ordem p -adic - p-adic order

Na teoria dos números básicos , para um dado número primo p , a ordem p -ádica de um inteiro positivo n é o maior expoente tal que divide n . Esta função é facilmente estendida a números racionais positivos r =${\ displaystyle \ nu _ {p}}$${\ displaystyle p ^ {\ nu _ {p}}}$ uma/b por

${\ displaystyle r = p_ {1} ^ {\ nu _ {p_ {1}}} p_ {2} ^ {\ nu _ {p_ {2}}} \ cdots p_ {k} ^ {\ nu _ {p_ {k}}} = \ prod _ {i = 1} ^ {k} p_ {i} ^ {\ nu _ {p_ {i}}},}$

onde são primos e o são (originais) inteiros (considerado como sendo 0 para todos os primos não ocorrendo em r de modo a que ). ${\ displaystyle p_ {1} <p_ {2} <\ dotsb <p_ {k}}$${\ displaystyle \ nu _ {p_ {i}}}$${\ displaystyle \ nu _ {p_ {i}} (r) = \ nu _ {p_ {i}} (a) - \ nu _ {p_ {i}} (b)}$

Este p ordem -adic constitui um (aditivamente escrita) de avaliação , o chamado p -adic de avaliação , que quando escrito multiplicativamente é um análogo para o habitual bem conhecido valor absoluto . Ambos os tipos de avaliações podem ser usados ​​para completar o campo de números racionais, onde a conclusão com uma avaliação p -adica resulta em um campo de números p -adicos ℚ _p (em relação a um número primo escolhido p ), enquanto a conclusão com o o valor absoluto usual resulta no campo dos números reais ℝ .

Distribuição de números naturais por sua ordem 2-ádica, rotulados com potências de dois correspondentes em casas decimais. Zero sempre tem uma ordem infinita.

Definição e propriedades

Seja p um número primo .

Inteiros

A ordem p -ádica ou avaliação p -ádica para ℤ é a função

${\ displaystyle \ nu _ {p}: \ mathbb {Z} \ to \ mathbb {N}}$

definido por

${\ displaystyle \ nu _ {p} (n) = {\ begin {cases} \ mathrm {max} \ {k \ in \ mathbb {N}: p ^ {k} \ mid n \} & {\ text { if}} n \ neq 0 \\\ infty & {\ text {if}} n = 0, \ end {casos}}}$

onde denota os números naturais . ${\ displaystyle \ mathbb {N}}$

Por exemplo, e desde então . ${\ displaystyle \ nu _ {3} (- 45) = 2}$${\ displaystyle \ nu _ {5} (- 45) = 1}$${\ displaystyle | {-45} | = 45 = 3 ^ {2} \ cdot 5 ^ {1}}$

A notação às vezes é usada para significar . ${\ displaystyle p ^ {k} \ parallel n}$${\ displaystyle k = \ nu _ {p} (n)}$

Números racionais

A ordem p -adic pode ser estendida para os números racionais como a função

${\ displaystyle \ nu _ {p}: \ mathbb {Q} \ to \ mathbb {Z}}$

definido por

${\ displaystyle \ nu _ {p} \ left ({\ frac {a} {b}} \ right) = \ nu _ {p} (a) - \ nu _ {p} (b).}$

Por exemplo, e desde então . ${\ displaystyle \ nu _ {2} {\ bigl (} {\ tfrac {9} {8}} {\ bigr)} = - 3}$${\ displaystyle \ nu _ {3} {\ bigl (} {\ tfrac {9} {8}} {\ bigr)} = 2}$${\ displaystyle {\ tfrac {9} {8}} = {\ tfrac {3 ^ {2}} {2 ^ {3}}}}$

Algumas propriedades são:

${\ displaystyle {\ begin {alinhado} \ nu _ {p} (m \ cdot n) & = \ nu _ {p} (m) + \ nu _ {p} (n) \\ [5px] \ nu _ {p} (m + n) & \ geq \ min {\ bigl \ {} \ nu _ {p} (m), \ nu _ {p} (n) {\ bigr \}}. \ end {alinhado} }}$

Além disso, se , então ${\ displaystyle \ nu _ {p} (m) \ neq \ nu _ {p} (n)}$

${\ displaystyle \ nu _ {p} (m + n) = \ min {\ bigl \ {} \ nu _ {p} (m), \ nu _ {p} (n) {\ bigr \}}}$

onde min é o mínimo (ou seja, o menor dos dois).

valor absoluto p -adic

O valor absoluto p -adic em ℚ é a função

${\ displaystyle | \ cdot | _ {p} \ dois pontos \ mathbb {Q} \ to \ mathbb {R} _ {\ geq 0}}$

definido por

${\ displaystyle | r | _ {p} = p ^ {- \ nu _ {p} (r)}.}$

Por exemplo, e${\ displaystyle | {-45} | _ {3} = {\ tfrac {1} {9}}}$${\ displaystyle {\ bigl |} {\ tfrac {9} {8}} {\ bigr |} _ {2} = 8.}$

O valor absoluto p -adic satisfaz as seguintes propriedades.

Não negatividade	${\ displaystyle | a | _ {p} \ geq 0}$
Definitividade positiva	${\ displaystyle | a | _ {p} = 0 \ iff a = 0}$
Multiplicatividade	${\ displaystyle | ab | _ {p} = | a | _ {p} | b | _ {p}}$
Não Arquimediano	${\ displaystyle | a + b | _ {p} \ leq \ max \ left (| a | _ {p}, | b | _ {p} \ right)}$

A simetria segue da multiplicatividade e a subadditividade da desigualdade do triângulo não-arquimediano . ${\ displaystyle | {-a} | _ {p} = | a | _ {p}}$ ${\ displaystyle | ab | _ {p} = | a | _ {p} | b | _ {p}}$ ${\ displaystyle | a + b | _ {p} \ leq | a | _ {p} + | b | _ {p}}$ ${\ displaystyle | a + b | _ {p} \ leq \ max \ left (| a | _ {p}, | b | _ {p} \ right)}$

A escolha da base p na exponenciação não faz diferença para a maioria das propriedades, mas apóia a fórmula do produto: ${\ displaystyle p ^ {- \ nu _ {p} (r)}}$

${\ displaystyle \ prod _ {0, p} | x | _ {p} = 1}$

onde o produto é assumido por todos os primos pe o valor absoluto usual, denotado . Isso decorre de simplesmente tomar a fatoração principal : cada fator de potência principal contribui com seu recíproco para seu valor p -adico absoluto, e então o valor absoluto arquimediano usual cancela todos eles. ${\ displaystyle | x | _ {0}}$${\ displaystyle p ^ {k}}$

O valor absoluto p -adic é algumas vezes referido como a " norma p -adic", embora não seja realmente uma norma porque não satisfaz o requisito de homogeneidade .

Um espaço métrico pode ser formado no conjunto ℚ com uma métrica ( não arquimediana , invariante à translação )

${\ displaystyle d \ colon \ mathbb {Q} \ times \ mathbb {Q} \ to \ mathbb {R} _ {\ geq 0}}$

definido por

${\ displaystyle d (x, y) = | xy | _ {p}.}$

A conclusão de ℚ em relação a essa métrica leva ao campo ℚ _p de números p -adic.

Veja também

• número p -adic
• Propriedade arquimediana
• Multiplicidade (matemática)
• Teorema de Ostrowski

Referências