Diferenciação de funções trigonométricas - Differentiation of trigonometric functions

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Cálculo
Substituição trigonométrica Integrais  ( funções inversas ) Derivados
v t e

Função	Derivado
${\ displaystyle \ sin (x)}$	${\ displaystyle \ cos (x)}$
${\ displaystyle \ cos (x)}$	${\ displaystyle - \ sin (x)}$
${\ displaystyle \ tan (x)}$	${\ displaystyle \ sec ^ {2} (x)}$
${\ displaystyle \ cot (x)}$	${\ displaystyle - \ csc ^ {2} (x)}$
${\ displaystyle \ sec (x)}$	${\ displaystyle \ sec (x) \ tan (x)}$
${\ displaystyle \ csc (x)}$	${\ displaystyle - \ csc (x) \ cot (x)}$
${\ displaystyle \ arcsin (x)}$	${\ displaystyle {\ frac {1} {\ sqrt {1-x ^ {2}}}}}$
${\ displaystyle \ arccos (x)}$	${\ displaystyle - {\ frac {1} {\ sqrt {1-x ^ {2}}}}}$
${\ displaystyle \ arctan (x)}$	${\ displaystyle {\ frac {1} {x ^ {2} +1}}}$
${\ displaystyle \ operatorname {arccot} (x)}$	${\ displaystyle - {\ frac {1} {x ^ {2} +1}}}$
${\ displaystyle \ operatorname {arcsec} (x)}$	${\ displaystyle {\ frac {1} {| x | {\ sqrt {x ^ {2} -1}}}}}$
${\ displaystyle \ operatorname {arccsc} (x)}$	${\ displaystyle - {\ frac {1} {| x | {\ sqrt {x ^ {2} -1}}}}}$

A diferenciação de funções trigonométricas é o processo matemático de encontrar a derivada de uma função trigonométrica , ou sua taxa de variação em relação a uma variável. Por exemplo, a derivada da função seno é escrita sin ′ ( a ) = cos ( a ), significando que a taxa de variação de sin ( x ) em um ângulo particular x = a é dada pelo cosseno desse ângulo.

Todas as derivadas de funções trigonométricas circulares podem ser encontradas a partir de sin ( x ) e cos ( x ) por meio da regra de quociente aplicada a funções como tan ( x ) = sin ( x ) / cos ( x ). Conhecendo essas derivadas, as derivadas das funções trigonométricas inversas são encontradas usando a diferenciação implícita .

Provas de derivadas de funções trigonométricas

Limite de sin (θ) / θ quando θ tende a 0

O diagrama à direita mostra um círculo com centro O e raio r = 1. Sejam dois raios OA e OB façam um arco de θ radianos. Visto que estamos considerando o limite como θ tende a zero, podemos assumir que θ é um pequeno número positivo, digamos 0 <θ <½ π no primeiro quadrante.

No diagrama, seja R ₁ o triângulo OAB , R ₂ o setor circular OAB e R ₃ o triângulo OAC . A área do triângulo OAB é:

${\ displaystyle \ mathrm {Area} (R_ {1}) = {\ tfrac {1} {2}} \ | OA | \ | OB | \ sin \ theta = {\ tfrac {1} {2}} \ sin \ theta \ ,.}$

A área do setor circular OAB é , enquanto a área do triângulo OAC é dada por ${\ displaystyle \ mathrm {Area} (R_ {2}) = {\ tfrac {1} {2}} \ theta}$

${\ displaystyle \ mathrm {Area} (R_ {3}) = {\ tfrac {1} {2}} \ | OA | \ | AC | = {\ tfrac {1} {2}} \ tan \ theta \, .}$

Como cada região está contida na próxima, uma tem:

${\ displaystyle {\ text {Area}} (R_ {1}) <{\ text {Area}} (R_ {2}) <{\ text {Area}} (R_ {3}) \ implica {\ tfrac { 1} {2}} \ sin \ theta <{\ tfrac {1} {2}} \ theta <{\ tfrac {1} {2}} \ tan \ theta \ ,.}$

Além disso, uma vez que sin θ > 0 no primeiro quadrante, podemos dividir por ½ sin θ , dando:

${\ displaystyle 1 <{\ frac {\ theta} {\ sin \ theta}} <{\ frac {1} {\ cos \ theta}} \ implica 1> {\ frac {\ sin \ theta} {\ theta} }> \ cos \ theta \ ,.}$

Na última etapa, pegamos os recíprocos dos três termos positivos, revertendo as desigualdades.

