Artigo da lista da Wikipedia
A seguir está uma lista de integrais indefinidos ( antiderivadas ) de expressões envolvendo as funções trigonométricas inversas . Para obter uma lista completa de fórmulas integrais, consulte as listas de integrais .
As funções trigonométricas inversas também são conhecidas como "funções de arco".
C é usado para a constante arbitrária de integração que só pode ser determinada se algo sobre o valor da integral em algum ponto for conhecido. Assim, cada função possui um número infinito de antiderivadas.
Existem três notações comuns para funções trigonométricas inversas. A função arco-seno, por exemplo, poderia ser escrita como sen −1 , asin ou, como é usado nesta página, arcsin .
Para cada fórmula de integração trigonométrica inversa abaixo, há uma fórmula correspondente na lista de integrais de funções hiperbólicas inversas .
Fórmulas de integração da função Arcsine
∫
arcsin
(
x
)
d
x
=
x
arcsin
(
x
)
+
1
-
x
2
+
C
{\ displaystyle \ int \ arcsin (x) \, dx = x \ arcsin (x) + {\ sqrt {1-x ^ {2}}} + C}
∫
arcsin
(
uma
x
)
d
x
=
x
arcsin
(
uma
x
)
+
1
-
uma
2
x
2
uma
+
C
{\ displaystyle \ int \ arcsin (ax) \, dx = x \ arcsin (ax) + {\ frac {\ sqrt {1-a ^ {2} x ^ {2}}} {a}} + C}
∫
x
arcsin
(
uma
x
)
d
x
=
x
2
arcsin
(
uma
x
)
2
-
arcsin
(
uma
x
)
4
uma
2
+
x
1
-
uma
2
x
2
4
uma
+
C
{\ displaystyle \ int x \ arcsin (ax) \, dx = {\ frac {x ^ {2} \ arcsin (ax)} {2}} - {\ frac {\ arcsin (ax)} {4 \, a ^ {2}}} + {\ frac {x {\ sqrt {1-a ^ {2} x ^ {2}}}} {4 \, a}} + C}
∫
x
2
arcsin
(
uma
x
)
d
x
=
x
3
arcsin
(
uma
x
)
3
+
(
uma
2
x
2
+
2
)
1
-
uma
2
x
2
9
uma
3
+
C
{\ displaystyle \ int x ^ {2} \ arcsin (ax) \, dx = {\ frac {x ^ {3} \ arcsin (ax)} {3}} + {\ frac {\ left (a ^ {2 } x ^ {2} +2 \ right) {\ sqrt {1-a ^ {2} x ^ {2}}}} {9 \, a ^ {3}}} + C}
∫
x
m
arcsin
(
uma
x
)
d
x
=
x
m
+
1
arcsin
(
uma
x
)
m
+
1
-
uma
m
+
1
∫
x
m
+
1
1
-
uma
2
x
2
d
x
(
m
≠
-
1
)
{\ displaystyle \ int x ^ {m} \ arcsin (ax) \, dx = {\ frac {x ^ {m + 1} \ arcsin (ax)} {m + 1}} \, - \, {\ frac {a} {m + 1}} \ int {\ frac {x ^ {m + 1}} {\ sqrt {1-a ^ {2} x ^ {2}}}} \, dx \ quad (m \ neq -1)}
∫
arcsin
(
uma
x
)
2
d
x
=
-
2
x
+
x
arcsin
(
uma
x
)
2
+
2
1
-
uma
2
x
2
arcsin
(
uma
x
)
uma
+
C
{\ displaystyle \ int \ arcsin (ax) ^ {2} \, dx = -2x + x \ arcsin (ax) ^ {2} + {\ frac {2 {\ sqrt {1-a ^ {2} x ^ {2}}} \ arcsin (ax)} {a}} + C}
