Altura da escala - Scale height
Em vários contextos científicos, uma altura de escala , geralmente denotada pela letra maiúscula H , é uma distância sobre a qual uma quantidade diminui por um fator de e (a base dos logaritmos naturais , aproximadamente 2,718).
Altura da escala usada em um modelo de pressão atmosférica simples
Para atmosferas planetárias, a altura da escala é o aumento da altitude para a qual a pressão atmosférica diminui por um fator de e . A altura da escala permanece constante para uma determinada temperatura. Pode ser calculado por
ou equivalente
Onde:
- k = Constante de Boltzmann = 1,38 x 10 −23 J · K −1
- R = constante de gás
- T = temperatura atmosférica média em Kelvins = 250 K para a Terra
- m = massa média de uma molécula (unidades kg)
- M = massa média de um mol de partículas atmosféricas = 0,029 kg / mol para a Terra
- g = aceleração devido à gravidade na localização atual (m / s 2 )
A pressão (força por unidade de área) em uma determinada altitude é o resultado do peso da atmosfera sobrejacente. Se a uma altura de z a atmosfera tem densidade ρ e pressão P , então movendo-se para cima uma altura infinitesimalmente pequena dz diminuirá a pressão em um valor dP , igual ao peso de uma camada de atmosfera de espessura dz .
Por isso:
onde g é a aceleração da gravidade. Para dz pequeno , é possível assumir que g é constante; o sinal menos indica que à medida que a altura aumenta, a pressão diminui. Portanto, usando a equação de estado para um gás ideal de massa molecular média M na temperatura T, a densidade pode ser expressa como
Combinar essas equações dá
que pode então ser incorporado com a equação para H dada acima para dar:
que não mudará a menos que a temperatura mude. Integrando o acima e assumindo que P 0 é a pressão na altura z = 0 (pressão ao nível do mar ), a pressão na altura z pode ser escrita como:
Isso se traduz como a pressão diminuindo exponencialmente com a altura.
Na atmosfera da Terra , a pressão ao nível do mar P 0 é em média de cerca de 1,01 × 10 5 Pa, a massa molecular média do ar seco é 28,964 u e, portanto, 28,964 × 1,660 × 10 −27 = 4,808 × 10 −26 kg, eg = 9,81 m / s². Como uma função da temperatura a altura escala da atmosfera terrestre é, por conseguinte, 1,38 / (4,808 × 9,81) x 10 3 = 29,26 m / DEG. Isso produz as seguintes alturas de escala para temperaturas de ar representativas.
- T = 290 K, H = 8500 m
- T = 273 K, H = 8000 m
- T = 260 K, H = 7610 m
- T = 210 K, H = 6000 m
Esses números devem ser comparados com a temperatura e a densidade da atmosfera da Terra plotada em NRLMSISE-00 , que mostra a densidade do ar caindo de 1200 g / m 3 ao nível do mar para 0,5 3 = 0,125 g / m 3 a 70 km, um fator de 9600, indicando uma altura de escala média de 70 / ln (9600) = 7,64 km, consistente com a temperatura média do ar indicada nessa faixa de perto de 260 K.
Observação:
- A densidade está relacionada à pressão pelas leis dos gases ideais . Portanto, a densidade também diminuirá exponencialmente com a altura a partir de um valor do nível do mar de ρ 0 aproximadamente igual a 1,2 kg m −3
- Em alturas acima de 100 km, uma atmosfera pode não estar mais bem misturada. Então, cada espécie química tem sua própria altura de escala.
- Aqui, a temperatura e a aceleração gravitacional foram assumidas como constantes, mas ambas podem variar em grandes distâncias.
Exemplos planetários
Seguem as alturas da escala atmosférica aproximadas para corpos selecionados do Sistema Solar.
- Titã : 21 km