Prewellordering - Prewellordering

Na teoria dos conjuntos , uma pré - ordem em um conjunto é uma pré - ordem em (uma relação transitiva e fortemente conectada em ) que é bem fundada no sentido de que a relação é bem fundada. Se for uma pré-palavra sobre , então a relação definida por ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle \ leq}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle x \ leq y \ land y \ nleq x}$${\ displaystyle \ leq}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle \ sim}$

${\ displaystyle x \ sim y \ iff x \ leq y \ land y \ leq x}$

é uma relação de equivalência sobre e induz uma ordenação sobre o quociente . O tipo de pedido desta ordenação induzida é um ordinal , referido como o comprimento da ordenação prévia. ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle \ leq}$ ${\ displaystyle X / \ sim}$

Uma norma em um conjunto é um mapa dos ordinais. Cada norma induz uma pré-ordenação; se for uma norma, a pré-ordenação associada é dada por ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle \ phi: X \ to Ord}$

${\ displaystyle x \ leq y \ iff \ phi (x) \ leq \ phi (y)}$

Por outro lado, todo pré-pedido é induzido por uma única norma regular (uma norma é regular se, para todo e qualquer , existe tal ). ${\ displaystyle \ phi: X \ to Ord}$${\ displaystyle x \ in X}$${\ displaystyle \ alpha <\ phi (x)}$${\ displaystyle y \ in X}$${\ displaystyle \ phi (y) = \ alpha}$

Prewellordering propriedade

Se é uma classe pontual de subconjuntos de alguma coleção de espaços poloneses , fechada sob o produto cartesiano , e se é uma pré-ordenação de algum subconjunto de algum elemento de , então é considerada uma - pré - ordenação de se as relações e são elementos de , onde para , ${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ Gamma}}}$${\ displaystyle {\ mathcal {F}}}$${\ displaystyle {\ mathcal {F}}}$${\ displaystyle \ leq}$${\ displaystyle P}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle {\ mathcal {F}}}$${\ displaystyle \ leq}$${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ Gamma}}}$${\ displaystyle P}$${\ displaystyle <^ {*}}$${\ displaystyle \ leq ^ {*}}$${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ Gamma}}}$${\ displaystyle x, y \ in X}$

1. ${\ displaystyle x <^ {*} y \ iff x \ in P \ land [y \ notin P \ lor \ {x \ leq y \ land y \ not \ leq x \}]}$
2. ${\ displaystyle x \ leq ^ {*} y \ iff x \ in P \ land [y \ notin P \ lor x \ leq y]}$

${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ Gamma}}}$é dito ter a propriedade de pré - encomenda se cada conjunto em admite uma -prewellordering. ${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ Gamma}}}$${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ Gamma}}}$

A propriedade prewellordering está relacionada à propriedade de escala mais forte ; na prática, muitas classes de pontos com a propriedade preewellordering também têm a propriedade scale, que permite tirar conclusões mais sólidas.

Exemplos

${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ Pi}} _ {1} ^ {1}}$e ambos têm a propriedade de pré-encomenda; isso pode ser comprovado apenas no ZFC . Supondo que cardeais grandes suficientes , para cada , e tenham a propriedade de pré-encomenda. ${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ Sigma}} _ {2} ^ {1}}$${\ displaystyle n \ in \ omega}$${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ Pi}} _ {2n + 1} ^ {1}}$${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ Sigma}} _ {2n + 2} ^ {1}}$

Consequências

Redução

Se for uma classe de ponto adequada com a propriedade prewellordering, ela também terá a propriedade redução : Para qualquer espaço e quaisquer conjuntos , e ambos em , a união pode ser particionada em conjuntos , ambos em , tal que e . ${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ Gamma}}}$${\ displaystyle X \ in {\ mathcal {F}}}$${\ displaystyle A, B \ subseteq X}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle B}$${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ Gamma}}}$${\ displaystyle A \ cup B}$${\ displaystyle A ^ {*}, B ^ {*}}$${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ Gamma}}}$${\ displaystyle A ^ {*} \ subseteq A}$${\ displaystyle B ^ {*} \ subseteq B}$

Separação

Se for um pointclass adequado cuja pointclass dual tem a propriedade preewellordering, então tem a propriedade separação : Para qualquer espaço e quaisquer conjuntos , e conjuntos disjuntos ambos em , há um conjunto tal que ambos e seu complemento estão em , com e . ${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ Gamma}}}$${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ Gamma}}}$${\ displaystyle X \ in {\ mathcal {F}}}$${\ displaystyle A, B \ subseteq X}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle B}$ ${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ Gamma}}}$${\ displaystyle C \ subseteq X}$${\ displaystyle C}$ ${\ displaystyle X \ setminus C}$${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ Gamma}}}$${\ displaystyle A \ subseteq C}$${\ displaystyle B \ cap C = \ emptyset}$

Por exemplo, tem a propriedade prewellordering, então tem a propriedade separação. Isso significa que se e são subconjuntos analíticos separados de algum espaço polonês , então há um subconjunto Borel de tal que inclui e é separado de . ${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ Pi}} _ {1} ^ {1}}$${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ Sigma}} _ {1} ^ {1}}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle B}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle C}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle C}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle B}$

Veja também

• Teoria dos conjuntos descritivos
• Propriedade de escala
• Poset graduado - um poset graduado é análogo a um pré-ordenamento com uma norma, substituindo um mapa para os ordinais por um mapa para os inteiros

Referências

• Moschovakis, Yiannis N. (1980). Teoria Descritiva dos Conjuntos . Holanda do Norte. ISBN 0-444-70199-0.