Eigenproblem não linear - Nonlinear eigenproblem

Em matemática , um problema de autovalor não linear , às vezes um problema de autovalor não linear , é uma generalização do problema de autovalor (comum) para equações que dependem não linearmente do autovalor. Especificamente, refere-se a equações da forma

${\ displaystyle M (\ lambda) x = 0,}$

onde é um vetor e é uma função do número avaliada por matriz . O número é conhecido como autovalor (não linear) , o vetor como autovetor (não linear) e como autovalor . A matriz é singular em um autovalor . ${\ displaystyle x \ neq 0}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle \ lambda}$${\ displaystyle \ lambda}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle (\ lambda, x)}$${\ displaystyle M (\ lambda)}$${\ displaystyle \ lambda}$

Definição

Na disciplina de álgebra linear numérica, a seguinte definição é normalmente usada.

Let , and Let ser uma função que mapeia escalares para matrizes. Um escalar é chamado de autovalor e um vetor diferente de zero é chamado de eigevetor direito se . Além disso, um vetor diferente de zero é chamado de vetor esquerdo se , onde o sobrescrito denota a transposição hermitiana . A definição do autovalor é equivalente a , onde denota o determinante . ${\ displaystyle \ Omega \ subseteq \ mathbb {C}}$${\ displaystyle M: ​​\ Omega \ rightarrow \ mathbb {C} ^ {n \ vezes n}}$${\ displaystyle \ lambda \ in \ mathbb {C}}$${\ displaystyle x \ in \ mathbb {C} ^ {n}}$${\ displaystyle M (\ lambda) x = 0}$${\ displaystyle y \ in \ mathbb {C} ^ {n}}$${\ displaystyle y ^ {H} M (\ lambda) = 0 ^ {H}}$${\ displaystyle ^ {H}}$${\ displaystyle \ det (M (\ lambda)) = 0}$${\ displaystyle \ det ()}$

A função geralmente é necessária para ser uma função holomórfica de (em algum domínio ). ${\ displaystyle M}$${\ displaystyle \ lambda}$ ${\ displaystyle \ Omega}$

Em geral, pode ser um mapa linear , mas mais comumente é uma matriz de dimensão finita, geralmente quadrada. ${\ displaystyle M (\ lambda)}$

Definição: O problema é considerado regular se existir tal que . Caso contrário, é considerado singular . ${\ displaystyle z \ in \ Omega}$${\ displaystyle \ det (M (z)) \ neq 0}$

Definição: Uma valor próprio é dito ter algébrica multiplicidade se é o menor número inteiro tal que o th derivado de com respeito a , em é diferente de zero. Em fórmulas que mas para . ${\ displaystyle \ lambda}$ ${\ displaystyle k}$${\ displaystyle k}$${\ displaystyle k}$${\ displaystyle \ det (M (z))}$${\ displaystyle z}$${\ displaystyle \ lambda}$${\ displaystyle \ left. {\ frac {d ^ {k} \ det (M (z))} {dz ^ {k}}} \ right | _ {z = \ lambda} \ neq 0}$${\ displaystyle \ left. {\ frac {d ^ {\ ell} \ det (M (z))} {dz ^ {\ ell}}} \ right | _ {z = \ lambda} = 0}$${\ displaystyle \ ell = 0,1,2, \ dots, k-1}$

Definição: A multiplicidade geométrica de um valor próprio é a dimensão do espaço nulo de . ${\ displaystyle \ lambda}$${\ displaystyle M (\ lambda)}$

Casos especiais

Os exemplos a seguir são casos especiais de autoproblema não linear.

• O problema do valor próprio (comum) :${\ displaystyle M (\ lambda) = A- \ lambda I.}$
• O problema do autovalor generalizado :${\ displaystyle M (\ lambda) = A- \ lambda B.}$
• O problema do autovalor quadrático :${\ displaystyle M (\ lambda) = A_ {0} + \ lambda A_ {1} + \ lambda ^ {2} A_ {2}.}$
• O problema do autovalor polinomial: ${\ displaystyle M (\ lambda) = \ sum _ {i = 1} ^ {m} \ lambda ^ {i} A_ {i}.}$
• O problema do autovalor racional: onde estão as funções racionais .${\ displaystyle M (\ lambda) = \ sum _ {i = 1} ^ {m_ {1}} A_ {i} \ lambda ^ {i} + \ sum _ {i = 1} ^ {m_ {2}} B_ {i} r_ {i} (\ lambda),}$${\ displaystyle r_ {i} (\ lambda)}$
• O problema do autovalor do atraso : onde são dados escalares, conhecidos como atrasos.${\ displaystyle M (\ lambda) = - I \ lambda + A_ {0} + \ sum _ {i = 1} ^ {m} A_ {i} e ^ {- \ tau _ {i} \ lambda},}$${\ displaystyle \ tau _ {1}, \ tau _ {2}, \ dots, \ tau _ {m}}$

