Restrição (matemática) - Restriction (mathematics)

A função x ² com domínio R não possui função inversa . Se restringirmos x ² aos números reais não negativos , ele tem uma função inversa, conhecida como raiz quadrada de x .

Em matemática , a restrição de uma função é uma nova função, denotada ou , obtida pela escolha de um domínio A menor para a função original . ${\ displaystyle f}$${\ displaystyle f \ vert _ {A}}$${\ displaystyle f {\ upharpoonright _ {A}}}$ ${\ displaystyle f}$

Definição formal

Vamos ser uma função de um conjunto E de um conjunto F . Se um conjunto A é um subconjunto de E , a restrição de a é a função ${\ displaystyle f: E \ a F}$ ${\ displaystyle f}$ ${\ displaystyle A}$

${\ displaystyle {f |} _ {A} \ dois pontos A \ a F}$

dado por f | _A ( x ) = f ( x ) para x em A . Informalmente, a restrição de f para A é a mesma função que f , mas é definida apenas em . ${\ displaystyle A \ cap \ operatorname {dom} f}$

Se a função F é pensado como uma relação no produto cartesiano , em seguida, a restrição de f para um pode ser representado por sua gráfico , onde os pares representam pares ordenados no gráfico G . ${\ displaystyle (x, f (x))}$ ${\ displaystyle E \ times F}$ ${\ displaystyle G ({f |} _ {A}) = \ {(x, f (x)) \ in G (f) \ mid x \ in A \} = G (f) \ cap (A \ vezes F)}$${\ displaystyle (x, f (x))}$

Exemplos

1. A restrição do não-injetivo função para o domínio é a injecção . ${\ displaystyle f: \ mathbb {R} \ to \ mathbb {R}, \ x \ mapsto x ^ {2}}$${\ displaystyle \ mathbb {R} _ {+} = [0, \ infty)}$${\ displaystyle f: \ mathbb {R} _ {+} \ to \ mathbb {R}, \ x \ mapsto x ^ {2}}$
2. A função fatorial é a restrição da função gama aos inteiros positivos, com o argumento deslocado em um: ${\ displaystyle {\ Gamma |} _ {\ mathbb {Z} ^ {+}} \! (n) = (n-1)!}$

Propriedades das restrições

• Restringir uma função a todo o seu domínio retorna a função original, ou seja ,. ${\ displaystyle f: X \ rightarrow Y}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle f | _ {X} = f}$
• Restringir uma função duas vezes é o mesmo que restringi-la uma vez, ou seja , se , então . ${\ displaystyle A \ subseteq B \ subseteq \ operatorname {dom} f}$${\ displaystyle (f | _ {B}) | _ {A} = f | _ {A}}$
• A restrição da função identidade sobre um conjunto X para um subconjunto Um de X é apenas o mapa a inclusão de um em X .
• A restrição de uma função contínua é contínua.

Formulários

Funções inversas

Para que uma função tenha uma inversa, ela deve ser um-para-um . Se uma função f não for um-para-um, pode ser possível definir um inverso parcial de f restringindo o domínio. Por exemplo, a função

${\ displaystyle f (x) = x ^ {2}}$

definido como um todo de não é um para um, pois x ² = (- x ) ² para qualquer x em . No entanto, a função torna-se um para um se restringirmos ao domínio , caso em que ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$${\ displaystyle \ mathbb {R}}$${\ displaystyle \ mathbb {R} _ {\ geq 0} = [0, \ infty)}$

${\ displaystyle f ^ {- 1} (y) = {\ sqrt {y}}.}$

(Se, em vez disso, restringirmos ao domínio , então o inverso é o negativo da raiz quadrada de y .) Alternativamente, não há necessidade de restringir o domínio se permitirmos que o inverso seja uma função multivalorada . ${\ displaystyle (- \ infty, 0]}$

Operadores de seleção

Na álgebra relacional , uma seleção (às vezes chamada de restrição para evitar confusão com o uso de SELECT do SQL ) é uma operação unária escrita como ou onde: ${\ displaystyle \ sigma _ {a \ theta b} (R)}$${\ displaystyle \ sigma _ {a \ theta v} (R)}$

• ${\ displaystyle a}$ e são nomes de atributos, ${\ displaystyle b}$
• ${\ displaystyle \ theta}$ é uma operação binária no conjunto , ${\ displaystyle \ {<, \ leq, =, \ neq, \ geq,> \}}$
• ${\ displaystyle v}$ é uma constante de valor,
• ${\ displaystyle R}$ é uma relação .

