Curva diferenciável - Differentiable curve

A geometria diferencial de curvas é o ramo da geometria que lida com curvas suaves no plano e no espaço euclidiano por métodos de cálculo diferencial e integral .

Muitas curvas específicas foram exaustivamente investigadas usando a abordagem sintética . A geometria diferencial segue outro caminho: as curvas são representadas em uma forma parametrizada , e suas propriedades geométricas e várias quantidades associadas a elas, como a curvatura e o comprimento do arco , são expressas por meio de derivadas e integrais usando cálculo vetorial . Uma das ferramentas mais importantes usadas para analisar uma curva é o quadro Frenet , um quadro móvel que fornece um sistema de coordenadas em cada ponto da curva que é "melhor adaptado" à curva próxima a esse ponto.

A teoria das curvas é muito mais simples e restrita em escopo do que a teoria das superfícies e suas generalizações de dimensões superiores, porque uma curva regular em um espaço euclidiano não tem geometria intrínseca. Qualquer curva regular pode ser parametrizada pelo comprimento do arco (a parametrização natural ). Do ponto de vista de uma partícula pontual teórica na curva que nada sabe sobre o espaço ambiente, todas as curvas pareceriam iguais. Diferentes curvas de espaço são distinguidas apenas pela forma como se dobram e se torcem. Quantitativamente, isso é medido pelos invariantes geométricos diferenciais chamados de curvatura e torção de uma curva. O teorema fundamental das curvas afirma que o conhecimento desses invariantes determina completamente a curva.

Definições

Uma C ^r - curva paramétrica ou uma C ^r - parametrização é uma função com valor vetorial

${\ displaystyle \ gamma: I \ to \ mathbb {R} ^ {n}}$

isto é, r- vezes continuamente diferenciável (isto é, as funções componentes de γ são continuamente diferenciáveis), onde n ∈ ℕ , r ∈ ℕ ∪ {∞} , e eu sou um intervalo não vazio de números reais. A imagem da curva paramétrica é γ [ I ] ⊆ ℝ ⁿ . A curva paramétrica γ e sua imagem γ [ I ] devem ser distinguidas porque um dado subconjunto de ℝ ⁿ pode ser a imagem de várias curvas paramétricas distintas. O parâmetro t em γ ( t ) pode ser considerado como representando o tempo, e γ a trajetória de um ponto móvel no espaço. Quando I é um intervalo fechado [ a , b ] , γ ( a ) é chamado de ponto inicial e γ ( b ) é o ponto final de γ . Se os pontos inicial e final coincidem (ou seja, γ ( a ) = γ ( b ) ), então γ é uma curva fechada ou um loop . Por ser um laço C ^r , a função γ deve ser r- vezes continuamente diferenciável e satisfazer γ ^{( k )} ( a ) = γ ^{( k )} ( b ) para 0 ≤ k ≤ r .

A curva paramétrica é simples se

${\ displaystyle \ gamma | _ {(a, b)} :( a, b) \ to \ mathbb {R} ^ {n}}$

é injetivo . É analítico se cada função componente de γ for uma função analítica , ou seja, for da classe C ^ω .

A curva γ é regular de ordem m (onde m ≤ r ) se, para cada t ∈ I ,

${\ displaystyle \ left \ {\ gamma '(t), \ gamma' '(t), \ ldots, {\ gamma ^ {(m)}} (t) \ right \}}$

é um subconjunto linearmente independente de ℝ ⁿ . Em particular, um paramétrico C ^uma curva em γ é regular, se e somente se γ '( t ) ≠ 0 para qualquer t ∈ I .

Reparametrização e relação de equivalência

Dada a imagem de uma curva paramétrica, existem várias parametrizações diferentes da curva paramétrica. A geometria diferencial tem como objetivo descrever as propriedades de curvas paramétricas que são invariantes sob certas reparametrizações. Uma relação de equivalência adequada no conjunto de todas as curvas paramétricas deve ser definida. As propriedades geométricas diferenciais de uma curva paramétrica (como seu comprimento, seu quadro Frenet e sua curvatura generalizada) são invariantes sob reparametrização e, portanto, propriedades da própria classe de equivalência . As classes de equivalência são chamadas de C ^r -curvas e são objetos centrais estudados na geometria diferencial de curvas.

