Forma bilinear degenerada - Degenerate bilinear form

Em matemática , especificamente na álgebra linear , uma forma bilinear degenerada f ( x , y ) em um espaço vetorial V é uma forma bilinear tal que o mapa de V a V ^∗ (o espaço dual de V ) dado por v ↦ ( x ↦ f ( x , v )) não é um isomorfismo . Uma definição equivalente quando V é finito-dimensional é que ele tem um kernel não trivial : existe algum x diferente de zero em V tal que

${\ displaystyle f (x, y) = 0 \,}$ para todos ${\ displaystyle y \ in V.}$

Formas não degeneradas

Uma forma não degenerada ou não singular é uma forma bilinear que não é degenerada, o que significa que é um isomorfismo , ou equivalentemente em dimensões finitas, se e somente se ${\ displaystyle v \ mapsto (x \ mapsto f (x, v))}$

${\ displaystyle f (x, y) = 0 \,}$pois tudo implica isso .${\ displaystyle y \ in V \ setminus \ {0 \}}$${\ displaystyle x = 0}$

Os exemplos mais importantes de formas não degeneradas são produtos internos e formas simpléticas . Formas simétricas não degeneradas são generalizações importantes de produtos internos, pois muitas vezes tudo o que é necessário é que o mapa seja um isomorfismo, não positividade. Por exemplo, uma variedade com uma estrutura de produto interna em seus espaços tangentes é uma variedade Riemanniana , enquanto relaxá-la para uma forma não degenerada simétrica produz uma variedade pseudo-Riemanniana . ${\ displaystyle V \ a V ^ {*}}$

Usando o determinante

Se V for finito-dimensional , então, em relação a alguma base para V , uma forma bilinear é degenerada se e somente se o determinante da matriz associada for zero - se e somente se a matriz for singular e , consequentemente, as formas degeneradas também são chamadas de singulares formulários . Da mesma forma, uma forma não degenerada é aquela para a qual a matriz associada não é singular e, consequentemente, as formas não degeneradas também são chamadas de formas não singulares . Essas declarações são independentes da base escolhida.

Noções relacionadas

Se para uma forma quadrática Q houver um vetor v ∈ V tal que Q ( v ) = 0, então Q é uma forma quadrática isotrópica . Se Q tem o mesmo sinal para todos os vetores, é uma forma quadrática definida ou uma forma quadrática anisotrópica .

Existe a noção intimamente relacionada de uma forma unimodular e um emparelhamento perfeito ; estes concordam sobre os campos, mas não sobre os anéis gerais.

Exemplos

Os exemplos mais importantes de formas não degeneradas são produtos internos e formas simpléticas . Formas simétricas não degeneradas são generalizações importantes de produtos internos, pois muitas vezes tudo o que é necessário é que o mapa seja um isomorfismo, não positividade. Por exemplo, uma variedade com uma estrutura de produto interna em seus espaços tangentes é uma variedade Riemanniana , enquanto relaxá-la para uma forma não degenerada simétrica produz uma variedade pseudo-Riemanniana . ${\ displaystyle V \ a V ^ {*}}$

Dimensões infinitas

Observe que em um espaço dimensional infinito, podemos ter uma forma bilinear ƒ para a qual é injetiva, mas não sobrejetiva . Por exemplo, no espaço de funções contínuas em um intervalo limitado fechado, o formulário ${\ displaystyle v \ mapsto (x \ mapsto f (x, v))}$

${\ displaystyle f (\ phi, \ psi) = \ int \ psi (x) \ phi (x) dx}$

não é sobrejetivo: por exemplo, o funcional delta de Dirac está no espaço dual, mas não na forma exigida. Por outro lado, esta forma bilinear satisfaz

${\ displaystyle f (\ phi, \ psi) = 0 \,}$para todos implica que${\ displaystyle \, \ phi}$${\ displaystyle \ psi = 0. \,}$

Nesse caso em que ƒ satisfaz a injetividade (mas não necessariamente sobrejetividade), ƒ é considerado fracamente não degenerado .

Terminologia

Se ƒ desaparecer de forma idêntica em todos os vetores, é considerado totalmente degenerado . Dada qualquer forma bilinear ƒ em V o conjunto de vetores

${\ displaystyle \ {x \ in V \ mid f (x, y) = 0 {\ mbox {para todos}} y \ in V \}}$

forma uma totalmente degenerado subespaço de V . O mapa ƒ é não degenerado se e somente se este subespaço for trivial.

Geometricamente, uma linha isotrópica da forma quadrática corresponde a um ponto da hipersuperfície quádrica associada no espaço projetivo . Essa linha é adicionalmente isotrópica para a forma bilinear se e somente se o ponto correspondente for uma singularidade . Conseqüentemente, sobre um campo algébricamente fechado , o nullstellensatz de Hilbert garante que a forma quadrática sempre tem linhas isotrópicas, enquanto a forma bilinear as tem se e somente se a superfície for singular.

Veja também

• Sistema dual
• Forma linear  - Mapa linear de um espaço vetorial para seu campo de escalares

Citações