Polinômio mínimo (álgebra linear) - Minimal polynomial (linear algebra)

Em álgebra linear , o mínimo polinomial $μ Um$ de um $n \times n$ matriz $A$ ao longo de um campo $F$ é o mônico polinómio $P$ sobre $F$ de menor grau tal que $P (A) = 0$ . Qualquer outro polinómio $Q$ com $Q (A) = 0$ é um múltiplo (polinomial) de $μ Uma$ .

As três declarações a seguir são equivalentes:

$λ$ é uma raiz de $μ A$ ,
$λ$ é uma raiz do polinômio característico $χ A$ de $A$ ,
$λ$ é um valor próprio da matriz $A$ .

A multiplicidade de uma raiz $λ$ de $μ A$ é a maior potência $m$ tal que $ker ((A - λI n) m)$ contém estritamente $ker ((A - λI n) m -1)$ . Em outras palavras, aumentar o expoente até $m$ fornecerá núcleos cada vez maiores, mas aumentar ainda mais o expoente além de $m$ fornecerá apenas o mesmo núcleo.

Se o campo $F$ não for fechado algebricamente, então os polinômios mínimos e característicos não precisam ser fatorados de acordo com suas raízes (em $F$ ) sozinhos, em outras palavras, eles podem ter fatores polinomiais irredutíveis de grau maior que $1$ . Para polinômios irredutíveis $P$ tem-se equivalências semelhantes:

$P$ divide $μ A$ ,
$P$ divide $χ A$ ,
o kernel de $P (A)$ tem dimensão de pelo menos $1$ .
o kernel de $P (A)$ tem dimensão de pelo menos $deg (P)$ .

Como o polinômio característico, o polinômio mínimo não depende do campo base. Em outras palavras, considerar a matriz como uma com coeficientes em um campo maior não altera o polinômio mínimo. A razão é um pouco diferente do polinômio característico (onde é imediato da definição dos determinantes), a saber, o fato de que o polinômio mínimo é determinado pelas relações de dependência linear entre as potências de $A$ : estender o campo base não apresentará quaisquer novas relações (nem, é claro, removerá as existentes).

O polinômio mínimo é geralmente o mesmo que o polinômio característico, mas nem sempre. Por exemplo, se $A$ é um múltiplo $aI n$ da matriz identidade, então seu polinômio mínimo é $X - a,$ pois o núcleo de $aI n - A = 0$ já é o espaço inteiro; por outro lado, seu polinômio característico é $(X - a) n$ (o único autovalor é $a$ , e o grau do polinômio característico é sempre igual à dimensão do espaço). O polinômio mínimo sempre divide o polinômio característico, que é uma maneira de formular o teorema de Cayley-Hamilton (para o caso de matrizes sobre um campo).

Definição formal

Dado um endomorfismo $T$ em um espaço vetorial de dimensão finita $V$ sobre um campo $F$ , seja $I T$ o conjunto definido como

{\ displaystyle {\ mathit {I}} _ {T} = \ {p \ in \ mathbf {F} [t] \ mid p (T) = 0 \}}

onde $F [t]$ é o espaço de todos os polinómios sobre o campo $F$ . $I T$ é um ideal próprio de $F [t]$ . Uma vez que $F$ é um campo, $F [t]$ é um domínio de ideal principal , portanto, qualquer ideais é gerada por uma única polinomial, que é única para cima para unidades em $F$ . Uma escolha particular entre os geradores pode ser feita, uma vez que precisamente um dos geradores é monic . O polinomial mínima é assim definida para ser o polinómio mónico que gera $eu t$ . É o polinômio monic de menor grau na $I T$ .

Formulários

Um endomorfismo $φ$ de um espaço vetorial de dimensão finita sobre um campo $F$ é diagonalizável se e somente se seus fatores polinomiais mínimos completamente sobre $F$ em fatores lineares distintos . O fato de haver apenas um fator $X - λ$ para cada autovalor $λ$ significa que o autoespaço generalizado para $λ$ é o mesmo que o autoespaço para $λ$ : cada bloco de Jordan tem tamanho $1$ . Mais geralmente, se $φ$ satisfaz uma equação polinomial $P (φ) = 0$ onde $P$ fatora em fatores lineares distintos sobre $F$ , então ele será diagonalizável: seu polinômio mínimo é um divisor de $P$ e, portanto, também fatora em fatores lineares distintos. Em particular, um tem:

$P = X k - 1$ : endomorfismos de ordem finita de espaços vetoriais complexos são diagonalizáveis. Para o caso especial $k = 2$ de involuções , isso é mesmo verdadeiro para endomorfismos de espaços vetoriais sobre qualquer campo de característica diferente de $2$ , uma vez que $X 2 - 1 = (X - 1) (X + 1)$ é uma fatoração em fatores distintos sobre tal campo. Esta é uma parte da teoria da representação de grupos cíclicos.
$P = X 2 - X = X (X - 1)$ : endomorfismos que satisfazem $φ 2 = φ$ são chamados de projeções e são sempre diagonalizáveis (além disso, seus únicos autovalores são $0$ e $1$ ).
Em contraste, se $μ φ = X k$ com $k \geq 2$ então $φ$ (um endomorfismo nilpotente) não é necessariamente diagonalizável, uma vez que $X k$ tem uma raiz repetida $0$ .