Concluímos que para 0 <θ <½ π, a quantidade sin ( θ ) / θ é sempre menor que 1 e sempre maior que cos (θ). Assim, à medida que θ se aproxima de 0, sin ( θ ) / θ é " espremido " entre um teto na altura 1 e um piso na altura cos θ , que sobe para 1; portanto, sin ( θ ) / θ deve tender para 1 enquanto θ tende para 0 do lado positivo:

${\ displaystyle \ lim _ {\ theta \ to 0 ^ {+}} {\ frac {\ sin \ theta} {\ theta}} = 1 \ ,.}$

Para o caso em que θ é um pequeno número negativo –½ π <θ <0, usamos o fato de que seno é uma função ímpar :

${\ displaystyle \ lim _ {\ theta \ to 0 ^ {-}} \! {\ frac {\ sin \ theta} {\ theta}} \ = \ \ lim _ {\ theta \ to 0 ^ {+}} \! {\ frac {\ sin (- \ theta)} {- \ theta}} \ = \ \ lim _ {\ theta \ to 0 ^ {+}} \! {\ frac {- \ sin \ theta} { - \ theta}} \ = \ \ lim _ {\ theta \ a 0 ^ {+}} \! {\ frac {\ sin \ theta} {\ theta}} \ = \ 1 \ ,.}$

Limite de (cos (θ) -1) / θ quando θ tende a 0

A última seção nos permite calcular esse novo limite com relativa facilidade. Isso é feito empregando um truque simples. Nesse cálculo, o sinal de θ não é importante.

${\ displaystyle \ lim _ {\ theta \ to 0} \, {\ frac {\ cos \ theta -1} {\ theta}} \ = \ \ lim _ {\ theta \ to 0} \ left ({\ frac {\ cos \ theta -1} {\ theta}} \ right) \! \! \ left ({\ frac {\ cos \ theta +1} {\ cos \ theta +1}} \ right) \ = \ \ lim _ {\ theta \ to 0} \, {\ frac {\ cos ^ {2} \! \ theta -1} {\ theta \, (\ cos \ theta +1)}}.}$

Usando cos ² θ - 1 = –sin ² θ , o fato de que o limite de um produto é o produto dos limites, e o resultado limite da seção anterior, descobrimos que:

${\ displaystyle \ lim _ {\ theta \ to 0} \, {\ frac {\ cos \ theta -1} {\ theta}} \ = \ \ lim _ {\ theta \ to 0} \, {\ frac { - \ sin ^ {2} \ theta} {\ theta (\ cos \ theta +1)}} \ = \ \ left (- \ lim _ {\ theta \ to 0} {\ frac {\ sin \ theta} { \ theta}} \ right) \! \ left (\ lim _ {\ theta \ to 0} \, {\ frac {\ sin \ theta} {\ cos \ theta +1}} \ right) \ = \ (- 1) \ left ({\ frac {0} {2}} \ right) = 0 \,}$

Limite de tan (θ) / θ conforme θ tende a 0

Usando o limite para a função seno , o fato de que a função tangente é ímpar e o fato de que o limite de um produto é o produto de limites, encontramos:

${\ displaystyle \ lim _ {\ theta \ to 0} {\ frac {\ tan \ theta} {\ theta}} \ = \ \ left (\ lim _ {\ theta \ to 0} {\ frac {\ sin \ theta} {\ theta}} \ right) \! \ left (\ lim _ {\ theta \ to 0} {\ frac {1} {\ cos \ theta}} \ right) \ = \ (1) (1) \ = \ 1 \ ,.}$

Derivada da função seno

Calculamos a derivada da função seno a partir da definição de limite :

${\ displaystyle {\ frac {\ operatorname {d}} {\ operatorname {d} \! \ theta}} \, \ sin \ theta = \ lim _ {\ delta \ to 0} {\ frac {\ sin (\ theta + \ delta) - \ sin \ theta} {\ delta}}.}$

Usando a fórmula de adição de ângulo sin (α + β) = sin α cos β + sin β cos α , temos:

${\ displaystyle {\ frac {\ operatorname {d}} {\ operatorname {d} \! \ theta}} \, \ sin \ theta = \ lim _ {\ delta \ to 0} {\ frac {\ sin \ theta \ cos \ delta + \ sin \ delta \ cos \ theta - \ sin \ theta} {\ delta}} = \ lim _ {\ delta \ a 0} \ left ({\ frac {\ sin \ delta} {\ delta }} \ cos \ theta + {\ frac {\ cos \ delta -1} {\ delta}} \ sin \ theta \ right).}$

Usando os limites para as funções seno e cosseno :

${\ displaystyle {\ frac {\ operatorname {d}} {\ operatorname {d} \! \ theta}} \, \ sin \ theta = (1) \ cos \ theta + (0) \ sin \ theta = \ cos \ theta \ ,.}$

Derivada da função cosseno

Da definição de derivada

Mais uma vez, calculamos a derivada da função cosseno a partir da definição de limite:

${\ displaystyle {\ frac {\ operatorname {d}} {\ operatorname {d} \! \ theta}} \, \ cos \ theta = \ lim _ {\ delta \ to 0} {\ frac {\ cos (\ theta + \ delta) - \ cos \ theta} {\ delta}}.}$

Usando a fórmula de adição de ângulo cos (α + β) = cos α cos β - sen α sen β , temos:

${\ displaystyle {\ frac {\ operatorname {d}} {\ operatorname {d} \! \ theta}} \, \ cos \ theta = \ lim _ {\ delta \ to 0} {\ frac {\ cos \ theta \ cos \ delta - \ sin \ theta \ sin \ delta - \ cos \ theta} {\ delta}} = \ lim _ {\ delta \ a 0} \ left ({\ frac {\ cos \ delta -1} { \ delta}} \ cos \ theta \, - \, {\ frac {\ sin \ delta} {\ delta}} \ sin \ theta \ right).}$

Usando os limites para as funções seno e cosseno :

${\ displaystyle {\ frac {\ operatorname {d}} {\ operatorname {d} \! \ theta}} \, \ cos \ theta = (0) \ cos \ theta - (1) \ sin \ theta = - \ sin \ theta \ ,.}$

Da regra da corrente

Para calcular a derivada da função cosseno da regra da cadeia, primeiro observe os três fatos a seguir:

${\ displaystyle \ cos \ theta = \ sin \ left ({\ tfrac {\ pi} {2}} - \ theta \ right)}$

${\ displaystyle \ sin \ theta = \ cos \ left ({\ tfrac {\ pi} {2}} - \ theta \ right)}$

${\ displaystyle {\ tfrac {\ operatorname {d}} {\ operatorname {d} \! \ theta}} \ sin \ theta = \ cos \ theta}$

A primeira e a segunda são identidades trigonométricas , e a terceira foi comprovada acima. Usando esses três fatos, podemos escrever o seguinte,

${\ displaystyle {\ tfrac {\ operatorname {d}} {\ operatorname {d} \! \ theta}} \ cos \ theta = {\ tfrac {\ operatorname {d}} {\ operatorname {d} \! \ theta }} \ sin \ left ({\ tfrac {\ pi} {2}} - \ theta \ right)}$

