Formas diferenciais fechadas e exatas - Closed and exact differential forms

Em matemática , especialmente cálculo vetorial e topologia diferencial , uma forma fechada é uma forma diferencial α cuja derivada externa é zero ( dα = 0 ), e uma forma exata é uma forma diferencial, α , que é a derivada externa de outra forma diferencial β . Assim, uma forma exata está na imagem de d , e uma forma fechada está no núcleo de d .

Para uma forma exata α , α = dβ para alguma forma diferencial β de grau um menor que a de α . A forma β é chamada de "forma potencial" ou "primitiva" para α . Como a derivada externa de uma forma fechada é zero, β não é único, mas pode ser modificado pela adição de qualquer forma fechada de grau um menor que α .

Porque d ² = 0 , cada forma exacta é necessariamente fechada. A questão de saber se cada forma fechada é exata depende da topologia do domínio de interesse. Em um contractible domínio, toda forma fechada é exato pelo lema de Poincaré . Questões mais gerais desse tipo em uma variedade diferenciável arbitrária são o assunto da cohomologia de de Rham , que permite obter informações puramente topológicas usando métodos diferenciais.

Exemplos

Um exemplo simples de uma forma que é fechada, mas não exata, é a forma 1 dada pela derivada do argumento no plano perfurado . Uma vez que não é realmente uma função (consulte o próximo parágrafo), não é uma forma exata. Ainda assim, tem derivado desaparecendo e, portanto, está fechado. ${\ displaystyle d \ theta}$ ${\ displaystyle \ mathbf {R} ^ {2} \ setminus \ {0 \}}$${\ displaystyle \ theta}$${\ displaystyle d \ theta}$${\ displaystyle d \ theta}$

Note-se que o argumento só é definida até um múltiplo inteiro de uma vez que um único ponto pode ser atribuído diferentes argumentos , , etc. Nós podemos atribuir argumentos de uma forma consistente localmente em torno , mas não de uma maneira globalmente consistente. Isso ocorre porque se rastrearmos um loop do sentido anti - horário em torno da origem e de volta para , o argumento aumentará em . Geralmente, o argumento muda por ${\ displaystyle \ theta}$${\ displaystyle 2 \ pi}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle r}$ ${\ displaystyle r + 2 \ pi}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle 2 \ pi}$${\ displaystyle \ theta}$

${\ displaystyle \ oint _ {S ^ {1}} d \ theta}$

sobre um loop orientado no sentido anti-horário .${\ displaystyle S ^ {1}}$

Mesmo que o argumento não seja tecnicamente uma função, as diferentes definições locais de em um ponto diferem umas das outras por constantes. Desde a derivada utiliza apenas dados locais, e uma vez que as funções que diferem por uma constante tem o mesmo derivado, o argumento tem uma globalmente bem definida derivado " ".${\ displaystyle \ theta}$${\ displaystyle \ theta}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle d \ theta}$

O resultado é que é uma forma única que não é realmente a derivada de nenhuma função bem definida . Dizemos que não é exato . Explicitamente, é dado como: ${\ displaystyle d \ theta}$${\ displaystyle \ mathbf {R} ^ {2} \ setminus \ {0 \}}$${\ displaystyle \ theta}$${\ displaystyle d \ theta}$${\ displaystyle d \ theta}$

${\ displaystyle d \ theta = {\ frac {-y \, dx + x \, dy} {x ^ {2} + y ^ {2}}},}$

que por inspeção tem derivada zero. Porque tem derivada de desaparecimento, dizemos que está fechada . ${\ displaystyle d \ theta}$