Duas curvas C ^r paramétricas , γ ₁  : I ₁ → ℝ ⁿ e γ ₂  : I ₂ → ℝ ⁿ , são consideradas equivalentes se e somente se existe um C ^r- mapa bijetivo φ  : I ₁ → I ₂ tal naquela

${\ displaystyle \ forall t \ in I_ {1}: \ quad \ varphi '(t) \ neq 0}$

e

${\ displaystyle \ forall t \ in I_ {1}: \ quad \ gamma _ {2} {\ bigl (} \ varphi (t) {\ bigr)} = \ gamma _ {1} (t).}$

γ ₂ é então considerado uma reparametrização de γ ₁ .

A reparametrização define uma relação de equivalência no conjunto de todas as curvas paramétricas C ^r da classe C ^r . A classe de equivalência desta relação é simplesmente uma curva C ^r .

Uma relação de equivalência ainda mais precisa de curvas C ^r paramétricas orientadas pode ser definida exigindo φ para satisfazer φ ′ ( t )> 0 .

Curvas C ^r paramétricas equivalentes têm a mesma imagem, e curvas C ^r paramétricas orientadas equivalentes até mesmo atravessam a imagem na mesma direção.

Comprimento e parametrização natural

O comprimento l de uma curva paramétrica C ¹ γ  : [ a , b ] → ℝ ⁿ é definido como

${\ displaystyle l ~ {\ stackrel {\ text {def}} {=}} ~ \ int _ {a} ^ {b} \ left \ | \ gamma '(t) \ right \ | \, \ mathrm {d } {t}.}$

O comprimento de uma curva paramétrica é invariante sob reparametrização e é, portanto, uma propriedade geométrica diferencial da curva paramétrica.

Para cada C ^r -curva paramétrica regular γ  : [ a , b ] → ℝ ⁿ , onde r ≥ 1 , a função é definida

${\ displaystyle \ forall t \ in [a, b]: \ quad s (t) ~ {\ stackrel {\ text {def}} {=}} ~ \ int _ {a} ^ {t} \ left \ | \ gamma '(x) \ right \ | \, \ mathrm {d} {x}.}$

Escrevendo γ (s) = γ ( t ( s )) , onde t ( s ) é a função inversa de s ( t ) . Esta é uma reparametrização γ de γ que é chamada de parametrização comprimento de arco , parametrização naturais,parametrização unidade de velocidades. O parâmetro s ( t )é chamado deparâmetro naturaldeγ.

Esta parametrização é preferida porque o parâmetro natural s ( t ) atravessa a imagem de γ na velocidade da unidade, de modo que

${\ displaystyle \ forall t \ in I: \ quad \ left \ | {\ overline {\ gamma}} '{\ bigl (} s (t) {\ bigr)} \ right \ | = 1.}$

Na prática, muitas vezes é muito difícil calcular a parametrização natural de uma curva paramétrica, mas é útil para argumentos teóricos.

Para uma dada curva paramétrica γ , a parametrização natural é única até uma mudança de parâmetro.

A quantidade

${\ displaystyle E (\ gamma) ~ {\ stackrel {\ text {def}} {=}} ~ {\ frac {1} {2}} \ int _ {a} ^ {b} \ left \ | \ gamma '(t) \ right \ | ^ {2} ~ \ mathrm {d} {t}}$

às vezes é chamada de energia ou ação da curva; este nome é justificado porque as equações geodésicas são as equações de movimento de Euler-Lagrange para esta ação.

Quadro Frenet

Um referencial de Frenet é um referencial móvel de n vetores ortonormais e _i ( t ) que são usados ​​para descrever uma curva localmente em cada ponto γ ( t ) . É a principal ferramenta no tratamento geométrico diferencial de curvas porque é muito mais fácil e natural descrever propriedades locais (por exemplo, curvatura, torção) em termos de um sistema de referência local do que usar um global, como as coordenadas euclidianas.

Dada uma C ^{n + 1} -curva γ em ℝ ⁿ que é regular da ordem n, o quadro de Frenet para a curva é o conjunto de vetores ortonormais

${\ displaystyle \ mathbf {e} _ {1} (t), \ ldots, \ mathbf {e} _ {n} (t)}$

chamados vetores Frenet . Eles são construídos a partir das derivadas de γ ( t ) usando o algoritmo de ortogonalização de Gram-Schmidt com