Podemos diferenciar isso usando a regra da cadeia . Letting , temos: ${\ displaystyle f (x) = \ sin x, \ \ g (\ theta) = {\ tfrac {\ pi} {2}} - \ theta}$

${\ displaystyle {\ tfrac {\ operatorname {d}} {\ operatorname {d} \! \ theta}} f \! \ left (g \! \ left (\ theta \ right) \ right) = f ^ {\ prime} \! \ left (g \! \ left (\ theta \ right) \ right) \ cdot g ^ {\ prime} \! \ left (\ theta \ right) = \ cos \ left ({\ tfrac {\ pi} {2}} - \ theta \ right) \ cdot (0-1) = - \ sin \ theta}$.

Portanto, provamos que

${\ displaystyle {\ tfrac {\ operatorname {d}} {\ operatorname {d} \! \ theta}} \ cos \ theta = - \ sin \ theta}$.

Derivada da função tangente

Da definição de derivada

Para calcular a derivada da função tangente tan θ , usamos os primeiros princípios . Por definição:

${\ displaystyle {\ frac {\ operatorname {d}} {\ operatorname {d} \! \ theta}} \, \ tan \ theta = \ lim _ {\ delta \ to 0} \ left ({\ frac {\ tan (\ theta + \ delta) - \ tan \ theta} {\ delta}} \ right).}$

Usando a conhecida fórmula do ângulo tan (α + β) = (tan α + tan β) / (1 - tan α tan β) , temos:

${\ displaystyle {\ frac {\ operatorname {d}} {\ operatorname {d} \! \ theta}} \, \ tan \ theta = \ lim _ {\ delta \ to 0} \ left [{\ frac {{ \ frac {\ tan \ theta + \ tan \ delta} {1- \ tan \ theta \ tan \ delta}} - \ tan \ theta} {\ delta}} \ right] = \ lim _ {\ delta \ to 0 } \ left [{\ frac {\ tan \ theta + \ tan \ delta - \ tan \ theta + \ tan ^ {2} \ theta \ tan \ delta} {\ delta \ left (1- \ tan \ theta \ tan \ delta \ right)}} \ right].}$

Usando o fato de que o limite de um produto é o produto dos limites:

${\ displaystyle {\ frac {\ operatorname {d}} {\ operatorname {d} \! \ theta}} \, \ tan \ theta = \ lim _ {\ delta \ to 0} {\ frac {\ tan \ delta } {\ delta}} \ times \ lim _ {\ delta \ to 0} \ left ({\ frac {1+ \ tan ^ {2} \ theta} {1- \ tan \ theta \ tan \ delta}} \ direito).}$

Usando o limite para a função tangente , e o fato de que tan δ tende a 0 enquanto δ tende a 0:

${\ displaystyle {\ frac {\ operatorname {d}} {\ operatorname {d} \! \ theta}} \, \ tan \ theta = 1 \ times {\ frac {1+ \ tan ^ {2} \ theta} {1-0}} = 1+ \ tan ^ {2} \ theta.}$

Vemos imediatamente que:

${\ displaystyle {\ frac {\ operatorname {d}} {\ operatorname {d} \! \ theta}} \, \ tan \ theta = 1 + {\ frac {\ sin ^ {2} \ theta} {\ cos ^ {2} \ theta}} = {\ frac {\ cos ^ {2} \ theta + \ sin ^ {2} \ theta} {\ cos ^ {2} \ theta}} = {\ frac {1} { \ cos ^ {2} \ theta}} = \ sec ^ {2} \ theta \ ,.}$

Da regra do quociente

Também se pode calcular a derivada da função tangente usando a regra de quociente .

