Matriz de uns - Matrix of ones

Em matemática , uma matriz de uns ou uma matriz de todos é uma matriz onde cada elemento é igual a um . Exemplos de notação padrão são fornecidos abaixo:

${\ displaystyle J_ {2} = {\ begin {pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \ end {pmatrix}}; \ quad J_ {3} = {\ begin {pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \ end {pmatrix} }; \ quad J_ {2,5} = {\ begin {pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \ end {pmatrix}}; \ quad J_ {1,2} = {\ begin {pmatrix} 1 & 1 \ end {pmatrix}} . \ quad}$

Algumas fontes chamam a matriz unificada de matriz unitária , mas esse termo também pode se referir à matriz identidade , uma matriz diferente.

Um vetor de um ou um vetor de todos é a matriz de uns que têm a forma de linha ou coluna .

Propriedades

Para um n  ×  n matriz de uns J , as seguintes propriedades segurar:

• O traço de J é igual a n , e o determinante é igual a 0 para n ≥ 2, mas é igual a 1 se n = 1 (ou se n = 0 se quisermos considerar a matriz quadrada vazia , que é uma matriz unificada).
• O polinômio característico de J é .${\ displaystyle (xn) x ^ {n-1}}$
• A classificação de J é 1 e os autovalores são n com multiplicidade 1 e 0 com multiplicidade n - 1 .
• ${\ displaystyle J ^ {k} = n ^ {k-1} J}$ para ${\ displaystyle k = 1,2, \ ldots.}$
• J é o elemento neutro do produto Hadamard .

Quando J é considerado uma matriz sobre os números reais , as seguintes propriedades adicionais são válidas:

• J é uma matriz semi-definida positiva .
• A matriz é idempotente .${\ displaystyle {\ tfrac {1} {n}} J}$
• A matriz exponencial de J é${\ displaystyle \ exp (J) = I + {\ frac {e ^ {n} -1} {n}} J.}$

Formulários

A matriz all-uns surge no campo matemático da combinatória , envolvendo particularmente a aplicação de métodos algébricos à teoria dos grafos . Por exemplo, se A é a matriz de adjacência de um grafo G não direcionado de n- vértices , e J é a matriz de todos-uns da mesma dimensão, então G é um grafo regular se e somente se AJ  =  JA . Como um segundo exemplo, a matriz aparece em algumas provas algébricas lineares da fórmula de Cayley , que fornece o número de árvores geradoras de um grafo completo , usando o teorema da árvore de matrizes .

Veja também

• Matriz zero , uma matriz onde todos os elementos são zero
• Matriz de entrada única

Referências

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• v
• t
• e