Expoente crítico - Critical exponent

Os expoentes críticos descrevem o comportamento de grandezas físicas próximas às transições de fase contínua . Acredita-se, embora não esteja provado, que sejam universais, ou seja, não dependem dos detalhes do sistema físico, mas apenas de algumas de suas características gerais. Por exemplo, para sistemas ferromagnéticos, os expoentes críticos dependem apenas de:

a dimensão do sistema
o alcance da interação
a dimensão do giro

Essas propriedades de expoentes críticos são suportadas por dados experimentais. Os resultados analíticos podem ser obtidos teoricamente na teoria do campo médio em dimensões altas ou quando soluções exatas são conhecidas, como o modelo de Ising bidimensional . O tratamento teórico em dimensões genéricas requer a abordagem de grupo de renormalização ou as técnicas de bootstrap conformado . Transições de fase e expoentes críticos aparecem em muitos sistemas físicos, como água na transição líquido-vapor, em sistemas magnéticos, em supercondutividade, em percolação e em fluidos turbulentos. A dimensão crítica acima da qual os expoentes de campo médios são válidos varia com os sistemas e pode até ser infinita. É 4 para a transição líquido-vapor, 6 para percolação e provavelmente infinito para turbulência. Os expoentes críticos do campo médio também são válidos para gráficos aleatórios, como os gráficos Erdős – Rényi, que podem ser considerados sistemas dimensionais infinitos.

Definição

O parâmetro de controle que comanda as transições de fase geralmente é a temperatura, mas também pode ser outras variáveis macroscópicas, como pressão ou um campo magnético externo. Para simplificar, a discussão a seguir funciona em termos de temperatura; a tradução para outro parâmetro de controle é direta. A temperatura na qual a transição ocorre é chamada de temperatura crítica $T c$ . Queremos descrever o comportamento de uma quantidade física $f$ em termos de uma lei de potência em torno da temperatura crítica; nós introduzimos a temperatura reduzida

{\ displaystyle \ tau: = {\ frac {T-T _ {\ mathrm {c}}} {T _ {\ mathrm {c}}}}}

que é zero na transição de fase , e define o expoente crítico : ${\ displaystyle k}$

{\ displaystyle k \, {\ stackrel {\ text {def}} {=}} \, \ lim _ {\ tau \ to 0} {\ frac {\ log | f (\ tau) |} {\ log | \ tau |}}}

Isso resulta na lei de potência que procurávamos:

{\ displaystyle f (\ tau) \ propto \ tau ^ {k} \ ,, \ quad \ tau \ to 0}

É importante lembrar que isso representa o comportamento assintótico da função $f (τ)$ como $τ \to 0$ .

Mais geralmente, pode-se esperar

{\ displaystyle f (\ tau) = A \ tau ^ {k} \ left (1 + b \ tau ^ {k_ {1}} + \ cdots \ right)}

Os expoentes críticos mais importantes

Suponhamos que o sistema tenha duas fases diferentes caracterizadas por um parâmetro de ordem $Ψ$ , que desaparece em e acima de $T c$ .

Considere as fases de fase desordenada ( $τ > 0$ ), fase ordenada ( $τ <0$ ) e temperatura crítica ( $τ = 0$ ) separadamente. Seguindo a convenção padrão, os expoentes críticos relacionados à fase ordenada são iniciados. Também é outra convenção padrão usar sobrescrito / subscrito + (-) para o estado desordenado (ordenado). Em geral, a quebra espontânea da simetria ocorre na fase ordenada.

Definições
$Ψ$	parâmetro de pedido (por exemplo $.mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num,.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0 0.1em}.mw-parser-output .sfrac .den{border-top:1px solid}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px} ρ - ρ c/ρ c$ para o ponto crítico líquido-gás, magnetização para o ponto Curie , etc.)
$τ$	$T - T c / T c$
$f$	energia livre específica
$C$	calor específico ; $- T \partial 2 f / \partial T 2$
$J$	campo de origem (por exemplo $P - P c / P c$ onde $P$ é a pressão e $P c$ a pressão crítica para o ponto crítico líquido-gás, potencial químico reduzido , o campo magnético $H$ para o ponto Curie )
$χ$	a susceptibilidade , compressibilidade , etc .; $\partial ψ / \partial J$
$ξ$	comprimento de correlação
$d$	o número de dimensões espaciais
$⟨ Ψ (x \to) ψ (y \to)⟩$	a função de correlação
$r$	distância espacial

As seguintes entradas são avaliadas em $J = 0$ (exceto para a entrada $δ$ )

Expoentes críticos para $τ > 0$ (fase desordenada)
Letra grega	relação
$α$	$C \propto τ - α$
$γ$	$χ \propto τ - γ$
$ν$	$ξ \propto τ - ν$

Expoentes críticos para $τ <0$ (fase ordenada)
Letra grega	relação
$α'$	$C \propto (- τ) - α'$
$β$	$Ψ \propto (- τ) β$
$γ'$	$χ \propto (- τ) - γ'$
$ν'$	$ξ \propto (- τ) - ν'$

Expoentes críticos para $τ = 0$
Letra grega	relação
$δ$	$J \propto Ψ δ$
$η$	$⟨ Ψ (0) ψ (r)⟩ α r - d + 2 - η$

Os expoentes críticos podem ser derivados da energia livre específica $f (J, T)$ em função da fonte e da temperatura. O comprimento de correlação pode ser derivado do funcional $F [J; T]$ .