${\ displaystyle {\ frac {\ operatorname {d}} {\ operatorname {d} \! \ theta}} \ tan \ theta = {\ frac {\ operatorname {d}} {\ operatorname {d} \! \ theta }} {\ frac {\ sin \ theta} {\ cos \ theta}} = {\ frac {\ left (\ sin \ theta \ right) ^ {\ prime} \ cdot \ cos \ theta - \ sin \ theta \ cdot \ left (\ cos \ theta \ right) ^ {\ prime}} {\ cos ^ {2} \ theta}} = {\ frac {\ cos ^ {2} \ theta + \ sin ^ {2} \ theta } {\ cos ^ {2} \ theta}}}$

O numerador pode ser simplificado para 1 pela identidade pitagórica , dando-nos,

${\ displaystyle {\ frac {1} {\ cos ^ {2} \ theta}} = \ sec ^ {2} \ theta}$

Portanto,

${\ displaystyle {\ frac {\ operatorname {d}} {\ operatorname {d} \! \ theta}} \ tan \ theta = \ sec ^ {2} \ theta}$

Provas de derivadas de funções trigonométricas inversas

As seguintes derivadas são encontradas definindo uma variável y igual à função trigonométrica inversa da qual desejamos obter a derivada. Usando a diferenciação implícita e depois resolvendo dy / dx , a derivada da função inversa é encontrada em termos de y . Para converter dy / dx de volta à existência em termos de x , podemos desenhar um triângulo de referência no círculo unitário, deixando θ ser y. Usando o teorema de Pitágoras e a definição das funções trigonométricas regulares, podemos finalmente expressar dy / dx em termos de x .

Diferenciando a função do seno inverso

Nós deixamos

${\ displaystyle y = \ arcsin x \, \!}$

Onde

${\ displaystyle - {\ frac {\ pi} {2}} \ leq y \ leq {\ frac {\ pi} {2}}}$

Então

${\ displaystyle \ sin y = x \, \!}$

Tomando a derivada em relação a ambos os lados e resolvendo para dy / dx: ${\ displaystyle x}$

${\ displaystyle {d \ over dx} \ sin y = {d \ over dx} x}$

${\ displaystyle \ cos y \ cdot {dy \ over dx} = 1 \, \!}$

Substituindo de cima, ${\ displaystyle \ cos y = {\ sqrt {1- \ sin ^ {2} y}}}$

${\ displaystyle {\ sqrt {1- \ sin ^ {2} y}} \ cdot {dy \ over dx} = 1}$

Substituindo de cima, ${\ displaystyle x = \ sin y}$

${\ displaystyle {\ sqrt {1-x ^ {2}}} \ cdot {dy \ over dx} = 1}$

${\ displaystyle {dy \ over dx} = {\ frac {1} {\ sqrt {1-x ^ {2}}}}}$

Diferenciando a função cosseno inversa

Nós deixamos

${\ displaystyle y = \ arccos x \, \!}$

Onde

${\ displaystyle 0 \ leq y \ leq \ pi}$

Então

${\ displaystyle \ cos y = x \, \!}$

Tomando a derivada em relação a ambos os lados e resolvendo para dy / dx: ${\ displaystyle x}$

${\ displaystyle {d \ over dx} \ cos y = {d \ over dx} x}$

${\ displaystyle - \ sin y \ cdot {dy \ over dx} = 1}$

Substituindo de cima, nós obtemos ${\ displaystyle \ sin y = {\ sqrt {1- \ cos ^ {2} y}} \, \!}$

${\ displaystyle - {\ sqrt {1- \ cos ^ {2} y}} \ cdot {dy \ over dx} = 1}$

Substituindo de cima, nós obtemos ${\ displaystyle x = \ cos y \, \!}$

${\ displaystyle - {\ sqrt {1-x ^ {2}}} \ cdot {dy \ over dx} = 1}$

${\ displaystyle {dy \ over dx} = - {\ frac {1} {\ sqrt {1-x ^ {2}}}}}$

Alternativamente, uma vez que a derivada de é estabelecida, a derivada de segue imediatamente diferenciando a identidade de modo que . ${\ displaystyle \ arcsin x}$${\ displaystyle \ arccos x}$${\ displaystyle \ arcsin x + \ arccos x = \ pi / 2}$${\ displaystyle (\ arccos x) '= - (\ arcsin x)'}$