Esta forma gera o grupo cohomology Rham do que significa que qualquer forma fechada é a soma de uma forma exata e um múltiplo de : , onde é responsável por uma integral de contorno não trivial em torno da origem, que é o único obstáculo para uma forma fechada na plano perfurado (localmente a derivada de uma função potencial ) sendo a derivada de uma função definida globalmente. ${\ displaystyle H_ {dR} ^ {1} (\ mathbf {R} ^ {2} \ setminus \ {0 \}) \ cong \ mathbf {R},}$${\ displaystyle \ omega}$${\ displaystyle df}$${\ displaystyle d \ theta}$ ${\ displaystyle \ omega = df + k \ d \ theta}$${\ textstyle k = {\ frac {1} {2 \ pi}} \ oint _ {S ^ {1}} \ omega}$

Exemplos em dimensões baixas

As formas diferenciais em R ² e R ³ eram bem conhecidas na física matemática do século XIX. No plano, as formas 0 são apenas funções, e as formas 2 são funções vezes o elemento de área básico dx ∧ dy , de modo que são as formas 1

${\ displaystyle \ alpha = f (x, y) \, dx + g (x, y) \, dy}$

que são de real interesse. A fórmula para a derivada externa d aqui é

${\ displaystyle d \ alpha = (g_ {x} -f_ {y}) \, dx \ wedge dy}$

onde os subscritos denotam derivadas parciais . Portanto, a condição para ser fechado é ${\ displaystyle \ alpha}$

${\ displaystyle f_ {y} = g_ {x}.}$

Neste caso, se h ( x , y ) é uma função, então

${\ displaystyle dh = h_ {x} \, dx + h_ {y} \, dy.}$

A implicação de 'exata' para 'fechada' é, então, uma consequência da simetria das derivadas secundárias , em relação a x e y .

O teorema do gradiente afirma que uma forma 1 é exata se e somente se a integral de linha da forma depende apenas dos pontos finais da curva, ou equivalentemente, se a integral em torno de qualquer curva fechada suave é zero.

Analogias de campo vetorial

Em uma variedade Riemanniana , ou mais geralmente uma variedade pseudo-Riemanniana , as formas k correspondem a campos de vetores k (por dualidade via métrica ), então há uma noção de um campo vetorial correspondendo a uma forma fechada ou exata.

Em 3 dimensões, um campo vetorial exato (pensado como uma forma 1) é chamado de campo vetorial conservador , o que significa que é a derivada ( gradiente ) de uma forma 0 (campo escalar suave), chamado de potencial escalar . Um campo vetorial fechado (considerado como uma forma 1) é aquele cuja derivada ( ondulação ) desaparece e é chamado de campo vetorial irrotacional .

Pensando em um campo vetorial como uma forma 2, em vez disso, um campo vetorial fechado é aquele cuja derivada ( divergência ) desaparece e é chamado de fluxo incompressível (às vezes campo vetorial solenoidal ). O termo incompressível é usado porque uma divergência diferente de zero corresponde à presença de fontes e sumidouros em analogia com um fluido.

Os conceitos de campos vetoriais conservativos e incompressíveis generalizam para n dimensões, porque gradiente e divergência generalizam para n dimensões; curl é definido apenas em três dimensões, portanto, o conceito de campo vetorial irrotacional não se generaliza dessa maneira.

Lema de Poincaré

O lema de Poincaré afirma que se B é uma bola aberta em R ⁿ , qualquer forma p fechada suave ω definida em B é exata, para qualquer inteiro p com 1 ≤ p ≤ n .

Traduzindo se necessário, pode-se assumir que a bola B tem centro 0. Seja α _s o fluxo em R ⁿ definido por α _s x = e ^{- s} x . Para s ≥ 0, ele carrega B para si e induz uma ação sobre funções e formas diferenciais. A derivada do fluxo é o campo vetorial X definido nas funções f por Xf = d ( α _s f ) / ds | _{s = 0} : é o campo vetorial radial - r ∂/∂ r= −Σ x _i ∂/∂ x _i. A derivada do fluxo nas formas define a derivada de Lie em relação a X dada por . Em particular ${\ textstyle L_ {X} \ omega = \ left. {\ frac {d (\ alpha _ {s} \ omega)} {ds}} \ right | _ {s = 0}}$