Esses casos também podem ser provados diretamente, mas o polinômio mínimo oferece uma perspectiva e uma prova unificadas.

Computação

Para um vetor $v$ em $V,$ defina:

{\ displaystyle {\ mathit {I}} _ {T, v} = \ {p \ in \ mathbf {F} [t] \; | \; p (T) (v) = 0 \}.}

Esta definição satisfaz as propriedades de um ideal adequado. Seja $μ T, v$ o polinômio mônico que o gera.

Propriedades

Como $I T, v$ contém o polinômio mínimo $μ T$ , o último é divisível por $μ T, v$ .
Se $d$ é o menor número natural tal que $v, T (v), ..., T d (v)$ são linearmente dependentes , então existe $um$ único $0$ $,$ $a$ $1$ $, ...,$ $a$ $d$ $-1$ em $F$ , nem todos zero, tal que
${\ displaystyle a_ {0} v + a_ {1} T (v) + \ cdots + a_ {d-1} T ^ {d-1} (v) + T ^ {d} (v) = 0}$

e para esses coeficientes, tem-se

${\ displaystyle \ mu _ {T, v} (t) = a_ {0} + a_ {1} t + \ ldots + a_ {d-1} t ^ {d-1} + t ^ {d}.}$
Seja o subespaço W a imagem de $μ T, v (T)$ , que é $T-$ estável. Como $μ T, v (T)$ aniquila pelo menos os vetores $v, T (v), ..., T d -1 (v)$ , a codimensão de $W$ é pelo menos $d$ .
O mínimo polinomial $μ T$ é o produto de $μ t, v$ e o mínimo polinómio $Q$ da restrição de $T$ a $W$ . No (provável) caso em que $W$ tem dimensão $0,$ tem-se $Q = 1$ e, portanto, $μ T = μ T, v$ ; caso contrário, uma computação recursiva de $Q$ é suficiente para encontrar $μ T$ .

Exemplo

Defina $T$ como o endomorfismo de $R 3$ com matriz, na base canônica,

{\ displaystyle {\ begin {pmatrix} 1 & -1 & -1 \\ 1 & -2 & 1 \\ 0 & 1 & -3 \ end {pmatrix}}.}

Tomando o primeiro vetor de base canônica $e 1$ e suas imagens repetidas por $T$ obtém-se

{\ displaystyle e_ {1} = {\ begin {bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \ end {bmatrix}}, \ quad T \ cdot e_ {1} = {\ begin {bmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \ end {bmatrix}}. \ Quad T ^ {2} \ cdot e_ {1} = {\ begin {bmatrix} 0 \\ - 1 \\ 1 \ end {bmatrix}} {\ mbox {e}} \ quad T ^ {3} \ cdot e_ {1} = {\ begin {bmatrix} 0 \\ 3 \\ - 4 \ end {bmatrix}}}

dos quais os três primeiros são facilmente vistos como linearmente independentes e, portanto, abrangem todo o $R 3$ . O último, então, é necessariamente uma combinação linear dos três primeiros, de fato

T 3 \cdot e 1 = -4 T 2 \cdot e 1 - T \cdot e 1 + e 1

,

de modo a:

μ T, um e 1 = X 3 + 4 X 2 + X - I

.

Este é de fato também o polinômio mínimo $μ T$ e o polinômio característico $χ T$ : na verdade $μ T, e 1$ divide $μ T$ que divide $χ T$ , e como o primeiro e o último são de grau $3$ e todos são mônicos, todos devem ser o mesmo. Outra razão é que, em geral, se qualquer polinômio em $T$ aniquila um vetor $v$ , então ele também aniquila $T \cdot v$ (basta aplicar $T$ à equação que diz que ele aniquila $v$ ) e, portanto, por iteração, ele aniquila todo o espaço gerado pelo imagens iteradas por $T$ de $v$ ; no caso atual, vimos que para $v = e 1$ esse espaço é todo de $R 3$ , então $μ T, e 1 (T) = 0$ . De fato, verifica-se para a matriz completa que $T 3 + 4 T 2 + T - I 3$ é a matriz nula:

{\ displaystyle {\ begin {bmatrix} 0 & 1 & -3 \\ 3 & -13 & 23 \\ - 4 & 19 & -36 \ end {bmatrix}} + 4 {\ begin {bmatrix} 0 & 0 & 1 \\ - 1 & 4 & -6 \\ 1 & -5 & 10 \ end {bmatrix}} + {\ begin {bmatrix} 1 & -1 & -1 \\ 1 & -2 & 1 \\ 0 & 1 & -3 \ end {bmatrix}} + {\ begin {bmatrix} -1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \ end {bmatrix}}}

Referências

Lang, Serge (2002), Algebra , Graduate Texts in Mathematics , 211 (revisado, terceira edição), Nova York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95385-4, MR 1878556

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