conjunto analítica - Analytic set

Em teoria descritiva de conjuntos , um subconjunto de um espaço polonês é um conjunto analítico se é uma imagem contínua de um espaço polonês. Estes conjuntos foram primeiramente definidos por Luzin (1917) e seu aluno Souslin (1917) . ${\ Displaystyle X}$

Definição

Existem várias definições equivalentes de conjunto analítica. As condições a seguir em um subespaço A de um espaço Polish X são equivalentes:

• Um é analítica.
• Um é vazio ou uma imagem contínua do espaço de Baire co ^co .
• Um é um espaço Suslin , em outras palavras, uma é a imagem de um espaço polonês sob um mapeamento contínuo.
• Uma é a imagem contínua de um conjunto de Borel em um espaço polonês.
• Um é um conjunto Suslin , a imagem da operação Suslin .
• Há um espaço polaco e um Borel definido de tal forma que é a projecção de ; isso é,${\ Y} displaystyle$${\ Displaystyle B \ X \ subseteq vezes Y}$${\ Displaystyle A}$${\ Displaystyle B}$

${\ Displaystyle A = \ {x \ em X | (\ existe y \ em Y) \ Langle x, y \ rangle \ em B \}.}$

• Uma é a projecção de um conjunto fechado no produto cartesiano de X vezes o espaço Baire.
• Uma é a projecção de um L _δ conjunto no produto cartesiano de X vezes o espaço Cantor .

Uma caracterização alternativa, no caso específico, importante, caso que é o espaço de Baire co ^co , é que os conjuntos de análise são, precisamente, as projecções de árvores em . Da mesma forma, os subconjuntos analíticas de espaço Cantor 2 ^ω são precisamente as projecções de árvores no . ${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle \ omega \ times \ omega}$${\ Displaystyle 2 \ times \ omega}$

propriedades

subconjuntos analíticas de espaços poloneses são fechados sob uniões contáveis ​​e cruzamentos, imagens contínuas e imagens inversas. O complemento de um conjunto analítico não precisa ser analítica. Suslin provou que, se o complemento de um conjunto analítico é analítica, em seguida, o conjunto é Borel. (Por outro lado qualquer conjunto Borel é analítica e conjuntos Borel são fechados sob complementos.) Luzin mostrou-se mais geralmente de que quaisquer dois conjuntos disjuntos analíticas são separados por um conjunto de Borel: por outras palavras, existe uma Borel definido contendo um e separado a partir do outro. Isso às vezes é chamado de "princípio separability Luzin" (embora ele estava implícita na prova do teorema de Suslin).

Conjuntos analíticos são sempre Lebesgue mensurável (na verdade, universalmente mensurável ) e têm a propriedade de Baire ea propriedade conjunto perfeito .

hierarquia projetiva

Conjuntos analíticos também são chamados (veja hierarquia projetiva ). Note-se que a fonte em negrito neste símbolo não é a convenção Wikipedia, mas é usado distintamente de sua contraparte lightface (veja hierarquia analítica ). Os complementos de conjuntos analíticos são chamados conjuntos coanalytic , eo conjunto de conjuntos coanalytic é denotada por . A interseção é o conjunto de conjuntos de Borel. ${\ Displaystyle {\ boldsymbol {\ Sigma}} _ {1} ^ {1}}$${\ Displaystyle \ Sigma _ {1} ^ {1}}$${\ Displaystyle {\ boldsymbol {\ Pi}} _ {1} ^ {1}}$${\ Displaystyle {\ boldsymbol {\ Delta}} _ {1} ^ {1} = {\ boldsymbol {\ Sigma}} _ {1} ^ {1} \ tampão {\ boldsymbol {\ Pi}} _ {1} ^ {1}}$

Referências

• El'kin, AG (2001) [1994], "set Analytic" , em Hazewinkel, Michiel , Encyclopedia of Mathematics , Springer Science + Business Media BV / Kluwer Academic Publishers, ISBN  978-1-55608-010-4
• Efimov, BA (2001) [1994], "princípios separabilidade Luzin" , em Hazewinkel, Michiel , Encyclopedia of Mathematics , Springer Science + Business Media BV / Kluwer Academic Publishers, ISBN  978-1-55608-010-4
• Kechris, AS (1995), Classical descritiva Teoria dos Conjuntos , Berlim, Nova York: Springer-Verlag , ISBN  978-0-387-94374-9
• Luzin, NN (1917), "Sur la classification de M. Baire", Rendus de l'Académie des Sciences, Série I , 164 : 91-94
• NN Lusin, "Leçons sur les conjuntos analytiques et leurs aplicações", Gauthier-Villars (1930)
• Moschovakis, Yiannis N. (1980), descritiva Teoria dos Conjuntos , Holanda do Norte, ISBN  0-444-70199-0
• Martin, cardeais mensuráveis ​​Donald R .: e jogos analíticos. "Fundamenta Mathematicae" 66 (1969/1970), p. 287-291.
• Souslin, M. (1917), "Sur une définition des ensembles sans mesurables B nombres transfinis", Rendus de l'Académie des Sciences de Paris , 164 : 88-91

Veja também

• Projecção (teoria medida)