${\ displaystyle {\ frac {d} {ds}} \ alpha _ {s} \ omega = \ alpha _ {s} L_ {X} \ omega,}$

Agora defina

${\ displaystyle h \, \ omega = - \ int _ {0} ^ {\ infty} \ alpha _ {t} \ omega \, dt.}$

Pelo teorema fundamental do cálculo , temos que

${\ displaystyle L_ {X} h \, \ omega = - \ int _ {0} ^ {\ infty} \ alpha _ {t} L_ {X} \ omega \, dt = - \ int _ {0} ^ { \ infty} {d \ over dt} (\ alpha _ {t} \ omega) \, dt = - [\ alpha _ {t} \ omega] _ {0} ^ {\ infty} = \ omega.}$

Por ser a multiplicação ou contração interior pelo campo vetorial X , a fórmula de Cartan afirma que ${\ displaystyle \ iota _ {X}}$

${\ displaystyle L_ {X} = d \ iota _ {X} + \ iota _ {X} d.}$

Usando o fato de que d comuta com L _X , e h , obtemos: ${\ displaystyle \ alpha _ {s}}$

${\ displaystyle \ omega = L_ {X} h \, \ omega = (d \ iota _ {X} + \ iota _ {X} d) h \ omega = d (\ iota _ {X} h \ omega) + \ iota _ {X} hd \ omega.}$

Configuração

${\ displaystyle g (\ omega) = \ iota _ {X} h (\ omega),}$

leva à identidade

${\ displaystyle (dg + gd) \, \ omega = \ omega.}$

Segue-se agora que se ω for fechado, isto é, dω = 0 , então d ( g ω ) = ω , de modo que ω é exato e o lema de Poincaré está provado.

(Na linguagem da álgebra homológica , g é uma "homotopia de contratação".)

O mesmo método se aplica a qualquer conjunto aberto em R ⁿ que seja em forma de estrela cerca de 0, ou seja, qualquer conjunto aberto contendo 0 e invariante sob α _t para . ${\ displaystyle 1 <t <\ infty}$

Outra prova padrão do lema de Poincaré usa a fórmula invariância homotopia e pode ser encontrado em Singer & Thorpe (1976 , pp. 128-132), Lee (2012) , Tu (2011) e Bott e Tu (1982) . A forma local do operador de homotopia é descrita em Edelen (2005) e a conexão do lema com a forma de Maurer-Cartan é explicada em Sharpe (1997) .

Esta formulação pode ser expressa em termos de homotopias entre os domínios abertos U em R ^m e V em R ⁿ . Se F ( t , x ) é uma homotopia de [0,1] × U a V , defina F _t ( x ) = F ( t , x ). Para uma forma p em V , defina ${\ displaystyle \ omega}$

${\ displaystyle g (\ omega) = \ int _ {0} ^ {1} \ iota _ {\ partial _ {t}} (F_ {t} ^ {*} (\ omega)) \, dt}$

Então

${\ displaystyle (dg + gd) \, \ omega = \ int _ {0} ^ {1} (d \ iota _ {\ partial _ {t}} + \ iota _ {\ partial _ {t}} d) F_ {t} ^ {*} (\ omega) \, dt = \ int _ {0} ^ {1} L _ {\ parcial _ {t}} F_ {t} ^ {*} (\ omega) \, dt = \ int _ {0} ^ {1} \ parcial _ {t} F_ {t} ^ {*} (\ omega) \, dt = F_ {1} ^ {*} (\ omega) -F_ {0} ^ {*} (\ omega).}$

Exemplo : Em duas dimensões, o lema de Poincaré pode ser provado diretamente para formas 1 e 2 fechadas como segue.

