Unidades Lorentz-Heaviside (ou unidades Heaviside-Lorentz ) constituem um sistema de unidades (particularmente unidades eletromagnéticas) dentro do CGS , nomeado para Hendrik Antoon Lorentz e Oliver Heaviside . Eles compartilham com as unidades CGS-Gaussianas a propriedade de que a constante elétrica ε 0 e a constante magnética µ 0 não aparecem, tendo sido incorporadas implicitamente às grandezas eletromagnéticas pela forma como são definidas. As unidades de Lorentz-Heaviside podem ser consideradas como normalizando ε 0 = 1 e µ 0 = 1 , enquanto ao mesmo tempo revisando as equações de Maxwell para usar a velocidade da luz c .
As unidades Lorentz-Heaviside, como as unidades SI , mas ao contrário das unidades Gaussianas , são racionalizadas , o que significa que não há fatores de 4 π aparecendo explicitamente nas equações de Maxwell . O fato de essas unidades serem racionalizadas explica em parte seu apelo na teoria quântica de campos : o Lagrangiano subjacente à teoria não tem nenhum fator de 4 π nessas unidades. Consequentemente, as unidades Lorentz-Heaviside diferem por fatores de √ 4 π nas definições dos campos elétrico e magnético e da carga elétrica . Eles são freqüentemente usados em cálculos relativísticos e na física de partículas . Eles são particularmente convenientes ao realizar cálculos em dimensões espaciais maiores do que três, como na teoria das cordas .
Estrutura comprimento-massa-tempo
Como nas unidades gaussianas ( G ), as unidades de Heaviside-Lorentz ( HLU neste artigo) usam as dimensões comprimento-massa-tempo . Isso significa que todas as unidades elétricas e magnéticas são expressas em termos de unidades básicas de comprimento, tempo e massa.
A equação de Coulomb, usada para definir a carga nesses sistemas, é F = qG
1qG
2/ r 2 no sistema gaussiano, e F = q HL
1qHL
2/ ( 4 π r 2 ) no HLU . A unidade de carga então se conecta a 1 dyn⋅cm 2 = 1 ESU 2 = 4 π HLU . Aquantidade HLU q LH que descreve uma carga é então √ 4 π maior do que a quantidade gaussiana correspondente (veja abaixo), e o resto segue.
Quando a análise dimensional para unidades SI é usada, incluindo ε 0 e μ 0 são usados para converter unidades, o resultado fornece a conversão de e para as unidades de Heaviside-Lorentz. Por exemplo, a carga é √ ε 0 L 3 M / T 2 . Quando se coloca £ 0 = 8,854 pF / m, L = 0,01 m = 1 cm, M = 0,001 kg = 1 g, e t = 1 s, ( segunda ) esta avaliada como 9,409 669 × 10 -11 C . Este é o tamanho da unidade de carga HLU .
Equações de Maxwell com fontes
Com as unidades Lorentz-Heaviside, as equações de Maxwell no espaço livre com fontes assumem a seguinte forma:
onde c é a velocidade da luz no vácuo . Aqui E LH = D LH é o campo elétrico , H LH = B LH é o campo magnético , ρ LH é a densidade de carga e J LH é a densidade de corrente .
A equação da força de Lorentz é:
aqui q LH é a carga de uma partícula de teste com velocidade vetorial v e F é a força elétrica e magnética combinada agindo sobre aquela partícula de teste.
Em ambos os sistemas Gaussiano e Heaviside-Lorentz, as unidades elétricas e magnéticas são derivadas dos sistemas mecânicos. A carga é definida pela equação de Coulomb, com ε = 1 . No sistema gaussiano, a equação de Coulomb é F = qG
1qG
2/ r 2 . No sistema Lorentz-Heaviside, F = qLH
1qLH
2/ 4 πr 2 . Disto, pode-se ver que qG
1qG
2 = qLH
1qLH
2/ 4 π , que as quantidades de carga gaussiana são menores do que as quantidades correspondentes de Lorentz-Heaviside por um fator de √ 4 π . Outras quantidades estão relacionadas da seguinte forma.
-
.
Lista de equações e comparação com outros sistemas de unidades
Esta seção tem uma lista das fórmulas básicas do eletromagnetismo, fornecidas em unidades Lorentz-Heaviside, Gaussiana e SI. A maioria dos nomes de símbolo não é fornecida; para obter explicações e definições completas, clique no artigo dedicado apropriado para cada equação.
Equações de Maxwell
Aqui estão as equações de Maxwell, nas formas macroscópica e microscópica. Apenas a "forma diferencial" das equações é dada, não a "forma integral"; para obter as formas integrais, aplique o teorema da divergência ou o teorema de Kelvin-Stokes .
Nome
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Quantidades
SI |
Quantidades de Lorentz-Heaviside
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Quantidades
gaussianas |
Lei de Gauss (macroscópica)
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Lei de Gauss (microscópica)
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Lei de Gauss para o magnetismo :
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Equação de Maxwell-Faraday ( lei de indução de Faraday ):
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Equação de Ampère-Maxwell (macroscópica):
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Equação de Ampère-Maxwell (microscópica):
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Outras leis básicas
Nome
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Quantidades SI
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Quantidades de Lorentz-Heaviside
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Quantidades gaussianas
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Força Lorentz
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Lei de Coulomb
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Campo elétrico de carga de ponto estacionário
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Lei Biot-Savart
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Materiais dielétricos e magnéticos
Abaixo estão as expressões para os vários campos em um meio dielétrico. É assumido aqui para simplicidade que o meio é homogêneo, linear, isotrópico e não dispersivo, de modo que a permissividade é uma constante simples.