∫
arcsin
(
uma
x
)
n
d
x
=
x
arcsin
(
uma
x
)
n
+
n
1
-
uma
2
x
2
arcsin
(
uma
x
)
n
-
1
uma
-
n
(
n
-
1
)
∫
arcsin
(
uma
x
)
n
-
2
d
x
{\ displaystyle \ int \ arcsin (ax) ^ {n} \, dx = x \ arcsin (ax) ^ {n} \, + \, {\ frac {n {\ sqrt {1-a ^ {2} x ^ {2}}} \ arcsin (ax) ^ {n-1}} {a}} \, - \, n \, (n-1) \ int \ arcsin (ax) ^ {n-2} \, dx}
∫
arcsin
(
uma
x
)
n
d
x
=
x
arcsin
(
uma
x
)
n
+
2
(
n
+
1
)
(
n
+
2
)
+
1
-
uma
2
x
2
arcsin
(
uma
x
)
n
+
1
uma
(
n
+
1
)
-
1
(
n
+
1
)
(
n
+
2
)
∫
arcsin
(
uma
x
)
n
+
2
d
x
(
n
≠
-
1
,
-
2
)
{\ displaystyle \ int \ arcsin (ax) ^ {n} \, dx = {\ frac {x \ arcsin (ax) ^ {n + 2}} {(n + 1) \, (n + 2)}} \, + \, {\ frac {{\ sqrt {1-a ^ {2} x ^ {2}}} \ arcsin (ax) ^ {n + 1}} {a \, (n + 1)}} \, - \, {\ frac {1} {(n + 1) \, (n + 2)}} \ int \ arcsin (ax) ^ {n + 2} \, dx \ quad (n \ neq -1 , -2)}
Fórmulas de integração da função arco-seno
∫
arccos
(
x
)
d
x
=
x
arccos
(
x
)
-
1
-
x
2
+
C
{\ displaystyle \ int \ arccos (x) \, dx = x \ arccos (x) - {\ sqrt {1-x ^ {2}}} + C}
∫
arccos
(
uma
x
)
d
x
=
x
arccos
(
uma
x
)
-
1
-
uma
2
x
2
uma
+
C
{\ displaystyle \ int \ arccos (ax) \, dx = x \ arccos (ax) - {\ frac {\ sqrt {1-a ^ {2} x ^ {2}}} {a}} + C}
∫
x
arccos
(
uma
x
)
d
x
=
x
2
arccos
(
uma
x
)
2
-
arccos
(
uma
x
)
4
uma
2
-
x
1
-
uma
2
x
2
4
uma
+
C
{\ displaystyle \ int x \ arccos (ax) \, dx = {\ frac {x ^ {2} \ arccos (ax)} {2}} - {\ frac {\ arccos (ax)} {4 \, a ^ {2}}} - {\ frac {x {\ sqrt {1-a ^ {2} x ^ {2}}}} {4 \, a}} + C}
∫
x
2
arccos
(
uma
x
)
d
x
=
x
3
arccos
(
uma
x
)
3
-
(
uma
2
x
2
+
2
)
1
-
uma
2
x
2
9
uma
3
+
C
{\ displaystyle \ int x ^ {2} \ arccos (ax) \, dx = {\ frac {x ^ {3} \ arccos (ax)} {3}} - {\ frac {\ left (a ^ {2 } x ^ {2} +2 \ right) {\ sqrt {1-a ^ {2} x ^ {2}}}} {9 \, a ^ {3}}} + C}
∫
x
m
arccos
(
uma
x
)
d
x
=
x
m
+
1
arccos
(
uma
x
)
m
+
1
+
uma
m
+
1
∫
x
m
+
1
1
-
uma
2
x
2
d
x
(
m
≠
-
1
)
{\ displaystyle \ int x ^ {m} \ arccos (ax) \, dx = {\ frac {x ^ {m + 1} \ arccos (ax)} {m + 1}} \, + \, {\ frac {a} {m + 1}} \ int {\ frac {x ^ {m + 1}} {\ sqrt {1-a ^ {2} x ^ {2}}}} \, dx \ quad (m \ neq -1)}
∫
arccos
(
uma
x
)
2
d
x
=
-
2
x
+
x
arccos
(
uma
x
)
2
-
2
1
-
uma
2
x
2
arccos
(
uma
x
)
uma
+
C
{\ displaystyle \ int \ arccos (ax) ^ {2} \, dx = -2x + x \ arccos (ax) ^ {2} - {\ frac {2 {\ sqrt {1-a ^ {2} x ^ {2}}} \ arccos (ax)} {a}} + C}
∫
arccos
(
uma
x
)
n
d
x
=