Se ω = p dx + q dy for uma forma 1 fechada em ( a , b ) × ( c , d ) , então p _y = q _x . Se ω = df então p = f _x e q = f _y . Definir

${\ displaystyle g (x, y) = \ int _ {a} ^ {x} p (t, y) \, dt,}$

de modo que g _x = p . Então h = f - g deve satisfazer h _x = 0 e h _y = q - g _y . O lado direito aqui é independente de x, pois sua derivada parcial em relação ax é 0. Então

${\ displaystyle h (x, y) = \ int _ {c} ^ {y} q (a, s) \, ds-g (a, y) = \ int _ {c} ^ {y} q (a , s) \, ds,}$

e, portanto

${\ displaystyle f (x, y) = \ int _ {a} ^ {x} p (t, y) \, dt + \ int _ {c} ^ {y} q (a, s) \, ds.}$

Da mesma forma, se Ω = r dx ∧ dy então Ω = d ( um dx + b dy ) com b _x - uma _y = r . Assim, uma solução é dada por a = 0 e

${\ displaystyle b (x, y) = \ int _ {a} ^ {x} r (t, y) \, dt.}$

Formulação como cohomologia

Quando a diferença entre duas formas fechadas é uma forma exata, diz-se que são co - homólogas entre si. Ou seja, se ζ e η são formas fechadas, pode-se encontrar alguns β tais que

${\ displaystyle \ zeta - \ eta = d \ beta}$

então, diz-se que ζ e η são cohomólogos entre si. Às vezes, diz-se que as formas exatas são co-homólogas a zero . O conjunto de todas as formas cohomológicas com uma determinada forma (e, portanto, umas com as outras) é chamado de classe de cohomologia de de Rham ; o estudo geral dessas classes é conhecido como cohomologia . Não faz nenhum sentido perguntar se uma forma 0 (função suave) é exata, uma vez que d aumenta o grau em 1; mas as pistas da topologia sugerem que apenas a função zero deve ser chamada de "exata". As classes de cohomologia são identificados com localmente constantes funções.

Usando homotopias de contratação semelhantes à usada na prova do lema de Poincaré, pode-se mostrar que a cohomologia de de Rham é invariante à homotopia.

Aplicação em eletrodinâmica

Em eletrodinâmica, o caso do campo magnético produzido por uma corrente elétrica estacionária é importante. Lá se trata do potencial vetorial desse campo. Este caso corresponde a k = 2 , e a região definidora é a cheia . O vetor de densidade de corrente é . Corresponde à forma dupla atual ${\ displaystyle {\ vec {B}} (\ mathbf {r})}$ ${\ displaystyle {\ vec {A}} (\ mathbf {r})}$${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}}$${\ displaystyle {\ vec {j}}}$

${\ displaystyle \ mathbf {I}: = j_ {1} (x_ {1}, x_ {2}, x_ {3}) \, {\ rm {d}} x_ {2} \ wedge {\ rm {d }} x_ {3} + j_ {2} (x_ {1}, x_ {2}, x_ {3}) \, {\ rm {d}} x_ {3} \ wedge {\ rm {d}} x_ {1} + j_ {3} (x_ {1}, x_ {2}, x_ {3}) \, {\ rm {d}} x_ {1} \ wedge {\ rm {d}} x_ {2} .}$

Para o campo magnético tem-se resultados análogos: que corresponde à forma dois-indução , e pode ser derivada a partir do potencial vector , ou a uma forma correspondente , ${\ displaystyle {\ vec {B}}}$${\ displaystyle \ Phi _ {B}: = B_ {1} {\ rm {d}} x_ {2} \ wedge {\ rm {d}} x_ {3} + \ cdots}$${\ displaystyle {\ vec {A}}}$${\ displaystyle \ mathbf {A}}$

${\ displaystyle {\ vec {B}} = \ operatorname {curl} {\ vec {A}} = \ left \ {{\ frac {\ partial A_ {3}} {\ partial x_ {2}}} - { \ frac {\ parcial A_ {2}} {\ parcial x_ {3}}}, {\ frac {\ parcial A_ {1}} {\ parcial x_ {3}}} - {\ frac {\ parcial A_ {3 }} {\ parcial x_ {1}}}, {\ frac {\ parcial A_ {2}} {\ parcial x_ {1}}} - {\ frac {\ parcial A_ {1}} {\ parcial x_ {2 }}} \ right \}, {\ text {ou}} \ Phi _ {B} = {\ rm {d}} \ mathbf {A}.}$

