Raiz quadrada de 3 - Square root of 3

Raiz quadrada de 3
	A altura de um triângulo equilátero com lados de comprimento 2 é igual à raiz quadrada de 3.
Representações
Decimal	1,73205 08075 68877 2935 ...
Fração contínua
Binário	1.1011 1011 0110 0111 1010 ...
Hexadecimal	1.BB67 AE85 84CA A73B ...

A raiz quadrada de 3 é o número real positivo que, quando multiplicado por ele mesmo, dá o número 3 . É denotado matematicamente como √ 3 ou 3 ^1/2 . É mais precisamente chamado de raiz quadrada principal de 3 , para distingui-lo do número negativo com a mesma propriedade. A raiz quadrada de 3 é um número irracional . É também conhecida como constante de Teodoro , em homenagem a Teodoro de Cirene , que provou sua irracionalidade.

Em dezembro de 2013, seu valor numérico em notação decimal havia sido calculado para pelo menos dez bilhões de dígitos. Sua expansão decimal , escrita aqui com 65 casas decimais, é dada por OEIS : A002194 :

1,73205 08075 68877 29352 74463 41505 87236 69428 05253 81038 06280 55806

A fração 97/56 (1.732 142 857 ...) pode ser usado como uma aproximação. Apesar de ter um denominador de apenas 56, difere do valor correto por menos de1/10.000 (aproximadamente 9,2 × 10 ⁻⁵ ). O valor arredondado de 1,732 está correto em 0,01% do valor real.

Arquimedes relatou um intervalo para seu valor: $(1351 / 780) 2 > 3> (265 / 153) 2$ ; o limite inferior com precisão de1/608400 (seis casas decimais) e o limite superior para 2/23409 (quatro casas decimais).

Expressões

Pode ser expresso como a fração contínua [1; 1, 2, 1, 2, 1, 2, 1, ...] (sequência A040001 no OEIS ).

Portanto, é verdade dizer:

{\ displaystyle {\ begin {bmatrix} 1 e 2 \\ 1 & 3 \ end {bmatrix}} ^ {n} = {\ begin {bmatrix} a_ {11} & a_ {12} \\ a_ {21} & a_ {22} \ end {bmatrix}}}

então quando : ${\ displaystyle n \ to \ infty}$

{\ displaystyle {\ sqrt {3}} = 2 \ cdot {\ frac {a_ {22}} {a_ {12}}} - 1}

Também pode ser expresso por frações contínuas generalizadas , como

{\ displaystyle [2; -4, -4, -4, ...] = 2 - {\ cfrac {1} {4 - {\ cfrac {1} {4 - {\ cfrac {1} {4- \ ddots}}}}}}}

que é [1; 1, 2, 1, 2, 1, 2, 1, ...] avaliada a cada segundo período.

As seguintes expressões quadradas aninhadas convergem para √ 3 :

{\ displaystyle \! \ {\ sqrt {3}} = 2-2 \ left ({\ frac {1} {2}} - \ left ({\ frac {1} {2}} - \ left ({\ frac {1} {2}} - \ left ({\ frac {1} {2}} - \ dots \ right) ^ {2} \ right) ^ {2} \ right) ^ {2} \ right) ^ {2} = {\ frac {7} {4}} - 4 \ left ({\ frac {1} {16}} + \ left ({\ frac {1} {16}} + \ left ({\ frac {1} {16}} + \ left ({\ frac {1} {16}} + \ dots \ right) ^ {2} \ right) ^ {2} \ right) ^ {2} \ right) ^ { 2}.}

Também podemos obter uma série para √ 3 usando um produto de Cauchy da seguinte série para √ 3/2 e √ 2 :

A série Taylor

${\ displaystyle {\ sqrt {1 + x}} = \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} (- 1) ^ {k + 1} {\ frac {(2k-3) !!} {( 2k) !!}} x ^ {k} = 1 + {\ frac {x} {2}} - {\ frac {x ^ {2}} {8}} + {\ frac {x ^ {3}} {16}} - {\ frac {5x ^ {4}} {128}} + ...}$

converge para

-1 ≤ x ≤ 1.

Como x = 2 está fora dessa faixa de convergência, não podemos obter uma série para √ 3 dessa forma. No entanto, desde

x = 1/2 e x = 1 estão dentro da faixa de convergência, temos as seguintes formas fechadas:

${\ displaystyle {\ sqrt {\ frac {3} {2}}} = \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} (- 1) ^ {k + 1} {\ frac {(2k-3) !!} {(2k) !! 2 ^ {k}}} = 1 + {\ frac {1} {4}} - {\ frac {1} {32}} + {\ frac {1} {128} } - {\ frac {5} {2048}} + ...}$

${\ displaystyle {\ sqrt {2}} = \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} (- 1) ^ {k + 1} {\ frac {(2k-3) !!} {(2k) !!}} = 1 + {\ frac {1} {2}} - {\ frac {1} {8}} + {\ frac {1} {16}} - {\ frac {5} {128}} + \ cdots.}$

O produto de Cauchy dessas duas séries infinitas é:

${\ displaystyle {\ sqrt {\ frac {3} {2}}} \ cdot {\ sqrt {2}} = {\ sqrt {3}} = 1 + {\ frac {1} {2}} + {\ frac {1} {4}} - {\ frac {1} {32}} + {\ frac {3} {128}} - {\ frac {37} {2048}} + \ cdots}$

Prova de irracionalidade

Esta prova de irracionalidade para o √ 3 usa o método de descida infinita de Fermat :

Suponha que √ 3 seja racional e expresse-o nos termos mais baixos possíveis (ou seja, como uma fração totalmente reduzida ) como $m / n$ para números naturais $m$ e $n$ .