${\ displaystyle {\ begin {alinhados} \ mathbf {e} _ {1} (t) & = {\ frac {{\ boldsymbol {\ gamma}} '(t)} {\ left \ | {\ boldsymbol {\ gamma}} '(t) \ right \ |}} \\ [8px] \ mathbf {e} _ {j} (t) & = {\ frac {{\ overline {\ mathbf {e} _ {j}} } (t)} {\ left \ | {\ overline {\ mathbf {e} _ {j}}} (t) \ right \ |}}, \ quad {\ overline {\ mathbf {e} _ {j} }} (t) = {\ boldsymbol {\ gamma}} ^ {(j)} (t) - \ sum _ {i = 1} ^ {j-1} \ left \ langle {\ boldsymbol {\ gamma}} ^ {(j)} (t), \ mathbf {e} _ {i} (t) \ right \ rangle \, \ mathbf {e} _ {i} (t) \ end {alinhado}}}$

As funções de valor real χ _i ( t ) são chamadas de curvaturas generalizadas e são definidas como

${\ displaystyle \ chi _ {i} (t) = {\ frac {{\ bigl \ langle} \ mathbf {e} _ {i} '(t), \ mathbf {e} _ {i + 1} (t ) {\ bigr \ rangle}} {\ left \ | {\ boldsymbol {\ gamma}} ^ {'} (t) \ right \ |}}}$

O quadro de Frenet e as curvaturas generalizadas são invariantes sob reparametrização e são, portanto, propriedades geométricas diferenciais da curva.

Curva de Bertrand

Uma curva de Bertrand é uma curva de Frenet com a propriedade adicional de que há uma segunda curva em que os vetores normais principais para essas duas curvas são idênticos em cada ponto correspondente. Em outras palavras, se r → ₁ ( t ) e R → ₂ ( t ) são duas curvas em tal que para qualquer t , N → ₁ = N → ₂ , então r → ₁ e r → ₂ são curvas Bertrand. Por esta razão, é comum falar de um par de curvas de Bertrand (como r → ₁ e r → ₂ no exemplo anterior). De acordo com o problema 25 em "Curvas Geométricas Diferenciais - Superfícies - Manifolds" de Kühnel, também é verdade que duas curvas de Bertrand que não se encontram no mesmo plano bidimensional são caracterizadas pela existência de uma relação linear aκ + bτ = 1 onde a e b são constantes reais e a ≠ 0 . Além disso, o produto das torções de um par de curvas de Bertrand é constante. ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}}$${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}}$${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}}$

Vetores Frenet especiais e curvaturas generalizadas

Os primeiros três vetores Frenet e curvaturas generalizadas podem ser visualizados no espaço tridimensional. Eles têm nomes adicionais e mais informações semânticas anexadas a eles.

Vetor tangente

Se uma curva γ representa o percurso de uma partícula, então o instantâneo da velocidade da partícula num dado ponto P é expresso por um vector , chamado o vector tangente à curva no P . Matematicamente, dada uma curva C ¹ parametrizada γ = γ ( t ) , para cada valor t = t ₀ do parâmetro, o vetor

${\ displaystyle \ gamma '(t_ {0}) = {\ frac {d} {d \, t}} {\ boldsymbol {\ gamma}} (t) \ {\ text {at}} \ t = t_ { 0}}$

é o vetor tangente no ponto P = γ ( t ₀ ) . De modo geral, o vetor tangente pode ser zero . A magnitude do vetor tangente

${\ displaystyle \ left \ | {\ boldsymbol {\ gamma}} '(t_ {0}) \ right \ |}$

é a velocidade no momento t ₀ .

O primeiro vetor Frenet e ₁ ( t ) é o vetor tangente unitário na mesma direção, definido em cada ponto regular de γ :

${\ displaystyle \ mathbf {e} _ {1} (t) = {\ frac {{\ boldsymbol {\ gamma}} '(t)} {\ left \ | {\ boldsymbol {\ gamma}}' (t) \ right \ |}}.}$

Se t = s é o parâmetro natural, então o vetor tangente tem comprimento unitário. A fórmula simplifica:

${\ displaystyle \ mathbf {e} _ {1} (s) = {\ boldsymbol {\ gamma}} '(s)}$.

O vetor tangente unitário determina a orientação da curva, ou direção para frente, correspondendo aos valores crescentes do parâmetro. O vetor tangente unitário tomado como uma curva traça a imagem esférica da curva original.

Vetor normal ou curvatura

O vetor normal, às vezes chamado de vetor de curvatura, indica que o desvio da curva de ser uma linha reta.