Essas relações são precisas perto do ponto crítico em sistemas bidimensionais e tridimensionais. Em quatro dimensões, entretanto, as leis de potência são modificadas por fatores logarítmicos. Estes não aparecem em dimensões arbitrariamente próximas, mas não exatamente de quatro, o que pode ser usado como uma forma de contornar este problema .

Expoentes críticos de campo médio de sistemas semelhantes a Ising

Os valores da teoria clássica de Landau (também conhecida como teoria do campo médio ) dos expoentes críticos para um campo escalar (dos quais o modelo de Ising é o exemplo prototípico) são dados por

{\ displaystyle \ alpha = \ alpha ^ {\ prime} = 0 \ ,, \ quad \ beta = {\ tfrac {1} {2}} \ ,, \ quad \ gamma = \ gamma ^ {\ prime} = 1 \ ,, \ quad \ delta = 3}

Se adicionarmos termos derivados transformando-a em uma teoria de Ginzburg-Landau de campo médio , obtemos

{\ displaystyle \ eta = 0 \ ,, \ quad \ nu = {\ tfrac {1} {2}}}

Uma das principais descobertas no estudo dos fenômenos críticos é que a teoria do campo médio dos pontos críticos só é correta quando a dimensão espacial do sistema é superior a uma certa dimensão chamada dimensão crítica superior que exclui as dimensões físicas 1, 2 ou 3 na maioria dos casos. O problema com a teoria do campo médio é que os expoentes críticos não dependem da dimensão do espaço. Isso leva a uma discrepância quantitativa abaixo das dimensões críticas, onde os verdadeiros expoentes críticos diferem dos valores médios do campo. Pode até levar a uma discrepância qualitativa na dimensão espacial baixa, onde um ponto crítico de fato não pode mais existir, embora a teoria do campo médio ainda preveja que existe um. Esse é o caso do modelo de Ising na dimensão 1, onde não há transição de fase. A dimensão espacial em que a teoria do campo médio se torna qualitativamente incorreta é chamada de dimensão crítica inferior.

Valores experimentais

O valor medido com mais precisão de $α$ é −0,0127 (3) para a transição de fase do hélio superfluido (a chamada transição lambda ). O valor foi medido em um ônibus espacial para minimizar as diferenças de pressão na amostra. Este valor está em desacordo significativo com as determinações teóricas mais precisas provenientes de técnicas de expansão de alta temperatura, métodos de Monte Carlo e bootstrap conformal .

Problema não resolvido na física :

Explique a discrepância entre as determinações experimentais e teóricas do expoente crítico da capacidade térmica $α$ para a transição do superfluido em Hélio-4 .

(mais problemas não resolvidos na física)

Previsões teóricas

Os expoentes críticos podem ser avaliados por meio de simulações de Monte Carlo de modelos de rede. A precisão deste método de primeiro princípio depende dos recursos computacionais disponíveis, que determinam a capacidade de ir ao limite de volume infinito e de reduzir erros estatísticos. Outras técnicas baseiam-se na compreensão teórica das flutuações críticas. A técnica mais amplamente aplicável é o grupo de renormalização . O bootstrap conformado é uma técnica desenvolvida mais recentemente, que alcançou uma precisão insuperável para os expoentes críticos de Ising .

Funções de escala

À luz das escalas críticas, podemos reexpressar todas as quantidades termodinâmicas em termos de quantidades adimensionais. Perto o suficiente do ponto crítico, tudo pode ser reexpresso em termos de certas proporções das potências das quantidades reduzidas. Estas são as funções de dimensionamento.

A origem das funções de escalonamento pode ser vista no grupo de renormalização. O ponto crítico é um ponto fixo infravermelho . Em uma vizinhança suficientemente pequena do ponto crítico, podemos linearizar a ação do grupo de renormalização. Isso basicamente significa que redimensionar o sistema por um fator de $a$ será equivalente a redimensionar operadores e campos de origem por um fator de $a Δ$ para algum $Δ$ . Portanto, podemos reparameterizar todas as quantidades em termos de quantidades independentes de escala reescalonadas.

Escalando relações

Por muito tempo, acreditou-se que os expoentes críticos eram os mesmos acima e abaixo da temperatura crítica, por exemplo, $α \equiv α'$ ou $γ \equiv γ'$ . Agora foi mostrado que isso não é necessariamente verdade: quando uma simetria contínua é explicitamente dividida em uma simetria discreta por anisotropias irrelevantes (no sentido de grupo de renormalização), então os expoentes $γ$ e $γ'$ não são idênticos.

