Nonagon - Nonagon

Eneagono regular (nonagon)
Um eneagono regular (nonagon)
Modelo	Polígono regular
Arestas e vértices	9
Símbolo Schläfli	{9}
Diagrama de Coxeter
Grupo de simetria	Diédrico (D 9 ), ordem 2 × 9
Ângulo interno ( graus )	140 °
Polígono duplo	Auto
Propriedades	Convexo , cíclico , equilátero , isogonal , isotóxico

Na geometria , um nonagon ( / n ɒ n do ə do ɡ ɒ n / ) ou enneagon ( / ɛ n i do ə do ɡ ɒ n / ) é um de nove lados do polígono ou 9-gon.

O nome nonagon é um prefixo de formação híbrida , do latim ( nonus , "nono" + gonon ), usado de forma equivalente, atestado já no século XVI em francês nonogone e em inglês a partir do século XVII. O nome enneagon vem do grego enneagonon (εννεα, "nove" + γωνον (de γωνία = "canto")), e é sem dúvida mais correto, embora menos comum do que "nonagon".

Nonagon regular

Um nonágono regular é representado pelo símbolo Schläfli {9} e tem ângulos internos de 140 °. A área de um nonágono regular de comprimento lateral a é dada por

${\ displaystyle A = {\ frac {9} {4}} a ^ {2} \ cot {\ frac {\ pi} {9}} = (9/2) ar = 9r ^ {2} \ tan (\ pi / 9)}$

${\ displaystyle = (9/2) R ^ {2} \ sin (2 \ pi / 9) \ simeq 6.18182 \, a ^ {2},}$

onde o raio r do círculo inscrito do nonágono regular é

${\ displaystyle r = (a / 2) \ cot (\ pi / 9)}$

e onde R é o raio de seu círculo circunscrito :

${\ displaystyle R = {\ sqrt {(a / 2) ^ {2} + r ^ {2}}} = r \ sec (\ pi / 9).}$

Construção

Embora um nonágono regular não seja construtível com compasso e régua (como 9 = 3 ² , que não é um produto de primos de Fermat distintos ), existem métodos de construção muito antigos que produzem aproximações muito próximas.

Também pode ser construído usando neusis , ou permitindo o uso de um trissetor de ângulo .

Nonagon, animação de uma construção neusis baseada no ângulo de trissecção 120 ° por meio do Tomahawk , no final do intervalo de 10 s

Nonagon, uma construção neusis, a base é um hexágono com trissecção do ângulo segundo Arquimedes , animação, no final do intervalo de 10 s

Aproximações

Aproximação I

Precisão (linear): 10 ^-6

O que se segue é uma construção aproximada de um nonágono usando régua e compasso .

Exemplo para ilustrar o erro, quando o ângulo central construído é 39.99906 °:
Em um raio de círculo circunscrito r = 100 m, o erro absoluto do 1º lado seria de aproximadamente 1,6 mm.

Aproximação II

Precisão (linear): 10 ⁻¹⁰

• Reduza o ângulo JMK (também 60 °) com quatro bissecções de ângulo e faça um terço do arco circular MON com uma solução aproximada entre bissecções de ângulo w ₃ e w ₄ .
• A linha auxiliar reta g aponta sobre o ponto O para o ponto N (virtualmente uma régua nos pontos O e N aplicados), entre O e N, portanto sem linha auxiliar.

Assim, o arco circular MON é livremente acessível para o último ponto de interseção R.

${\ displaystyle \ scriptstyle \ angle {}}$ RMK = 40,0000000052441 ... °

360 ° ÷ 9 = 40 °

${\ displaystyle \ scriptstyle \ angle {}}$ RMK - 40 ° = 5,2 ... E-9 °

Exemplo para ilustrar o erro :

Em um raio de círculo circunscrito

r = 100.000 km, o erro absoluto do 1º lado seria de aproximadamente 8,6 mm.

Veja também o cálculo (Berechnung, Alemão) .

• 

  Nonagon em um determinado círculo circunscrito , animação

• 

  Nonagon em um determinado comprimento lateral, animação

Simetria

Simetrias de um eneagono regular. Os vértices são coloridos por suas posições de simetria. Os espelhos azuis são desenhados através dos vértices e os espelhos roxos são desenhados através das bordas. As ordens de rotação são dadas no centro.

O eneagono regular tem simetria Dih ₉ , ordem 18. Existem 2 simetrias diédricas de subgrupo: Dih ₃ e Dih ₁ , e 3 simetrias de grupo cíclicas : Z ₉ , Z ₃ e Z ₁ .

Essas 6 simetrias podem ser vistas em 6 simetrias distintas no eneagono. John Conway os rotula por uma carta e ordem de grupo. A simetria completa da forma regular é r18 e nenhuma simetria é rotulada como a1 . As simetrias diédricas são divididas dependendo se passam por vértices ( d para diagonal) ou arestas ( p para perpendiculares) e i quando as linhas de reflexão passam por arestas e vértices. Simetrias cíclicas na coluna do meio são rotuladas como g para suas ordens centrais de giração.

Cada simetria de subgrupo permite um ou mais graus de liberdade para formas irregulares. Apenas o subgrupo g9 não tem graus de liberdade, mas pode ser visto como bordas direcionadas .

Tilings

O eneagono regular pode tesselar a telha euclidiana com lacunas. Essas lacunas podem ser preenchidas com hexágonos regulares e triângulos isósceles. Na notação de simetroedro, esta telha é chamada de H (*; 3; *; [2]) com H representando * 632 simetria hexagonal no plano.

Gráficos

O gráfico completo K ₉ é freqüentemente desenhado como um eneagono regular com todas as 36 arestas conectadas. Este gráfico também representa uma projeção ortográfica dos 9 vértices e 36 arestas do 8-simplex .

8-simplex (8D)

Referências da cultura pop

• They Might Be Giants tem uma música intitulada "Nonagon" em seu álbum infantil Here Come the 123s . Refere-se a um participante de uma festa em que "todos na festa são um polígono multifacetado" e a uma dança que eles executam nessa festa.
• O logotipo do Slipknot também é uma versão de um nonagon, sendo uma estrela de nove pontas feita de três triângulos, referindo-se aos nove membros.
• King Gizzard & the Lizard Wizard têm um álbum intitulado ' Nonagon Infinity ', a arte do álbum apresentando um gráfico completo não-diagonal. O álbum consiste em nove canções e se repete ciclicamente.

Arquitetura

Os templos da Fé Bahá'í , chamados de Casas de Adoração Bahá'í , devem ser não-frontais.

A US Steel Tower é um nonagon irregular.

Veja também

• Eneagrama (nãoagrama)
• Trissecção do ângulo de 60 °, construção de proximidade

Referências

links externos

• Propriedades de um Nonagon (com animação interativa)