Espaço de pedra - Stone space
Na topologia e áreas relacionadas da matemática , um espaço Stone , também conhecido como espaço profinito ,é um espaço compacto de Hausdorff totalmente desconectado . Os espaços de pedra têm o nome de Marshall Harvey Stone que os introduziu e estudou na década de 1930 no curso de sua investigação das álgebras booleanas , que culminou em seu teorema de representação para álgebras booleanas .
Condições equivalentes
As seguintes condições no espaço topológico são equivalentes:
- é um espaço de Pedra;
- é homeomórfica ao limite projetivo (na categoria dos espaços topológicos ) de um sistema inverso de espaços discretos finitos ;
- é compacto e totalmente separado ;
- é compacto, T 0 e sem dimensão (no sentido de pequena dimensão indutiva );
- é coerente e de Hausdorff.
Exemplos
Exemplos importantes de espaços Stone incluem espaços discretos finitos , o conjunto de Cantor e o espaço de inteiros -adic , onde é qualquer número primo . Generalizando esses exemplos, qualquer produto de espaços discretos finitos é um espaço de Pedra, e o espaço topológico subjacente a qualquer grupo profinito é um espaço de Pedra. A compactação Stone-Čech dos números naturais com a topologia discreta, ou mesmo de qualquer espaço discreto, é um espaço Stone.
Teorema de representação de Stone para álgebras booleanas
Para cada álgebra booleana podemos associar um espaço de pedra da seguinte forma: os elementos são os ultrafiltros sobre e a topologia na chamada a topologia Stone , é gerada pelos conjuntos do formulárioonde
O teorema de representação de Stone para álgebras booleanas afirma que toda álgebra booleana é isomórfica à álgebra booleana de conjuntos clopen do espaço de Stone ; e, além disso, todos os espaços de pedra é homeomorfos para o espaço de pedra pertencente ao álgebra booleana de conjuntos clopen de Estas designações são functorial , e obtém-se uma dualidade categoria-teórica entre a categoria de álgebra booleana (com homomorphisms como morphisms) e a categoria de Espaços de pedra (com mapas contínuos como morfismos).
O teorema de Stone deu origem a uma série de dualidades semelhantes, agora conhecidas coletivamente como dualidades de Stone .
Veja também
- Stone – Čech compactification # Construção usando ultrafiltros
- Filtros na topologia - Uso de filtros para descrever e caracterizar todas as noções e resultados topológicos básicos.
Referências
Leitura adicional
- Peter Johnstone , Stone Spaces , Cambridge University Press, 1982