}} b} {2a ^ { 3/2}}} e ^ {\ frac {b ^ {2}} {4a}} \ quad (\ operatorname {Re} (a)> 0)}$

${\ displaystyle \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} x ^ {2} e ^ {- ax ^ {2}} \, dx = {\ frac {1} {2}} {\ sqrt {\ pi \ over a ^ {3}}} \ quad (a> 0)}$

${\ displaystyle \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} x ^ {2} e ^ {- (ax ^ {2} + bx)} \, dx = {\ frac {{\ sqrt {\ pi} } (2a + b ^ {2})} {4a ^ {5/2}}} e ^ {\ frac {b ^ {2}} {4a}} \ quad (\ operatorname {Re} (a)> 0 )}$

${\ displaystyle \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} x ^ {3} e ^ {- (ax ^ {2} + bx)} \, dx = {\ frac {{\ sqrt {\ pi} } (6a + b ^ {2}) b} {8a ^ {7/2}}} e ^ {\ frac {b ^ {2}} {4a}} \ quad (\ operatorname {Re} (a)> 0)}$

${\ displaystyle \ int _ {0} ^ {\ infty} x ^ {n} e ^ {- ax ^ {2}} \, dx = {\ begin {cases} {\ dfrac {\ Gamma \ left ({\ frac {n + 1} {2}} \ right)} {2 \ left (a ^ {\ frac {n + 1} {2}} \ right)}} & (n> -1, \ a> 0) \\\\ {\ dfrac {(2k-1) !!} {2 ^ {k + 1} a ^ {k}}} {\ sqrt {\ dfrac {\ pi} {a}}} & (n = 2k, \ k {\ text {inteiro}}, \ a> 0) \ {\ text {(!! é o fatorial duplo)}} \\\\ {\ dfrac {k!} {2 (a ^ {k +1})}} & (n = 2k + 1, \ k {\ text {inteiro}}, \ a> 0) \ end {casos}}}$

(o operador é o fatorial duplo ) ${\ displaystyle !!}$

${\ displaystyle \ int _ {0} ^ {\ infty} x ^ {n} e ^ {- ax} \, dx = {\ begin {cases} {\ dfrac {\ Gamma (n + 1)} {a ^ {n + 1}}} & (n> -1, \ \ operatorname {Re} (a)> 0) \\\\ {\ dfrac {n!} {a ^ {n + 1}}} & (n = 0,1,2, \ ldots, \ \ operatorname {Re} (a)> 0) \ end {casos}}}$

${\ displaystyle \ int _ {0} ^ {1} x ^ {n} e ^ {- ax} \, dx = {\ frac {n!} {a ^ {n + 1}}} \ left [1- e ^ {- a} \ sum _ {i = 0} ^ {n} {\ frac {a ^ {i}} {i!}} \ right]}$

${\ displaystyle \ int _ {0} ^ {b} x ^ {n} e ^ {- ax} \, dx = {\ frac {n!} {a ^ {n + 1}}} \ left [1- e ^ {- ab} \ sum _ {i = 0} ^ {n} {\ frac {(ab) ^ {i}} {i!}} \ right]}$

${\ displaystyle \ int _ {0} ^ {\ infty} e ^ {- ax ^ {b}} dx = {\ frac {1} {b}} \ a ^ {- {\ frac {1} {b} }} \ Gamma \ left ({\ frac {1} {b}} \ right)}$

${\ displaystyle \ int _ {0} ^ {\ infty} x ^ {n} e ^ {- ax ^ {b}} dx = {\ frac {1} {b}} \ a ^ {- {\ frac { n + 1} {b}}} \ Gamma \ left ({\ frac {n + 1} {b}} \ right)}$

${\ displaystyle \ int _ {0} ^ {\ infty} e ^ {- ax} \ sin bx \, dx = {\ frac {b} {a ^ {2} + b ^ {2}}} \ quad ( a> 0)}$

${\ displaystyle \ int _ {0} ^ {\ infty} e ^ {- ax} \ cos bx \, dx = {\ frac {a} {a ^ {2} + b ^ {2}}} \ quad ( a> 0)}$

${\ displaystyle \ int _ {0} ^ {\ infty} xe ^ {- ax} \ sin bx \, dx = {\ frac {2ab} {(a ^ {2} + b ^ {2}) ^ {2 }}} \ quad (a> 0)}$