Assim, o potencial do vetor corresponde ao potencial de uma forma ${\ displaystyle {\ vec {A}}}$

${\ displaystyle \ mathbf {A}: = A_ {1} \, {\ rm {d}} x_ {1} + A_ {2} \, {\ rm {d}} x_ {2} + A_ {3} \, {\ rm {d}} x_ {3}.}$

O closedness dos-indução magnética corresponde de dois formulário para o estabelecimento do campo magnético que é livre de fonte: , ou seja, que não existem monopoles magnéticos . ${\ displaystyle \ operatorname {div} {\ vec {B}} \ equiv 0}$

Em um medidor especial , isso implica para i = 1, 2, 3${\ displaystyle \ operatorname {div} {\ vec {A}} {~ {\ stackrel {!} {=}} ~} 0}$

${\ displaystyle A_ {i} ({\ vec {r}}) = \ int {\ frac {\ mu _ {0} j_ {i} \ left ({\ vec {r}} ^ {\, '} \ direita) \, \, dx_ {1} 'dx_ {2}' dx_ {3} '} {4 \ pi | {\ vec {r}} - {\ vec {r}} ^ {\,'} |} } \ ,.}$

(Aqui está uma constante, a permeabilidade do vácuo magnético.) ${\ displaystyle \ mu _ {0}}$

Esta equação é notável, porque corresponde inteiramente a uma fórmula bem conhecida para o campo elétrico , ou seja, para o potencial Coulomb eletrostático de uma densidade de carga . Neste lugar já se pode adivinhar que ${\ displaystyle {\ vec {E}}}$ ${\ displaystyle \ phi (x_ {1}, x_ {2}, x_ {3})}$ ${\ displaystyle \ rho (x_ {1}, x_ {2}, x_ {3})}$

• ${\ displaystyle {\ vec {E}}}$ e ${\ displaystyle {\ vec {B}},}$
• ${\ displaystyle \ rho}$ e ${\ displaystyle {\ vec {j}},}$
• ${\ displaystyle \ phi}$ e ${\ displaystyle {\ vec {A}}}$

pode ser unificado para quantidades com seis rsp. quatro componentes não triviais, que é a base da invariância relativística das equações de Maxwell .

Se a condição de estacionariedade é deixado, no lado esquerdo da uma acima mencionada equação deve adicionar, nas equações para , aos três coordenadas espaciais, como uma quarta variável também o tempo do t , enquanto que no lado direito lado, no , o chamado "tempo retardado," , deve ser utilizado, ou seja, ele é adicionado ao argumento da densidade de corrente. Finalmente, como antes, um se integra sobre as três coordenadas espaciais preparadas. (Como é habitual c é a velocidade da luz vácuo). ${\ displaystyle A_ {i}}$${\ displaystyle j_ {i} '}$${\ displaystyle t ': = t - {\ frac {| {\ vec {r}} - {\ vec {r}} ^ {\,'} |} {c}}}$

Notas

Notas de rodapé

Referências

• Flanders, Harley (1989) [1963]. Formas diferenciais com aplicações às ciências físicas . Nova York: Dover Publications . ISBN 978-0-486-66169-8..
• Warner, Frank W. (1983), Foundations of differentiable manifolds and Lie groups , Graduate Texts in Mathematics, 94 , Springer, ISBN 0-387-90894-3
• Napier, Terrence; Ramachandran, Mohan (2011), Uma introdução às superfícies de Riemann , Birkhäuser, ISBN 978-0-8176-4693-6
• Singer, IM ; Thorpe, JA (1976), Lecture Notes on Elementary Topology and Geometry , University of Bangalore Press, ISBN 0721114784