Quantidades SI
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Quantidades de Lorentz-Heaviside
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Quantidades gaussianas
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Onde
As quantidades , e são adimensionais, e eles têm o mesmo valor numérico. Em contraste, a susceptibilidade elétrica é adimensional em todos os sistemas, mas tem diferentes valores numéricos para o mesmo material:
A seguir, aqui estão as expressões para os vários campos em um meio magnético. Novamente, assume-se que o meio é homogêneo, linear, isotrópico e não dispersivo, de modo que a permeabilidade pode ser expressa como uma constante escalar.
Quantidades SI
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Quantidades de Lorentz-Heaviside
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Quantidades gaussianas
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Onde
As quantidades , e são adimensionais, e eles têm o mesmo valor numérico. Em contraste, a susceptibilidade magnética é adimensional em todos os sistemas, mas tem diferentes valores numéricos para o mesmo material:
Potenciais vetoriais e escalares
Os campos elétricos e magnéticos podem ser escritos em termos de um potencial vetorial A e um potencial escalar :
Nome
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Quantidades SI
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Quantidades de Lorentz-Heaviside
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Quantidades gaussianas
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Campo elétrico (estático)
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Campo elétrico (geral)
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Campo magnético B
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Tradução de expressões e fórmulas entre sistemas
Para converter qualquer expressão ou fórmula entre os sistemas SI, Lorentz-Heaviside ou Gaussiano, as quantidades correspondentes mostradas na tabela abaixo podem ser equacionadas diretamente e, portanto, substituídas. Isso irá reproduzir qualquer uma das fórmulas específicas fornecidas na lista acima, como as equações de Maxwell.
Por exemplo, começando com a equação
e as equações da mesa
movendo o fator nas últimas identidades e substituindo, o resultado é
que então simplifica para
Nome
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Unidades SI
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Unidades Lorentz-Heaviside
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Unidades gaussianas
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campo elétrico , potencial elétrico
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campo de deslocamento elétrico
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carga elétrica , densidade de carga elétrica , corrente elétrica , densidade de corrente elétrica , densidade de polarização , momento de dipolo elétrico
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campo magnético B , fluxo magnético , potencial vetorial magnético
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campo magnético H
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momento magnético , magnetização
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permissividade relativa , permeabilidade relativa
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susceptibilidade elétrica , susceptibilidade magnética
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condutividade , condutância , capacitância
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resistividade , resistência , indutância
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Substituindo CGS por unidades naturais
Quando se pega as equações padrão do livro didático SI e se define ε 0 = µ 0 = c = 1 para obter unidades naturais , as equações resultantes seguem a formulação e os tamanhos de Heaviside-Lorentz. A conversão não requer mudanças no fator 4 π , ao contrário das equações gaussianas. Equação lei do inverso do quadrado de Coulomb em SI é F = Q 1 Q 2 /4 πε 0 r 2 . Conjunto £ 0 = 1 para obter a forma HLU: F = Q 1 Q 2 /4 πr 2 . A forma gaussiana não possui o 4 π no denominador.
Definindo c = 1 com HLU, as equações de Maxwell e a equação de Lorentz tornam-se iguais ao exemplo SI com ε 0 = µ 0 = c = 1 .
Como essas equações podem ser facilmente relacionadas ao trabalho de SI, os sistemas racionalizados estão se tornando mais modernos.
Na mecânica quântica
Além disso, definir ε 0 = µ 0 = c = ħ = k B = 1 produz um sistema de unidades natural parametrizado por um único valor de escala, que pode ser escolhido para ser um valor de massa, tempo, energia, comprimento, etc. Escolhendo um, por exemplo, uma massa m , os outros são determinados multiplicando com estas constantes: a escala de comprimento via l = ħ / mc , e a escala de tempo de t = ħ / mc 2 , etc.
Unidades Lorentz-Heaviside Planck
A configuração produz as unidades de Planck Lorentz – Heaviside , ou unidades de Planck racionalizadas . A escala de massa é escolhida de forma que a constante gravitacional seja igual à constante de Coulomb . (Em contraste, unidades de Planck gaussianas definidas .)
Equações-chave da física em unidades de Planck Lorentz-Heaviside (unidades de Planck racionalizadas)
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Formulário SI
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Forma não dimensionalizada
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Equivalência massa-energia na relatividade especial
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Relação energia-momento
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Lei do gás ideal
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Energia térmica por partícula por grau de liberdade
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Fórmula de
entropia de Boltzmann |
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Relação de Planck-Einstein para frequência angular
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Lei de Planck para corpo negro na temperatura T
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Constante de Stefan-Boltzmann σ definida
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Equação de Schrödinger
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Forma hamiltoniana da equação de Schrödinger
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Forma covariante da equação de Dirac
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Temperatura Unruh
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Lei de Coulomb
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Equações de Maxwell
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Lei Biot-Savart
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Lei Biot-Savart
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Intensidade de campo elétrico e indução elétrica
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Intensidade do campo magnético e indução magnética
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Lei da gravitação universal de Newton
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Equações de campo de Einstein na relatividade geral
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Raio de Schwarzschild
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Temperatura Hawking de um buraco negro
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Bekenstein - entropia de buraco negro Hawking
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Notas
Referências
links externos