A seleção seleciona todas aquelas tuplas em para o qual detém entre o eo atributo. ${\ displaystyle \ sigma _ {a \ theta b} (R)}$${\ displaystyle R}$${\ displaystyle \ theta}$${\ displaystyle a}$${\ displaystyle b}$

A seleção seleciona todas as tuplas para as quais se mantém entre o atributo e o valor . ${\ displaystyle \ sigma _ {a \ theta v} (R)}$${\ displaystyle R}$${\ displaystyle \ theta}$${\ displaystyle a}$${\ displaystyle v}$

Portanto, o operador de seleção se restringe a um subconjunto de todo o banco de dados.

O lema da colagem

O lema de colagem é um resultado em topologia que relaciona a continuidade de uma função com a continuidade de suas restrições aos subconjuntos.

Sejam dois subconjuntos fechados (ou dois subconjuntos abertos) de um espaço topológico tal que , e sejam também um espaço topológico. Se for contínuo quando restrito a ambos e , então é contínuo. ${\ displaystyle X, Y}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle A = X \ xícara Y}$${\ displaystyle B}$${\ displaystyle f: A \ to B}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle Y}$${\ displaystyle f}$

Este resultado permite tomar duas funções contínuas definidas em subconjuntos fechados (ou abertos) de um espaço topológico e criar um novo.

Feixes

As polias fornecem uma maneira de generalizar as restrições aos objetos além das funções.

Na teoria dos feixes , atribui-se um objeto em uma categoria a cada conjunto aberto U de um espaço topológico e exige que os objetos satisfaçam certas condições. A condição mais importante é que haja morfismos de restrição entre cada par de objetos associados a conjuntos abertos aninhados; ou seja, se , então, há um morfismo res _{V , U}  : F ( U ) → F ( V ) satisfazendo as seguintes propriedades, que são projetadas para imitar a restrição de uma função: ${\ displaystyle F (U)}$ ${\ displaystyle V \ subseteq U}$

• Para cada conjunto aberto U de X , o morfismo de restrição res _{U , U}  : F ( U ) → F ( U ) é o morfismo de identidade em F ( U ).
• Se tivermos três conjuntos abertos W ⊆ V ⊆ L , em seguida, os compostos res _{W , V} ∘ res _{V , L} = res _{W , L} .
• (Localidade) Se ( U _i ) é uma cobertura aberta de um conjunto aberto U , e se s , t ∈ F ( U ) são tais que s | _{U i} = t | _{U i} para cada conjunto U _i da cobertura, então s = t ; e
• (Colagem) Se ( U _i ) é uma cobertura aberta de um conjunto aberto U , e se para cada i uma seção s _i ∈ F ( U _i ) é dada de tal forma que para cada par U _i , U _j dos conjuntos de cobertura o restrições de s _i e s _j concordam com as sobreposições: s _i | _{U i ∩ U j} = s _j | _{U i ∩ U j} , então existe uma seção s ∈ F ( U ) tal que s | _{U i} = s _i para cada i .

A coleção de todos esses objetos é chamada de feixe . Se apenas as duas primeiras propriedades forem satisfeitas, é um pré-feixe .

Restrição à esquerda e à direita

De modo mais geral, a restrição (ou restrição de domínio ou restrição esquerda ) Um  ◁  R de uma relação binária R entre E e F podem ser definidos como uma relação com domínio A , codomain F e o gráfico G ( A ◁ R ) = {( x ,  y ) ∈ G ( R ) | x ∈ A }  . Da mesma forma, pode-se definir uma restrição à direita ou restrição de faixa R ▷ B . De fato, pode-se definir uma restrição às relações n- arárias , bem como aos subconjuntos entendidos como relações, como os de E   ×   F para relações binárias. Esses casos não se encaixam no esquema das polias .

Anti-restrição

O domínio anti-restrição (ou subtração de domínio ) de uma função ou relação binária R (com domínio E e codomínio F ) por um conjunto A pode ser definido como ( E  \  A ) ◁ R ; que remove todos os elementos de um a partir do domínio E . Às vezes, é denotado A  ⩤  R . Da mesma forma, a anti-restrição de faixa (ou subtração de faixa ) de uma função ou relação binária R por um conjunto B é definida como R ▷ ( F  \  B ) ; que remove todos os elementos de B a partir do codomain F . Às vezes, é denotado R  ⩥  B .

Veja também

• Restrição
• Retração de deformação
• Função (matemática) § Restrição e extensão
• Relação binária § Restrição
• Álgebra relacional § Seleção (σ)

Referências