x
arccos
(
uma
x
)
n
-
n
1
-
uma
2
x
2
arccos
(
uma
x
)
n
-
1
uma
-
n
(
n
-
1
)
∫
arccos
(
uma
x
)
n
-
2
d
x
{\ displaystyle \ int \ arccos (ax) ^ {n} \, dx = x \ arccos (ax) ^ {n} \, - \, {\ frac {n {\ sqrt {1-a ^ {2} x ^ {2}}} \ arccos (machado) ^ {n-1}} {a}} \, - \, n \, (n-1) \ int \ arccos (machado) ^ {n-2} \, dx}
∫
arccos
(
uma
x
)
n
d
x
=
x
arccos
(
uma
x
)
n
+
2
(
n
+
1
)
(
n
+
2
)
-
1
-
uma
2
x
2
arccos
(
uma
x
)
n
+
1
uma
(
n
+
1
)
-
1
(
n
+
1
)
(
n
+
2
)
∫
arccos
(
uma
x
)
n
+
2
d
x
(
n
≠
-
1
,
-
2
)
{\ displaystyle \ int \ arccos (ax) ^ {n} \, dx = {\ frac {x \ arccos (ax) ^ {n + 2}} {(n + 1) \, (n + 2)}} \, - \, {\ frac {{\ sqrt {1-a ^ {2} x ^ {2}}} \ arccos (machado) ^ {n + 1}} {a \, (n + 1)}} \, - \, {\ frac {1} {(n + 1) \, (n + 2)}} \ int \ arccos (ax) ^ {n + 2} \, dx \ quad (n \ neq -1 , -2)}
Fórmulas de integração de função Arctangent
∫
Arctan
(
x
)
d
x
=
x
Arctan
(
x
)
-
em
(
x
2
+
1
)
2
+
C
{\ displaystyle \ int \ arctan (x) \, dx = x \ arctan (x) - {\ frac {\ ln \ left (x ^ {2} +1 \ right)} {2}} + C}
∫
Arctan
(
uma
x
)
d
x
=
x
Arctan
(
uma
x
)
-
em
(
uma
2
x
2
+
1
)
2
uma
+
C
{\ displaystyle \ int \ arctan (ax) \, dx = x \ arctan (ax) - {\ frac {\ ln \ left (a ^ {2} x ^ {2} +1 \ right)} {2 \, a}} + C}
∫
x
Arctan
(
uma
x
)
d
x
=
x
2
Arctan
(
uma
x
)
2
+
Arctan
(
uma
x
)
2
uma
2
-
x
2
uma
+
C
{\ displaystyle \ int x \ arctan (ax) \, dx = {\ frac {x ^ {2} \ arctan (ax)} {2}} + {\ frac {\ arctan (ax)} {2 \, a ^ {2}}} - {\ frac {x} {2 \, a}} + C}
∫
x
2
Arctan
(
uma
x
)
d
x
=
x
3
Arctan
(
uma
x
)
3
+
em
(
uma
2
x
2
+
1
)
6
uma
3
-
x
2
6
uma
+
C
{\ displaystyle \ int x ^ {2} \ arctan (ax) \, dx = {\ frac {x ^ {3} \ arctan (ax)} {3}} + {\ frac {\ ln \ left (a ^ {2} x ^ {2} +1 \ right)} {6 \, a ^ {3}}} - {\ frac {x ^ {2}} {6 \, a}} + C}
∫
x
m
Arctan
(
uma
x
)
d
x
=
x
m
+
1
Arctan
(
uma
x
)
m
+
1
-
uma
m
+
1
∫
x
m
+
1
uma
2
x
2
+
1
d
x
(
m
≠
-
1
)
{\ displaystyle \ int x ^ {m} \ arctan (ax) \, dx = {\ frac {x ^ {m + 1} \ arctan (ax)} {m + 1}} - {\ frac {a} { m + 1}} \ int {\ frac {x ^ {m + 1}} {a ^ {2} x ^ {2} +1}} \, dx \ quad (m \ neq -1)}
Fórmulas de integração de função arccotangent
∫
Arccot
(
x
)
d
x
=
x
Arccot
(
x
)
+
em
(
x
2
+
1
)
2
+
C
{\ displaystyle \ int \ operatorname {arccot} (x) \, dx = x \ operatorname {arccot} (x) + {\ frac {\ ln \ left (x ^ {2} +1 \ right)} {2} } + C}
∫
Arccot
(
uma
x
)
