Roleta (curva) - Roulette (curve)

Na geometria diferencial das curvas , uma roleta é uma espécie de curva , generalizando cicloides , epiciclóides , hipociclóides , trocóides , epitrocóides , hipotrocóides e involutos .

Definição

Definição informal

Uma parábola verde rola ao longo de uma parábola azul igual, que permanece fixa. O gerador é o vértice da parábola rolante e descreve a roleta, mostrada em vermelho. Neste caso, a roleta é a cissóide de Diocles .

Grosso modo, uma roleta é a curva descrita por um ponto (chamado de gerador ou pólo ) ligado a uma dada curva à medida que essa curva rola sem escorregar, ao longo de uma segunda curva que é fixa. Mais precisamente, dada uma curva anexada a um plano que se move de modo que a curva role, sem escorregar, ao longo de uma dada curva anexada a um plano fixo ocupando o mesmo espaço, então um ponto anexado ao plano móvel descreve uma curva, no plano fixo chamado roleta.

Casos especiais e conceitos relacionados

No caso em que a curva de rolamento é uma linha e o gerador é um ponto na linha, a roleta é chamada de involuto da curva fixa. Se a curva de rolamento é um círculo e a curva fixa é uma linha, então a roleta é um trocóide . Se, neste caso, o ponto estiver no círculo, a roleta é um ciclóide .

Um conceito relacionado é um glissette , a curva descrita por um ponto anexado a uma determinada curva conforme ela desliza ao longo de duas (ou mais) curvas fornecidas.

Definição formal

Falando formalmente, as curvas devem ser curvas diferenciáveis no plano euclidiano . A curva fixa é mantida invariante; a curva de rolamento é submetida a uma transformação de congruência contínua de modo que em todos os momentos as curvas são tangentes a um ponto de contato que se move com a mesma velocidade quando tomado ao longo de qualquer curva (outra maneira de expressar esta restrição é que o ponto de contato do duas curvas é o centro de rotação instantâneo da transformação de congruência). A roleta resultante é formada pelo locus do gerador submetido ao mesmo conjunto de transformações de congruência.

Modelar as curvas originais como curvas no plano complexo , deixe ser as duas parametrizações naturais do rolamento ( ) e fixos ( ) curvas, de tal modo que , e para todos . A roleta do gerador conforme é lançada é dada pelo mapeamento: ${\ displaystyle r, f: \ mathbb {R} \ to \ mathbb {C}}$${\ displaystyle r}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle r (0) = f (0)}$${\ displaystyle r '(0) = f' (0)}$${\ displaystyle | r '(t) | = | f' (t) | \ neq 0}$${\ displaystyle t}$${\ displaystyle p \ in \ mathbb {C}}$${\ displaystyle r}$${\ displaystyle f}$

${\ displaystyle t \ mapsto f (t) + (pr (t)) {f '(t) \ over r' (t)}.}$

Generalizações

Se, em vez de um único ponto ser anexado à curva de rolamento, outra curva dada é carregada ao longo do plano móvel, uma família de curvas congruentes é produzida. O envelope desta família também pode ser chamado de roleta.

As roletas em espaços mais altos certamente podem ser imaginadas, mas é preciso alinhar mais do que apenas as tangentes.

Exemplo

Se a curva fixa é uma catenária e a curva de rolamento é uma linha , temos:

${\ displaystyle f (t) = t + i (\ cosh (t) -1) \ qquad r (t) = \ sinh (t)}$

${\ displaystyle f '(t) = 1 + i \ sinh (t) \ qquad r' (t) = \ cosh (t).}$

A parametrização da linha é escolhida para que

${\ displaystyle | f '(t) | = {\ sqrt {1 ^ {2} + \ sinh ^ {2} (t)}} = {\ sqrt {\ cosh ^ {2} (t)}} = | r '(t) |.}$

Aplicando a fórmula acima, obtemos:

${\ displaystyle f (t) + (pr (t)) {f '(t) \ over r' (t)} = t-i + {p- \ sinh (t) + i (1 + p \ sinh (t) )) \ over \ cosh (t)} = t-i + (p + i) {1 + i \ sinh (t) \ over \ cosh (t)}.}$

Se p = - i a expressão tem uma parte imaginária constante (a saber - i ) e a roleta é uma linha horizontal. Uma aplicação interessante disso é que uma roda quadrada poderia rolar sem quicar em uma estrada que é uma série combinada de arcos catenários.

Lista de roletas

Veja também

• Rolling
• Engrenagem
• Princípio de superposição
• Espirógrafo
• Casal tusi
• Rosetta (órbita)

Notas

Referências

• WH Besant (1890) Notes on Roulettes and Glissettes from Cornell University Historical Math Monographs, originalmente publicado por Deighton, Bell & Co.
• Weisstein, Eric W. "Roulette" . MathWorld .

Leitura adicional

• Roleta em 2dcurves.com
• Base, roulante et roulettes d'un mouvement plan sur plan (em francês)
• Eine einheitliche Darstellung von ebenen, verallgemeinerten Rollbewegungen und deren Anwendungen (em alemão)