Diferenciando a função tangente inversa

Nós deixamos

${\ displaystyle y = \ arctan x \, \!}$

Onde

${\ displaystyle - {\ frac {\ pi} {2}} <y <{\ frac {\ pi} {2}}}$

Então

${\ displaystyle \ tan y = x \, \!}$

Tomando a derivada em relação a ambos os lados e resolvendo para dy / dx: ${\ displaystyle x}$

${\ displaystyle {d \ over dx} \ tan y = {d \ over dx} x}$

Lado esquerdo:

${\ displaystyle {d \ over dx} \ tan y = \ sec ^ {2} y \ cdot {dy \ over dx} = (1+ \ tan ^ {2} y) {dy \ over dx}}$ usando a identidade pitagórica

Lado direito:

${\ displaystyle {d \ over dx} x = 1}$

Portanto,

${\ displaystyle (1+ \ tan ^ {2} y) {dy \ over dx} = 1}$

Substituindo de cima, nós obtemos ${\ displaystyle x = \ tan y \, \!}$

${\ displaystyle (1 + x ^ {2}) {dy \ over dx} = 1}$

${\ displaystyle {dy \ over dx} = {\ frac {1} {1 + x ^ {2}}}}$

Diferenciando a função cotangente inversa

Nós deixamos

${\ displaystyle y = \ operatorname {arccot} x}$

onde . Então ${\ displaystyle 0 <y <\ pi}$

${\ displaystyle \ cot y = x}$

Tomando a derivada em relação a ambos os lados e resolvendo para dy / dx: ${\ displaystyle x}$

${\ displaystyle {\ frac {d} {dx}} \ cot y = {\ frac {d} {dx}} x}$

Lado esquerdo:

${\ displaystyle {d \ over dx} \ cot y = - \ csc ^ {2} y \ cdot {dy \ over dx} = - (1+ \ cot ^ {2} y) {dy \ over dx}}$ usando a identidade pitagórica

Lado direito:

${\ displaystyle {d \ over dx} x = 1}$

Portanto,

${\ displaystyle - (1+ \ cot ^ {2} y) {\ frac {dy} {dx}} = 1}$

Substituindo , ${\ displaystyle x = \ cot y}$

${\ displaystyle - (1 + x ^ {2}) {\ frac {dy} {dx}} = 1}$

${\ displaystyle {\ frac {dy} {dx}} = - {\ frac {1} {1 + x ^ {2}}}}$

Diferenciando a função secante inversa

Usando diferenciação implícita

Deixar

${\ displaystyle y = \ operatorname {arcsec} x \ \ | x | \ geq 1}$

Então

${\ displaystyle x = \ sec y \ \ y \ in \ left [0, {\ frac {\ pi} {2}} \ right) \ cup \ left ({\ frac {\ pi} {2}}, \ pi \ right]}$

${\ displaystyle {\ frac {dx} {dy}} = \ sec y \ tan y = | x | {\ sqrt {x ^ {2} -1}}}$

(O valor absoluto na expressão é necessário porque o produto da secante e tangente no intervalo de y é sempre não negativo, enquanto o radical é sempre não negativo por definição da raiz quadrada principal, então o fator restante também deve ser não negativo, que é alcançado usando o valor absoluto de x.) ${\ displaystyle {\ sqrt {x ^ {2} -1}}}$

${\ displaystyle {\ frac {dy} {dx}} = {\ frac {1} {| x | {\ sqrt {x ^ {2} -1}}}}}$

Usando a regra da cadeia

Alternativamente, o derivado de arco-cosseno pode ser derivado do derivado de arco-cosseno usando a regra da cadeia .