${\ displaystyle \ int _ {0} ^ {\ infty} xe ^ {- ax} \ cos bx \, dx = {\ frac {a ^ {2} -b ^ {2}} {(a ^ {2} + b ^ {2}) ^ {2}}} \ quad (a> 0)}$

${\ displaystyle \ int _ {0} ^ {\ infty} {\ frac {e ^ {- ax} \ sin bx} {x}} \, dx = \ arctan {\ frac {b} {a}}}$

${\ displaystyle \ int _ {0} ^ {\ infty} {\ frac {e ^ {- ax} -e ^ {- bx}} {x}} \, dx = \ ln {\ frac {b} {a }}}$

${\ displaystyle \ int _ {0} ^ {\ infty} {\ frac {e ^ {- ax} -e ^ {- bx}} {x}} \ sin px \, dx = \ arctan {\ frac {b } {p}} - \ arctan {\ frac {a} {p}}}$

${\ displaystyle \ int _ {0} ^ {\ infty} {\ frac {e ^ {- ax} -e ^ {- bx}} {x}} \ cos px \, dx = {\ frac {1} { 2}} \ ln {\ frac {b ^ {2} + p ^ {2}} {a ^ {2} + p ^ {2}}}}$

${\ displaystyle \ int _ {0} ^ {\ infty} {\ frac {e ^ {- ax} (1- \ cos x)} {x ^ {2}}} \, dx = \ operatorname {arccot} a - {\ frac {a} {2}} \ ln (a ^ {2} +1)}$

${\ displaystyle \ int _ {0} ^ {2 \ pi} e ^ {x \ cos \ theta} d \ theta = 2 \ pi I_ {0} (x)}$( I ₀ é a função de Bessel modificada do primeiro tipo)

${\ displaystyle \ int _ {0} ^ {2 \ pi} e ^ {x \ cos \ theta + y \ sin \ theta} d \ theta = 2 \ pi I_ {0} \ left ({\ sqrt {x ^ {2} + y ^ {2}}} \ direita)}$

${\ displaystyle \ int _ {0} ^ {\ infty} {\ frac {x ^ {s-1}} {e ^ {x} / z-1}} \, dx = \ operatorname {Li} _ {s } (z) \ Gama (s),}$

onde está o polilogaritmo . ${\ displaystyle \ operatorname {Li} _ {s} (z)}$

${\ displaystyle \ int _ {0} ^ {\ infty} {\ frac {\ sin mx} {e ^ {2 \ pi x} -1}} \, dx = {\ frac {1} {4}} \ coth {\ frac {m} {2}} - {\ frac {1} {2m}}}$

${\ displaystyle \ int _ {0} ^ {\ infty} e ^ {- x} \ ln x \, dx = - \ gamma,}$

onde é a constante de Euler-Mascheroni que é igual ao valor de um número de integrais definidas. ${\ displaystyle \ gamma}$

Finalmente, um resultado bem conhecido,

${\ displaystyle \ int _ {0} ^ {2 \ pi} e ^ {i (mn) \ phi} d \ phi = 2 \ pi \ delta _ {m, n}}$ (Para inteiro m, n)

onde fica o delta de Kronecker . ${\ displaystyle \ delta _ {m, n}}$

Veja também

• Gradshteyn e Ryzhik

Leitura adicional

• Moll, Victor Hugo (12/11/2014). Integrais especiais de Gradshteyn e Ryzhik: as provas - Volume I . Série: Monografias e Notas de Pesquisa em Matemática . I (1 ed.). Chapman e Hall / CRC Press . ISBN 978-1-48225-651-2. Página visitada em 12/02/2016 .
• Moll, Victor Hugo (2015-10-27). Integrais especiais de Gradshteyn e Ryzhik: as provas - Volume II . Série: Monografias e Notas de Pesquisa em Matemática . II (1 ed.). Chapman e Hall / CRC Press . ISBN 978-1-48225-653-6. Página visitada em 12/02/2016 .

links externos

• Wolfram Mathematica Online Integrator
• Moll, Victor Hugo. “Lista com as fórmulas e provas em GR” . Página visitada em 12/02/2016 .