Número prônico - Pronic number

Demonstração, com hastes Cuisenaire , de números prônicos para n  =   1, n  = 2 e n  = 3 (2, 6 e 12).

Um número prônico é um número que é o produto de dois inteiros consecutivos , ou seja, um número na forma n ( n + 1) . O estudo desses números remonta a Aristóteles . Eles também são chamados de números oblongos , números heteromécicos ou números retangulares ; entretanto, o termo "número retangular" também foi aplicado aos números compostos .

Os primeiros números prônicos são:

0 , 2 , 6 , 12 , 20 , 30 , 42 , 56 , 72 , 90 , 110 , 132 , 156, 182, 210, 240, 240, 272, 306, 342, 380, 420 , 462 ... (sequência A002378 no OEIS )

Se n for um número prônico, o seguinte será verdadeiro:

${\ displaystyle \ lfloor {\ sqrt {n}} \ rfloor \ cdot \ lceil {\ sqrt {n}} \ rceil = n}$

Como números cifrados

n ( n + 1) = n ² + n .

Os número oblongo foram estudados como número figurado juntamente com os números triangulares e números de quadrados em Aristóteles 's MetafÃsica , e a sua descoberta foi atribuída muito mais cedo para as Pythagoreans . Como uma espécie de número figurado, os números prônicos às vezes são chamados de oblongos porque são análogos aos números poligonais desta maneira:

1 × 2	2 × 3	3 × 4	4 × 5

O n th número oblongo é duas vezes o n th número triangular e n mais do que o n th número quadrado , como dado pela fórmula alternativa n ² + n para número oblongo. O n th número oblongo é também a diferença entre o quadrado impar (2 n + 1) ² e a ( n + 1) r centrado número hexagonal .

Soma dos números prônicos

A soma dos recíprocos dos números prônicos (excluindo 0) é uma série telescópica que soma 1:

${\ displaystyle 1 = {\ frac {1} {2}} + {\ frac {1} {6}} + {\ frac {1} {12}} \ cdots = \ sum _ {i = 1} ^ { \ infty} {\ frac {1} {i (i + 1)}}.}$

A soma parcial dos primeiros n termos desta série é

${\ displaystyle \ sum _ {i = 1} ^ {n} {\ frac {1} {i (i + 1)}} = {\ frac {n} {n + 1}}.}$

A soma parcial dos primeiros n números prônicos é duas vezes o valor do n- ésimo número tetraédrico :

${\ displaystyle \ sum _ {k = 1} ^ {n} k (k + 1) = {\ frac {n (n + 1) (n + 2)} {3}} = 2T_ {n} = {\ frac {n ^ {\ overline {3}}} {3}}.}$

Propriedades adicionais

Os primeiros quatro números prônicos como somas dos primeiros n números pares.

O n th número oblongo é a soma dos primeiros n mesmo números inteiros, e como tal são duas vezes o n th número triangular. Todas número oblongo são ainda, e 2 é o único nobre número oblongo. É também o único número prônico na sequência de Fibonacci e o único número prônico de Lucas .

O número de entradas fora da diagonal em uma matriz quadrada é sempre um número prônico.

O facto de inteiros consecutivos são primos entre si e que um número oblongo é o produto de dois números inteiros consecutivos conduz a um número de propriedades. Cada fator principal distinto de um número prônico está presente em apenas um dos fatores n ou n + 1 . Assim, um número prônico é livre de quadrados se e somente se n e n + 1 também são livres de quadrados. O número de fatores primos distintos de um número prônico é a soma do número de fatores primos distintos de n e n + 1 .

Se 25 for acrescentado à representação decimal de qualquer número prônico, o resultado será um número quadrado, por exemplo, 625 = 25 ² , 1225 = 35 ² . Isto é porque

${\ displaystyle (10n + 5) ^ {2} = 100n ^ {2} + 100n + 25 = 100n (n + 1) +25 \,}$ .

Referências