Deixar

${\ displaystyle y = \ operatorname {arcsec} x = \ arccos \ left ({\ frac {1} {x}} \ right)}$

Onde

${\ displaystyle | x | \ geq 1}$ e ${\ displaystyle y \ in \ left [0, {\ frac {\ pi} {2}} \ right) \ cup \ left ({\ frac {\ pi} {2}}, \ pi \ right]}$

Em seguida, aplicando a regra da cadeia a : ${\ displaystyle \ arccos \ left ({\ frac {1} {x}} \ right)}$

${\ displaystyle {\ frac {dy} {dx}} = - {\ frac {1} {\ sqrt {1 - ({\ frac {1} {x}}) ^ {2}}}} \ cdot \ left (- {\ frac {1} {x ^ {2}}} \ right) = {\ frac {1} {x ^ {2} {\ sqrt {1 - {\ frac {1} {x ^ {2} }}}}}} = {\ frac {1} {x ^ {2} {\ frac {\ sqrt {x ^ {2} -1}} {\ sqrt {x ^ {2}}}}}} = {\ frac {1} {{\ sqrt {x ^ {2}}} {\ sqrt {x ^ {2} -1}}}} = {\ frac {1} {| x | {\ sqrt {x ^ {2} -1}}}}}$

Diferenciando a função cossecante inversa

Usando diferenciação implícita

Deixar

${\ displaystyle y = \ operatorname {arccsc} x \ \ | x | \ geq 1}$

Então

${\ displaystyle x = \ csc y ​​\ \ \ y \ in \ left [- {\ frac {\ pi} {2}}, 0 \ right) \ cup \ left (0, {\ frac {\ pi} {2 }}\direito]}$

${\ displaystyle {\ frac {dx} {dy}} = - \ csc y ​​\ cot y = - | x | {\ sqrt {x ^ {2} -1}}}$

(O valor absoluto na expressão é necessário porque o produto da cossecante e da cotangente no intervalo de y é sempre não negativo, enquanto o radical é sempre não negativo por definição da raiz quadrada principal, então o fator restante também deve ser não negativo, que é alcançado usando o valor absoluto de x.) ${\ displaystyle {\ sqrt {x ^ {2} -1}}}$

${\ displaystyle {\ frac {dy} {dx}} = {\ frac {-1} {| x | {\ sqrt {x ^ {2} -1}}}}}$

Usando a regra da cadeia

Alternativamente, o derivado de arco-cossecante pode ser derivado do derivado de arco-seno usando a regra da cadeia .

Deixar

${\ displaystyle y = \ operatorname {arccsc} x = \ arcsin \ left ({\ frac {1} {x}} \ right)}$

Onde

${\ displaystyle | x | \ geq 1}$ e ${\ displaystyle y \ in \ left [- {\ frac {\ pi} {2}}, 0 \ right) \ cup \ left (0, {\ frac {\ pi} {2}} \ right]}$

Em seguida, aplicando a regra da cadeia a : ${\ displaystyle \ arcsin \ left ({\ frac {1} {x}} \ right)}$

${\ displaystyle {\ frac {dy} {dx}} = {\ frac {1} {\ sqrt {1 - ({\ frac {1} {x}}) ^ {2}}}} \ cdot \ left ( - {\ frac {1} {x ^ {2}}} \ right) = - {\ frac {1} {x ^ {2} {\ sqrt {1 - {\ frac {1} {x ^ {2} }}}}}} = - {\ frac {1} {x ^ {2} {\ frac {\ sqrt {x ^ {2} -1}} {\ sqrt {x ^ {2}}}}}} = - {\ frac {1} {{\ sqrt {x ^ {2}}} {\ sqrt {x ^ {2} -1}}}} = - {\ frac {1} {| x | {\ sqrt {x ^ {2} -1}}}}}$

Veja também

• Trigonometria
• Cálculo
• Derivado
• Tabela de derivados

Referências

Bibliografia

• Handbook of Mathematical Functions , Editado por Abramowitz e Stegun, National Bureau of Standards, Applied Mathematics Series, 55 (1964)