d
x
=
x
Arccot
(
uma
x
)
+
em
(
uma
2
x
2
+
1
)
2
uma
+
C
{\ displaystyle \ int \ operatorname {arccot} (ax) \, dx = x \ operatorname {arccot} (ax) + {\ frac {\ ln \ left (a ^ {2} x ^ {2} +1 \ right )} {2 \, a}} + C}
∫
x
Arccot
(
uma
x
)
d
x
=
x
2
Arccot
(
uma
x
)
2
+
Arccot
(
uma
x
)
2
uma
2
+
x
2
uma
+
C
{\ displaystyle \ int x \ operatorname {arccot} (ax) \, dx = {\ frac {x ^ {2} \ operatorname {arccot} (ax)} {2}} + {\ frac {\ operatorname {arccot} (machado)} {2 \, a ^ {2}}} + {\ frac {x} {2 \, a}} + C}
∫
x
2
Arccot
(
uma
x
)
d
x
=
x
3
Arccot
(
uma
x
)
3
-
em
(
uma
2
x
2
+
1
)
6
uma
3
+
x
2
6
uma
+
C
{\ displaystyle \ int x ^ {2} \ operatorname {arccot} (ax) \, dx = {\ frac {x ^ {3} \ operatorname {arccot} (ax)} {3}} - {\ frac {\ ln \ left (a ^ {2} x ^ {2} +1 \ right)} {6 \, a ^ {3}}} + {\ frac {x ^ {2}} {6 \, a}} + C}
∫
x
m
Arccot
(
uma
x
)
d
x
=
x
m
+
1
Arccot
(
uma
x
)
m
+
1
+
uma
m
+
1
∫
x
m
+
1
uma
2
x
2
+
1
d
x
(
m
≠
-
1
)
{\ displaystyle \ int x ^ {m} \ operatorname {arccot} (machado) \, dx = {\ frac {x ^ {m + 1} \ operatorname {arccot} (machado)} {m + 1}} + { \ frac {a} {m + 1}} \ int {\ frac {x ^ {m + 1}} {a ^ {2} x ^ {2} +1}} \, dx \ quad (m \ neq - 1)}
Fórmulas de integração da função Arcsecant
∫
arcsec
(
x
)
d
x
=
x
arcsec
(
x
)
-
em
(
|
x
|
+
x
2
-
1
)
+
C
=
x
arcsec
(
x
)
-
arcosh
|
x
|
+
C
{\ displaystyle \ int \ operatorname {arcsec} (x) \, dx = x \ operatorname {arcsec} (x) \, - \, \ ln \ left (\ left | x \ right | + {\ sqrt {x ^ {2} -1}} \ right) \, + \, C = x \ operatorname {arcsec} (x) - \ operatorname {arcosh} | x | + C}
∫
arcsec
(
uma
x
)
d
x
=
x
arcsec
(
uma
x
)
-
1
uma
arcosh
|
uma
x
|
+
C
{\ displaystyle \ int \ operatorname {arcsec} (machado) \, dx = x \ operatorname {arcsec} (machado) - {\ frac {1} {a}} \, \ operatorname {arcosh} | machado | + C}
∫
x
arcsec
(
uma
x
)
d
x
=
x
2
arcsec
(
uma
x
)
2
-
x
2
uma
1
-
1
uma
2
x
2
+
C
{\ displaystyle \ int x \ operatorname {arcsec} (ax) \, dx = {\ frac {x ^ {2} \ operatorname {arcsec} (ax)} {2}} - {\ frac {x} {2 \ , a}} {\ sqrt {1 - {\ frac {1} {a ^ {2} x ^ {2}}}}} + C}
∫
x
2
arcsec
(
uma
x
)
d
x
=
x
3
arcsec
(
uma
x
)
3
-
arcosh
|
uma
x
|
6
uma
3
-
x
2
6
uma
1
-
1
uma
2
x
2
+
C
{\ displaystyle \ int x ^ {2} \ operatorname {arcsec} (ax) \, dx = {\ frac {x ^ {3} \ operatorname {arcsec} (ax)} {3}} \, - \, { \ frac {\ operatorname {arcosh} | ax |} {6 \, a ^ {3}}} \, - \, {\ frac {x ^ {2}} {6 \, a}} {\ sqrt {1 - {\ frac {1} {a ^ {2} x ^ {2}}}}} \, + \, C}
