Problema de autovalor quadrático - Quadratic eigenvalue problem

Em matemática , o problema do autovalor quadrático (QEP) , é encontrar autovalores escalares , autovetores esquerdos e autovetores direitos de modo que ${\ displaystyle \ lambda}$ ${\ displaystyle y}$${\ displaystyle x}$

${\ displaystyle Q (\ lambda) x = 0 {\ text {and}} y ^ {\ ast} Q (\ lambda) = 0,}$

onde , com coeficientes de matriz e nós exigimos isso , (para que tenhamos um coeficiente líder diferente de zero). Existem autovalores que podem ser infinitos ou finitos e possivelmente zero. Este é um caso especial de um problema próprio não linear . também é conhecido como uma matriz polinomial quadrática . ${\ displaystyle Q (\ lambda) = \ lambda ^ {2} A_ {2} + \ lambda A_ {1} + A_ {0}}$${\ displaystyle A_ {2}, \, A_ {1}, A_ {0} \ in \ mathbb {C} ^ {n \ times n}}$${\ displaystyle A_ {2} \, \ neq 0}$${\ displaystyle 2n}$${\ displaystyle Q (\ lambda)}$

Formulários

Um QEP pode resultar em parte da análise dinâmica de estruturas discretizadas pelo método dos elementos finitos . Neste caso, o quadrático, tem a forma , onde está a matriz de massa , é a matriz de amortecimento e é a matriz de rigidez . Outras aplicações incluem vibroacústica e dinâmica de fluidos. ${\ displaystyle Q (\ lambda)}$${\ displaystyle Q (\ lambda) = \ lambda ^ {2} M + \ lambda C + K}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle C}$${\ displaystyle K}$

Métodos de solução

Métodos diretos para resolver os problemas de autovalor padrão ou generalizado e são baseados na transformação do problema para a forma Schur ou Schur Generalizado . No entanto, não existe uma forma análoga para polinômios de matriz quadrática. Uma abordagem é transformar o polinômio da matriz quadrática em um pencil de matriz linear ( ) e resolver um problema de autovalor generalizado. Uma vez que os autovalores e autovetores do problema linear tenham sido determinados, os autovetores e autovalores da quadrática podem ser determinados. ${\ displaystyle Ax = \ lambda x}$${\ displaystyle Ax = \ lambda Bx}$${\ displaystyle A- \ lambda B}$

A linearização mais comum é a primeira linearização complementar

${\ displaystyle L (\ lambda) = \ lambda {\ begin {bmatrix} M & 0 \\ 0 & I_ {n} \ end {bmatrix}} + {\ begin {bmatrix} C&K \\ - I_ {n} & 0 \ end {bmatrix }},}$

onde está a matriz -por- identidade, com o autovetor correspondente ${\ displaystyle I_ {n}}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle n}$

${\ displaystyle z = {\ begin {bmatrix} \ lambda x \\ x \ end {bmatrix}}.}$

Resolvemos para e , por exemplo, calculando a forma de Schur generalizada. Podemos então tomar os primeiros componentes de como o autovetor da quadrática original . ${\ displaystyle L (\ lambda) z = 0}$${\ displaystyle \ lambda}$${\ displaystyle z}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle z}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle Q (\ lambda)}$

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• t
• e

Referências