É definido como

${\ displaystyle {\ overline {\ mathbf {e} _ {2}}} (t) = {\ boldsymbol {\ gamma}} '' (t) - {\ bigl \ langle} {\ boldsymbol {\ gamma}} '' (t), \ mathbf {e} _ {1} (t) {\ bigr \ rangle} \, \ mathbf {e} _ {1} (t).}$

Sua forma normalizada, o vetor normal unitário, é o segundo vetor Frenet e ₂ ( t ) e é definido como

${\ displaystyle \ mathbf {e} _ {2} (t) = {\ frac {{\ overline {\ mathbf {e} _ {2}}} (t)} {\ left \ | {\ overline {\ mathbf {e} _ {2}}} (t) \ direita \ |}}.}$

A tangente e o vetor normal no ponto t definem o plano osculante no ponto t .

Pode-se mostrar que ē ₂ ( t ) ∝ e ′ ₁ ( t ) . Portanto,

${\ displaystyle \ mathbf {e} _ {2} (t) = {\ frac {\ mathbf {e} _ {1} '(t)} {\ left \ | \ mathbf {e} _ {1}' ( t) \ right \ |}}.}$

Curvatura

A primeira curvatura generalizada χ ₁ ( t ) é chamada de curvatura e mede o desvio de γ de ser uma linha reta em relação ao plano osculante. É definido como

${\ displaystyle \ kappa (t) = \ chi _ {1} (t) = {\ frac {{\ bigl \ langle} \ mathbf {e} _ {1} '(t), \ mathbf {e} _ { 2} (t) {\ bigr \ rangle}} {\ left \ | {\ boldsymbol {\ gamma}} '(t) \ right \ |}}}$

e é chamada de curvatura de γ no ponto t . Pode-se mostrar que

${\ displaystyle \ kappa (t) = {\ frac {\ left \ | \ mathbf {e} _ {1} '(t) \ right \ |} {\ left \ | {\ boldsymbol {\ gamma}}' ( t) \ right \ |}}.}$

O recíproco da curvatura

${\ displaystyle {\ frac {1} {\ kappa (t)}}}$

é chamado de raio de curvatura .

Um círculo com raio r tem uma curvatura constante de

${\ displaystyle \ kappa (t) = {\ frac {1} {r}}}$

enquanto uma linha tem uma curvatura de 0.

Vetor binormal

O vetor binormal unitário é o terceiro vetor Frenet e ₃ ( t ) . É sempre ortogonal à unidade tangente e aos vetores normais em t . É definido como

${\ displaystyle \ mathbf {e} _ {3} (t) = {\ frac {{\ overline {\ mathbf {e} _ {3}}} (t)} {\ | {\ overline {\ mathbf {e } _ {3}}} (t) \ |}}, \ quad {\ overline {\ mathbf {e} _ {3}}} (t) = {\ boldsymbol {\ gamma}} '' '(t) - {\ bigr \ langle} {\ boldsymbol {\ gamma}} '' '(t), \ mathbf {e} _ {1} (t) {\ bigr \ rangle} \, \ mathbf {e} _ {1 } (t) - {\ bigl \ langle} {\ boldsymbol {\ gamma}} '' '(t), \ mathbf {e} _ {2} (t) {\ bigr \ rangle} \, \ mathbf {e } _ {2} (t)}$

No espaço tridimensional, a equação se simplifica para

${\ displaystyle \ mathbf {e} _ {3} (t) = \ mathbf {e} _ {1} (t) \ times \ mathbf {e} _ {2} (t)}$

ou para

${\ displaystyle \ mathbf {e} _ {3} (t) = - \ mathbf {e} _ {1} (t) \ times \ mathbf {e} _ {2} (t),}$

Que qualquer um dos sinais pode ocorrer é ilustrado pelos exemplos de uma hélice para a direita e uma hélice para a esquerda.

Torção

A segunda curvatura generalizada χ ₂ ( t ) é chamada de torção e mede o desvio de γ de ser uma curva plana. Em outras palavras, se a torção é zero, a curva fica completamente no mesmo plano osculante (há apenas um plano osculante para cada ponto t ). É definido como

${\ displaystyle \ tau (t) = \ chi _ {2} (t) = {\ frac {{\ bigl \ langle} \ mathbf {e} _ {2} '(t), \ mathbf {e} _ { 3} (t) {\ bigr \ rangle}} {\ left \ | {\ boldsymbol {\ gamma}} '(t) \ right \ |}}}$

e é chamada de torção de γ no ponto t .

Aberrância

A terceira derivada pode ser usada para definir aberrância , uma métrica de não circularidade de uma curva.

