Magnetização orbital - Orbital magnetization

Em mecânica quântica , magnetização orbital , _orbe M , refere-se à magnetização induzida pelo movimento orbital de partículas carregadas , geralmente elétrons em sólidos . O termo "orbital" o distingue da contribuição dos graus de liberdade de _spin , M _spin , para a magnetização total. Uma magnetização orbital diferente de zero requer simetria de reversão de tempo quebrada, que pode ocorrer espontaneamente em materiais ferromagnéticos e ferrimagnéticos , ou pode ser induzida em um material não magnético por um campo magnético aplicado .

Definições

O momento magnético orbital de um sistema finito, como uma molécula, é dado classicamente por

${\ displaystyle \ mathbf {m} _ {\ rm {orb}} = {\ frac {1} {2}} \ int d ^ {3} \ mathbf {r} \, \ mathbf {r} \ times \ mathbf {J} (\ mathbf {r})}$

onde J ( r ) é a densidade de corrente no ponto r . (Aqui são usadas unidades SI ; em unidades gaussianas , o prefator seria 1/2 c , em vez disso, onde c é a velocidade da luz .) Em um contexto de mecânica quântica , isso também pode ser escrito como

${\ displaystyle \ mathbf {m} _ {\ rm {orb}} = {\ frac {-e} {2m_ {e}}} \ langle \ Psi \ vert \ mathbf {L} \ vert \ Psi \ rangle}$

onde - e e m _e são a carga e a massa do elétron , Ψ é a função de onda do estado fundamental e L é o operador do momento angular . O momento magnético total é

${\ displaystyle \ mathbf {m} = \ mathbf {m} _ {\ rm {orb}} + \ mathbf {m} _ {\ rm {spin}}}$

onde a contribuição do spin é intrinsecamente mecânica quântica e é dada por

${\ displaystyle \ mathbf {m} _ {\ rm {spin}} = {\ frac {-g_ {s} \ mu _ {\ rm {B}}} {\ hbar}} \, \ langle \ Psi \ vert \ mathbf {S} \ vert \ Psi \ rangle}$

onde g _s é o fator g de spin do elétron , μ _B é o magneto de Bohr , ħ é a constante de Planck reduzida e S é o operador de spin do elétron .

A magnetização orbital M é definida como a densidade do momento orbital; isto é, momento orbital por unidade de volume. Para um cristal de volume V composto de entidades isoladas (por exemplo, moléculas) rotuladas por um índice j tendo momentos magnéticos m _{orb, j} , isso é

${\ displaystyle \ mathbf {M} _ {\ rm {orbe}} = {\ frac {1} {V}} \ sum _ {j \ in V} \ mathbf {m} _ {{\ rm {orb}} , j} \ ;.}$

No entanto, cristais reais são feitos de constituintes atômicos ou moleculares cujas nuvens de carga se sobrepõem, de modo que a fórmula acima não pode ser tomada como uma definição fundamental de magnetização orbital. Apenas recentemente os desenvolvimentos teóricos levaram a uma teoria apropriada da magnetização orbital em cristais, conforme explicado abaixo.

Teoria

Dificuldades na definição de magnetização orbital

Para um cristal magnético, é tentador tentar definir

${\ displaystyle \ mathbf {M} _ {\ rm {orb}} = {\ frac {1} {2V}} \ int _ {V} d ^ {3} \ mathbf {r} \, \ mathbf {r} \ times \ mathbf {J} (\ mathbf {r})}$

onde o limite é tomado quando o volume V do sistema se torna grande. No entanto, por causa do fator de r no integrando, a integral tem contribuições de correntes de superfície que não podem ser desprezadas e, como resultado, a equação acima não leva a uma definição em massa de magnetização orbital.

Outra maneira de ver que há uma dificuldade é tentar escrever a expressão da mecânica quântica para a magnetização orbital em termos das funções de Bloch de partícula única ocupadas | ψ _{n k} ⟩ de banda n e impulso cristal k :

${\ displaystyle \ mathbf {M} _ {\ rm {orb}} = {\ frac {-e} {2m_ {e}}} \ sum _ {n} \ int _ {\ rm {BZ}} {\ frac {d ^ {3} k} {(2 \ pi) ^ {3}}} \, \ langle \ psi _ {n \ mathbf {k}} \ vert \ mathbf {r} \ times \ mathbf {p} \ vert \ psi _ {n \ mathbf {k}} \ rangle \ ,,}$

onde p é o operador de momento , L = r × p , e a integral é avaliada sobre a zona de Brillouin (BZ). No entanto, como as funções de Bloch são estendidas, o elemento da matriz de uma quantidade que contém o operador r é mal definido, e esta fórmula está realmente mal definida.