∫
x
m
arcsec
(
uma
x
)
d
x
=
x
m
+
1
arcsec
(
uma
x
)
m
+
1
-
1
uma
(
m
+
1
)
∫
x
m
-
1
1
-
1
uma
2
x
2
d
x
(
m
≠
-
1
)
{\ displaystyle \ int x ^ {m} \ operatorname {arcsec} (machado) \, dx = {\ frac {x ^ {m + 1} \ operatorname {arcsec} (machado)} {m + 1}} \, - \, {\ frac {1} {a \, (m + 1)}} \ int {\ frac {x ^ {m-1}} {\ sqrt {1 - {\ frac {1} {a ^ { 2} x ^ {2}}}}}} \, dx \ quad (m \ neq -1)}
Fórmulas de integração da função arccossecante
∫
arccsc
(
x
)
d
x
=
x
arccsc
(
x
)
+
em
(
|
x
|
+
x
2
-
1
)
+
C
=
x
arccsc
(
x
)
+
arcosh
|
x
|
+
C
{\ displaystyle \ int \ operatorname {arccsc} (x) \, dx = x \ operatorname {arccsc} (x) \, + \, \ ln \ left (\ left | x \ right | + {\ sqrt {x ^ {2} -1}} \ right) \, + \, C = x \ operatorname {arccsc} (x) \, + \, \ operatorname {arcosh} | x | \, + \, C}
∫
arccsc
(
uma
x
)
d
x
=
x
arccsc
(
uma
x
)
+
1
uma
Artanh
1
-
1
uma
2
x
2
+
C
{\ displaystyle \ int \ operatorname {arccsc} (ax) \, dx = x \ operatorname {arccsc} (ax) + {\ frac {1} {a}} \, \ operatorname {artanh} \, {\ sqrt { 1 - {\ frac {1} {a ^ {2} x ^ {2}}}}} + C}
∫
x
arccsc
(
uma
x
)
d
x
=
x
2
arccsc
(
uma
x
)
2
+
x
2
uma
1
-
1
uma
2
x
2
+
C
{\ displaystyle \ int x \ operatorname {arccsc} (ax) \, dx = {\ frac {x ^ {2} \ operatorname {arccsc} (ax)} {2}} + {\ frac {x} {2 \ , a}} {\ sqrt {1 - {\ frac {1} {a ^ {2} x ^ {2}}}}} + C}
∫
x
2
arccsc
(
uma
x
)
d
x
=
x
3
arccsc
(
uma
x
)
3
+
1
6
uma
3
Artanh
1
-
1
uma
2
x
2
+
x
2
6
uma
1
-
1
uma
2
x
2
+
C
{\ displaystyle \ int x ^ {2} \ operatorname {arccsc} (ax) \, dx = {\ frac {x ^ {3} \ operatorname {arccsc} (ax)} {3}} \, + \, { \ frac {1} {6 \, a ^ {3}}} \, \ operatorname {artanh} \, {\ sqrt {1 - {\ frac {1} {a ^ {2} x ^ {2}}} }} \, + \, {\ frac {x ^ {2}} {6 \, a}} {\ sqrt {1 - {\ frac {1} {a ^ {2} x ^ {2}}}} } \, + \, C}
∫
x
m
arccsc
(
uma
x
)
d
x
=
x
m
+
1
arccsc
(
uma
x
)
m
+
1
+
1
uma
(
m
+
1
)
∫
x
m
-
1
1
-
1
uma
2
x
2
d
x
(
m
≠
-
1
)
{\ displaystyle \ int x ^ {m} \ operatorname {arccsc} (machado) \, dx = {\ frac {x ^ {m + 1} \ operatorname {arccsc} (machado)} {m + 1}} \, + \, {\ frac {1} {a \, (m + 1)}} \ int {\ frac {x ^ {m-1}} {\ sqrt {1 - {\ frac {1} {a ^ { 2} x ^ {2}}}}}} \, dx \ quad (m \ neq -1)}
<img src="https://en.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">