Portanto, multiplicar por 1 resultará em uma expressão igual:

{\ displaystyle {\ frac {m ({\ sqrt {3}} - q)} {n ({\ sqrt {3}} - q)}}}

onde $q$ é o maior inteiro menor que √ 3 . Observe que o numerador e o denominador foram multiplicados por um número menor que 1.

Com isso, e multiplicando o numerador e o denominador, obtemos:

{\ displaystyle {\ frac {m {\ sqrt {3}} - mq} {n {\ sqrt {3}} - nq}}}

Conclui-se que $m$ pode ser substituído por $\sqrt 3 n$ :

{\ displaystyle {\ frac {n {\ sqrt {3}} ^ {2} -mq} {n {\ sqrt {3}} - nq}}}

Então, √ 3 também pode ser substituído por $m / n$ no denominador:

{\ displaystyle {\ frac {n {\ sqrt {3}} ^ {2} -mq} {n {\ frac {m} {n}} - nq}}}

O quadrado de √ 3 pode ser substituído por 3. Como $m / n$ é multiplicado por $n$ , seu produto é igual a $m$ :

{\ displaystyle {\ frac {3n-mq} {m-nq}}}

Então √ 3 pode ser expresso em termos mais baixos do que $m / n$ (uma vez que a primeira etapa reduziu os tamanhos do numerador e do denominador, e as etapas subsequentes não os alteraram) como $3 n - mq / m - nq$ , o que é uma contradição com a hipótese de que $m / n$ estava em termos mais baixos.

Uma prova alternativa disso é, assumindo $\sqrt 3 = m / n$ com $m / n$ sendo uma fração totalmente reduzida :

Multiplicando por $n$ ambos os termos e, em seguida, elevando ao quadrado ambos resulta

{\ displaystyle 3n ^ {2} = m ^ {2}.}

Uma vez que o lado esquerdo é divisível por 3, o lado direito também é, exigindo que $m$ seja divisível por 3. Então, $m$ pode ser expresso como $3 k$ :

{\ displaystyle 3n ^ {2} = (3k) ^ {2} = 9k ^ {2}}

Portanto, dividir os dois termos por 3 dá:

{\ displaystyle n ^ {2} = 3k ^ {2}}

Como o lado direito é divisível por 3, o lado esquerdo também é e, portanto, $n$ . Assim, como $n$ e $m$ são divisíveis por 3, eles têm um fator comum e $m / n$ não é uma fração totalmente reduzida, contradizendo a premissa original.

Geometria e trigonometria

A altura de um triângulo equilátero com comprimento de aresta 2 é √ 3 . Além disso, a longa perna de um triângulo 30-60-90 com hipotenusa 2.

E, a altura de um hexágono regular com lados de comprimento 1.

A diagonal do cubo unitário é √ 3 .

Esta projeção do dodecaedro de Bilinski é um losango com proporção diagonal √ 3 .

A raiz quadrada de 3 pode ser encontrada como o comprimento da perna de um triângulo equilátero que engloba um círculo com um diâmetro de 1.

Se um triângulo equilátero com lados de comprimento 1 é cortado em duas metades iguais, dividindo um ângulo interno para formar um ângulo reto com um lado, a hipotenusa do triângulo retângulo tem comprimento um e os lados são de comprimento1/2 e √ 3/2. A partir disso, a função trigonométrica tangente de 60 ° é igual a √ 3 , e o seno de 60 ° e o cosseno de 30 ° são ambos iguais√ 3/2.

A raiz quadrada de 3 também aparece em expressões algébricas para várias outras constantes trigonométricas , incluindo os senos de 3 °, 12 °, 15 °, 21 °, 24 °, 33 °, 39 °, 48 °, 51 °, 57 °, 66 °, 69 °, 75 °, 78 °, 84 ° e 87 °.

É a distância entre os lados paralelos de um hexágono regular com lados de comprimento 1. No plano complexo , essa distância é expressa como $i \sqrt 3$ mencionado abaixo .

É o comprimento da diagonal do espaço de um cubo unitário .

A vesica piscis tem uma proporção de eixo maior para eixo menor igual a 1: √ 3 , isso pode ser mostrado pela construção de dois triângulos equiláteros dentro dela.

Raiz quadrada de -3

A multiplicação de √ 3 pela unidade imaginária dá uma raiz quadrada de -3 , um número imaginário . Mais exatamente,

{\ displaystyle {\ sqrt {-3}} = \ pm i {\ sqrt {3}}}

(ver raiz quadrada de números negativos ). É um número inteiro de Eisenstein . Ou seja, é expresso como a diferença entre duas raízes cúbicas não reais de 1 (que são inteiros de Eisenstein).

Outros usos

Engenharia de Energia

Na engenharia de energia , a tensão entre duas fases em um sistema trifásico é igual a √ 3 vezes a tensão da linha para o neutro. Isso ocorre porque quaisquer duas fases estão separadas por 120 ° e dois pontos em um círculo separados por 120 graus são separados por √ 3 vezes o raio (consulte os exemplos de geometria acima).