Aproximação de esfera atômica

Na prática, a magnetização orbital é frequentemente calculada decompondo o espaço em esferas não sobrepostas centradas em átomos (semelhante em espírito à aproximação muffin-estanho ), calculando a integral de r × J ( r ) dentro de cada esfera e somando as contribuições. Esta aproximação negligencia as contribuições de correntes nas regiões intersticiais entre as esferas atômicas. No entanto, é muitas vezes uma boa aproximação, porque as correntes associados com orbitais parcialmente cheio d e f conchas estão tipicamente fortemente localizada dentro destas esferas atómicas. Resta, no entanto, uma abordagem aproximada.

Teoria moderna da magnetização orbital

Uma formulação geral e exata da teoria da magnetização orbital foi desenvolvida em meados dos anos 2000 por vários autores, primeiro com base em uma abordagem semiclássica, depois em uma derivação da representação de Wannier e, finalmente, de uma expansão de comprimento de onda longo. A fórmula resultante para a magnetização orbital, especializada em temperatura zero, é

${\ displaystyle \ mathbf {M} _ {\ rm {orb}} = {\ frac {e} {2 \ hbar}} \ sum _ {n} \ int _ {\ rm {BZ}} {\ frac {d ^ {3} k} {(2 \ pi) ^ {3}}} \, f_ {n \ mathbf {k}} \; \ operatorname {Im} \; \ left \ langle {\ frac {\ parcial u_ { n \ mathbf {k}}} {\ parcial {\ mathbf {k}}}} \ direita | \ vezes \ esquerda (H _ {\ mathbf {k}} + E_ {n \ mathbf {k}} -2 \ mu \ right) \ left | {\ frac {\ partial u_ {n \ mathbf {k}}} {\ partial {\ mathbf {k}}}} \ right \ rangle,}$

onde f _{n k} é 0 ou 1, respectivamente, conforme a energia da banda E _{n k} cai acima ou abaixo da energia de Fermi μ ,

${\ displaystyle H _ {\ mathbf {k}} = e ^ {i \ mathbf {k} \ cdot \ mathbf {r}} Ele ^ {- i \ mathbf {k} \ cdot \ mathbf {r}}}$

é o hamiltoniano efetivo no vetor de onda k , e

${\ displaystyle u_ {n \ mathbf {k}} (\ mathbf {r}) = e ^ {- i \ mathbf {k} \ cdot \ mathbf {r}} \ psi _ {n \ mathbf {k}} ( \ mathbf {r})}$

é a função de Bloch periódica da célula que satisfaz

${\ displaystyle H _ {\ mathbf {k}} \ left | u_ {n \ mathbf {k}} \ right \ rangle = E_ {n \ mathbf {k}} \ left | u_ {n \ mathbf {k}} \ direita \ rangle \ ;.}$

Uma generalização para temperatura finita também está disponível. Observe que o termo envolvendo a energia da banda E _{n k} nesta fórmula é realmente apenas uma integral da energia da banda vezes a curvatura de Berry . Os resultados calculados usando a fórmula acima apareceram na literatura. Uma revisão recente resume esses desenvolvimentos.

Experimentos

A magnetização orbital de um material pode ser determinada com precisão medindo a razão giromagnética γ , ou seja, a razão entre o momento dipolar magnético de um corpo e seu momento angular. A razão giromagnética está relacionada ao spin e à magnetização orbital de acordo com

${\ displaystyle \ gamma = 1 + {\ frac {M _ {\ mathrm {orbe}}} {(M _ {\ mathrm {spin}} + M _ {\ mathrm {orb}})}}}$

As duas principais técnicas experimentais são baseadas no efeito Barnett ou no efeito Einstein – de Haas . Dados experimentais para Fe, Co, Ni e suas ligas foram compilados.

Referências