Teorema principal da teoria da curva

Dados n - 1 funções:

${\ displaystyle \ chi _ {i} \ in C ^ {ni} ([a, b], \ mathbb {R} ^ {n}), \ quad \ chi _ {i} (t)> 0, \ quad 1 \ leq i \ leq n-1}$

então existe uma única (até transformações usando o grupo euclidiano ) C ^{n + 1} -curva γ que é regular de ordem ne tem as seguintes propriedades:

${\ displaystyle {\ begin {align} \ | \ gamma '(t) \ | & = 1 & t \ in [a, b] \\\ chi _ {i} (t) & = {\ frac {\ langle \ mathbf {e} _ {i} '(t), \ mathbf {e} _ {i + 1} (t) \ rangle} {\ | {\ boldsymbol {\ gamma}}' (t) \ |}} \ end {alinhado}}}$

onde o conjunto

${\ displaystyle \ mathbf {e} _ {1} (t), \ ldots, \ mathbf {e} _ {n} (t)}$

é o quadro Frenet para a curva.

Ao fornecer adicionalmente um início t ₀ em I , um ponto inicial p ₀ em ℝ ⁿ e um quadro de Frenet ortonormal positivo inicial { e ₁ , ..., e _{n - 1} } com

${\ displaystyle {\ begin {align} {\ boldsymbol {\ gamma}} (t_ {0}) & = \ mathbf {p} _ {0} \\\ mathbf {e} _ {i} (t_ {0} ) & = \ mathbf {e} _ {i}, \ quad 1 \ leq i \ leq n-1 \ end {alinhado}}}$

as transformações euclidianas são eliminadas para obter uma curva única γ .

Fórmulas Frenet – Serret

As fórmulas de Frenet – Serret são um conjunto de equações diferenciais ordinárias de primeira ordem. A solução é o conjunto de vetores Frenet que descrevem a curva especificada pelas funções de curvatura generalizadas χ _i .

2 dimensões

${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} \ mathbf {e} _ {1} '(t) \\\ mathbf {e} _ {2}' (t) \\\ end {bmatrix}} = \ left \ Vert \ gamma '\ left (t \ right) \ right \ Vert {\ begin {bmatrix} 0 & \ kappa (t) \\ - \ kappa (t) & 0 \\\ end {bmatrix}} {\ begin {bmatrix} \ mathbf {e} _ {1} (t) \\\ mathbf {e} _ {2} (t) \\\ end {bmatriz}}}$

3 dimensões

${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} \ mathbf {e} _ {1} '(t) \\\ mathbf {e} _ {2}' (t) \\\ mathbf {e} _ {3} '( t) \\\ end {bmatrix}} = \ left \ Vert \ gamma '\ left (t \ right) \ right \ Vert {\ begin {bmatrix} 0 & \ kappa (t) & 0 \\ - \ kappa (t) & 0 & \ tau (t) \\ 0 & - \ tau (t) & 0 \\\ end {bmatriz}} {\ begin {bmatrix} \ mathbf {e} _ {1} (t) \\\ mathbf {e} _ {2} (t) \\\ mathbf {e} _ {3} (t) \\\ end {bmatriz}}}$

n dimensões (fórmula geral)

${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} \ mathbf {e} _ {1} '(t) \\\ mathbf {e} _ {2}' (t) \\\ vdots \\\ mathbf {e} _ { n-1} '(t) \\\ mathbf {e} _ {n}' (t) \\\ end {bmatrix}} = \ left \ Vert \ gamma '\ left (t \ right) \ right \ Vert {\ begin {bmatrix} 0 & \ chi _ {1} (t) & \ cdots & 0 & 0 \\ - \ chi _ {1} (t) & 0 & \ cdots & 0 & 0 \\\ vdots & \ vdots & \ ddots & \ vdots & \ vdots \\ 0 & 0 & \ cdots & 0 & \ chi _ {n-1} (t) \\ 0 & 0 & \ cdots & - \ chi _ {n-1} (t) & 0 \\\ end {bmatrix}} {\ begin { bmatrix} \ mathbf {e} _ {1} (t) \\\ mathbf {e} _ {2} (t) \\\ vdots \\\ mathbf {e} _ {n-1} (t) \\ \ mathbf {e} _ {n} (t) \\\ end {bmatriz}}}$

Veja também

• Lista de tópicos de curvas

Referências

Leitura adicional

• Kreyszig, Erwin (1991). Geometria Diferencial . Nova York: Dover Publications. ISBN 0-486-66721-9.O Capítulo II é um tratamento clássico da Teoria das Curvas em 3 dimensões.