Matriz companheira - Companion matrix

Na álgebra linear , a matriz companheira de Frobenius do polinômio mônico

${\ displaystyle p (t) = c_ {0} + c_ {1} t + \ cdots + c_ {n-1} t ^ {n-1} + t ^ {n} ~,}$

é a matriz quadrada definida como

${\ displaystyle C (p) = {\ begin {bmatrix} 0 & 0 & \ dots & 0 & -c_ {0} \\ 1 & 0 & \ dots & 0 & -c_ {1} \\ 0 & 1 & \ dots & 0 & -c_ {2} \\\ vdots & \ vdots & \ ddots & \ vdots & \ vdots \\ 0 & 0 & \ dots & 1 & -c_ {n-1} \ end {bmatrix}}.}$

Alguns autores usam a transposição dessa matriz, que (duplamente) faz um ciclo em coordenadas, e é mais conveniente para alguns propósitos, como relações de recorrência linear .

Caracterização

O polinômio característico , bem como o polinômio mínimo de C ( p ), são iguais a p .

Nesse sentido, a matriz C ( p ) é a "companheira" do polinômio p .

Se A é um n -by- n matriz com entradas de alguns campo K , então as seguintes declarações são equivalentes:

• A é semelhante à matriz companheira sobre K de seu polinômio característico
• o polinômio característico de A coincide com o polinômio mínimo de A , equivalentemente o polinômio mínimo tem grau n
• existe um vector cíclico v em para um , o que significa que { v , A v , A ² v , ..., A ^{n -1} v } é uma base de V . Equivalentemente, tal que V é cíclico como um -módulo (e ); diz-se que A não é depreciativo . ${\ displaystyle V = K ^ {n}}$${\ displaystyle K [A]}$${\ displaystyle V = K [A] ​​/ (p (A))}$

Nem toda matriz quadrada é semelhante a uma matriz companheira. Mas toda matriz é semelhante a uma matriz composta de blocos de matrizes companheiras. Além disso, essas matrizes companheiras podem ser escolhidas de modo que seus polinômios se dividam; em seguida, eles são determinados exclusivamente por um . Esta é a forma canônica racional de A .

Diagonalizabilidade

Se p ( t ) tem raízes distintas λ ₁ , ...,  λ _n (os autovalores de C ( p )), então C ( p ) é diagonalizável da seguinte forma:

${\ displaystyle VC (p) V ^ {- 1} = \ operatorname {diag} (\ lambda _ {1}, \ dots, \ lambda _ {n})}$

onde V é a matriz de Vandermonde correspondente aos λ 's.

Nesse caso, traços de potências m de C prontamente rendem somas das mesmas potências m de todas as raízes de p ( t ),

${\ displaystyle \ operatorname {Tr} C ^ {m} = \ sum _ {i = 1} ^ {n} \ lambda _ {i} ^ {m} ~.}$

Se p ( t ) tem uma raiz não simples, então C ( p ) não é diagonalizável (sua forma canônica de Jordan contém um bloco para cada raiz distinta).

Sequências recursivas lineares

Dada uma sequência recursiva linear com polinômio característico

${\ displaystyle p (t) = c_ {0} + c_ {1} t + \ cdots + c_ {n-1} t ^ {n-1} + t ^ {n} \,}$

a (transpor) matriz complementar

${\ displaystyle C ^ {T} (p) = {\ begin {bmatrix} 0 & 1 & 0 & \ cdots & 0 \\ 0 & 0 & 1 & \ cdots & 0 \\\ vdots & \ vdots & \ vdots & \ ddots & \ vdots \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \ cdots & 1 \\ - c_ {0} & - c_ {1} & - c_ {2} & \ cdots & -c_ {n-1} \ end {bmatrix}}}$

gera a sequência, no sentido de que

${\ displaystyle C ^ {T} {\ begin {bmatrix} a_ {k} \\ a_ {k + 1} \\\ vdots \\ a_ {k + n-1} \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatriz} a_ {k + 1} \\ a_ {k + 2} \\\ vdots \\ a_ {k + n} \ end {bmatriz}}.}$

incrementa a série em 1.

O vetor (1, t , t ² , ..., t ^{n -1} ) é um autovetor dessa matriz para o autovalor t , quando t é a raiz do polinômio característico p ( t ) .

Para c ₀ = −1 , e todos os outros c _i = 0 , ou seja, p ( t ) = t ⁿ −1 , essa matriz se reduz à matriz de deslocamento cíclico de Sylvester , ou matriz circulante .

Veja também

• Endomorfismo de Frobenius
• Teorema de Cayley-Hamilton
• Subespaço Krylov

Notas