Correntes Jordan

Definição: Let be um eigenpair. Uma tupla de vetores é chamada de cadeia de Jordan se${\ displaystyle (\ lambda _ {0}, x_ {0})}$${\ displaystyle (x_ {0}, x_ {1}, \ dots, x_ {r-1}) \ in \ mathbb {C} ^ {n} \ times \ mathbb {C} ^ {n} \ times \ dots \ times \ mathbb {C} ^ {n}}$

para , onde denota a ésima derivada de em relação a e avaliada em . Os vectores são chamados vectores próprios generalizadas , é chamado o comprimento da cadeia de Jordan, e o comprimento máximo de uma cadeia Jordan começando com é chamado o posto de . ${\ displaystyle \ ell = 0,1, \ dots, r-1}$${\ displaystyle M ^ {(k)} (\ lambda _ {0})}$${\ displaystyle k}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle \ lambda}$${\ displaystyle \ lambda = \ lambda _ {0}}$${\ displaystyle x_ {0}, x_ {1}, \ dots, x_ {r-1}}$${\ displaystyle r}$${\ displaystyle x_ {0}}$${\ displaystyle x_ {0}}$

Teorema: Uma tupla de vetores é uma cadeia de Jordan se e somente se a função tem uma

raiz em e a raiz é de multiplicidade pelo menos para , onde a função com valor de vetor é definida como${\ displaystyle (x_ {0}, x_ {1}, \ dots, x_ {r-1}) \ in \ mathbb {C} ^ {n} \ times \ mathbb {C} ^ {n} \ times \ dots \ times \ mathbb {C} ^ {n}}$${\ displaystyle M (\ lambda) \ chi _ {\ ell} (\ lambda)}$${\ displaystyle \ lambda = \ lambda _ {0}}$${\ displaystyle \ ell}$${\ displaystyle \ ell = 0,1, \ dots, r-1}$${\ displaystyle \ chi _ {\ ell} (\ lambda)}$

$${\ displaystyle \ chi _ {\ ell} (\ lambda) = \ sum _ {k = 0} ^ {\ ell} x_ {k} (\ lambda - \ lambda _ {0}) ^ {k}.}$$

Não linearidade de autovetor

A não linearidade de autovetores é uma forma de não linearidade relacionada, mas diferente, que às vezes é estudada. Nesse caso, a função mapeia vetores para matrizes ou, às vezes,

matrizes hermitianas para matrizes hermitianas. ${\ displaystyle M}$

Referências

1. ^ ^{a b c d e f g} Güttel, Stefan; Tisseur, Françoise (2017). "O problema do valor próprio não linear" (PDF) . Acta Numerica . 26 : 1–94. doi : 10.1017 / S0962492917000034 . ISSN  0962-4929 . S2CID  46749298 .
2. ^ Ruhe, Axel (1973). "Algoritmos para o problema do valor próprio não linear" . SIAM Journal on Numerical Analysis . 10 (4): 674–689. doi : 10.1137 / 0710059 . ISSN  0036-1429 . JSTOR  2156278 .
3. ^ Mehrmann, Volker ; Voss, Heinrich (2004). "Problemas de autovalor não lineares: um desafio para os métodos modernos de autovalor" . GAMM-Mitteilungen . 27 (2): 121–152. doi : 10.1002 / gamm.201490007 . ISSN  1522-2608 .
4. ^ ^{a b c d e} Voss, Heinrich (2014). "Problemas de autovalor não linear" (PDF) . Em Hogben, Leslie (ed.). Handbook of Linear Algebra (2 ed.). Boca Raton, FL: Chapman e Hall / CRC. ISBN 9781466507289.
5. ^ Jarlebring, Elias; Kvaal, Simen; Michiels, Wim (01-01-2014). "Um Método de Iteração Inversa para Problemas de Valores Próprios com Não Linearidades de Vectores Próprios" . SIAM Journal on Scientific Computing . 36 (4): A1978 – A2001. arXiv : 1212.0417 . doi : 10.1137 / 130910014 . ISSN  1064-8275 . S2CID  16959079 .
6. ^ Upadhyaya, Parikshit; Jarlebring, Elias; Rubensson, Emanuel H. (2021). "Uma abordagem de matriz de densidade para a convergência da iteração de campo autoconsistente" . Álgebra Numérica, Controle e Otimização . 11 (1): 99. doi : 10.3934 / naco.2020018 . ISSN  2155-3297 .

Leitura adicional

• Françoise Tisseur e Karl Meerbergen, "The quadratic eigenvalue problem," SIAM Review 43 (2), 235-286 (2001) ( link ).
• Gene H. Golub e Henk A. van der Vorst, "Eigenvalue computation in the 20th century," Journal of Computational and Applied Mathematics 123 , 35-65 (2000).
• Philippe Guillaume, "Nonlinear eigenproblems," SIAM Journal on Matrix Analysis and Applications 20 (3), 575–595 (1999) ( link ).
• Cedric Effenberger, " Robust solution methods fornonlinear eigenvalue problems ", tese de doutorado EPFL (2013) ( link )
• Roel Van Beeumen, " Rational Krylov methods fornonlinear eigenvalue problems ", tese de doutorado KU Leuven (2015) ( link )