Os expoentes críticos são denotados por letras gregas. Eles se enquadram em classes de universalidade e obedecem às relações de escalonamento e hiperescalonamento

{\ displaystyle {\ begin {alinhado} \ nu d & = 2- \ alpha = 2 \ beta + \ gamma = \ beta (\ delta +1) = \ gamma {\ frac {\ delta +1} {\ delta -1 }} \\ 2- \ eta & = {\ frac {\ gamma} {\ nu}} = d {\ frac {\ delta -1} {\ delta +1}} \ end {alinhado}}}

Essas equações implicam que existem apenas dois expoentes independentes, por exemplo, $ν$ e $η$ . Tudo isso decorre da teoria do grupo de renormalização .

Anisotropia

Existem alguns sistemas anisotrópicos onde o comprimento de correlação é dependente da direção. Para percolação, ver Dayan et al.

A percolação dirigida também pode ser considerada como percolação anisotrópica. Neste caso, os expoentes críticos são diferentes e a dimensão crítica superior é 5.

Pontos multicríticos

Um comportamento mais complexo pode ocorrer em pontos multicríticos , na fronteira ou em interseções de variedades críticas. Eles podem ser alcançados ajustando o valor de dois ou mais parâmetros, como temperatura e pressão.

Propriedades estáticas versus propriedades dinâmicas

Os exemplos acima referem-se exclusivamente às propriedades estáticas de um sistema crítico. No entanto, as propriedades dinâmicas do sistema também podem se tornar críticas. Especialmente, o tempo característico, $τ char$ , de um sistema diverge como $τ char \propto ξ z$ , com um expoente dinâmico $z$ . Além disso, as grandes classes de universalidade estática de modelos equivalentes com expoentes críticos estáticos idênticos se decompõem em classes de universalidade dinâmica menores , se alguém exigir que também os expoentes dinâmicos sejam idênticos.

Os expoentes críticos podem ser calculados a partir da teoria de campo conforme .

Veja também dimensão de escala anômala .

Propriedades de transporte

Os expoentes críticos também existem para quantidades de transporte, como viscosidade e condutividade térmica . Um estudo recente sugere que os expoentes críticos de percolação desempenham um papel importante no tráfego urbano.

Criticidade auto-organizada

Os expoentes críticos também existem para criticidade auto-organizada para sistemas dissipativos .

Teoria de Percolação

Transições de fase e expoentes críticos aparecem também em processos de percolação onde a concentração de sites ou links ocupados desempenham o papel da temperatura. O exemplo mais simples talvez seja a percolação em uma rede quadrada bidimensional. Sites são ocupados aleatoriamente com probabilidade p. Para pequenos valores de p, os locais ocupados formam apenas pequenos aglomerados. Em um determinado limiar pc, um aglomerado gigante é formado e temos uma transição de fase de segunda ordem. Veja expoentes críticos de percolação . Para percolação, os expoentes críticos são diferentes de Ising. Por exemplo, no campo médio para percolação em comparação com para Ising. Na teoria da rede, a força das interações entre comunidades foi encontrada para se comportar de forma análoga a um campo externo em ímãs perto da transição de fase ou como campo fantasma na percolação. ${\ displaystyle \ delta = 2}$ ${\ displaystyle \ delta = 3}$

Veja também

Classe de universalidade para os valores numéricos de expoentes críticos
Redes complexas
Gráficos aleatórios
Desigualdade de Rushbrooke
Escala de largura
Bootstrap conformal
Ising críticos expoentes
Expoentes críticos de percolação
Ciência da rede
Teoria da percolação
Teoria dos grafos

Links externos e literatura

Hagen Kleinert e Verena Schulte-Frohlinde, Critical Properties of φ ⁴ -Theories , World Scientific (Singapura, 2001) ; Brochura ISBN 981-02-4658-7
Toda, M., Kubo, R., N. Saito, Statistical Physics I , Springer-Verlag (Berlin, 1983); Capa dura ISBN 3-540-11460-2
JMYeomans, Statistical Mechanics of Phase Transitions , Oxford Clarendon Press
HE Stanley Introduction to Phase Transitions and Critical Phenomena , Oxford University Press, 1971
A. Bunde e S. Havlin (editores), Fractals in Science , Springer, 1995
A. Bunde e S. Havlin (editores), Fractals and Disordered Systems , Springer, 1996
Aulas de universalidade do Sklogwiki
Zinn-Justin, Jean (2002). Teoria do campo quântico e fenômenos críticos , Oxford, Clarendon Press (2002), ISBN 0-19-850923-5
Zinn-Justin, J. (2010). "Fenômenos críticos: abordagem teórica do campo" Artigo da Scholarpedia Scholarpedia, 5 (5): 8346.
D. Polónia, S. Rychkov, A. Vichi, "The Conformal Bootstrap: Theory, Numerical Techniques, and Applications" , Rev.Mod.Phys. 91 (2019) 015002, http://arxiv.org/abs/1805.04405
F. Leonard e B. Delamotte Os expoentes críticos podem ser diferentes nos dois lados de uma transição: Um mecanismo genérico https://arxiv.org/abs/1508.07852

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