Superseleção - Superselection

Na mecânica quântica , a superseleção estende o conceito de regras de seleção .

As regras de superseleção são regras postuladas que proíbem a preparação de estados quânticos que exibem coerência entre os autoestados de certos observáveis . Foi originalmente introduzido por Wick, Wightman e Wigner para impor restrições adicionais à teoria quântica, além das regras de seleção .

Matematicamente falando, dois estados quânticos e são separados por uma regra de seleção se para o hamiltoniano dado , enquanto eles são separados por uma regra de superseleção se para todos os observáveis ​​físicos . Porque nenhum observável se conecta e eles não podem ser colocados em uma superposição quântica , e / ou uma superposição quântica não pode ser distinguida de uma mistura clássica dos dois estados. Também implica que há uma quantidade conservada classicamente que difere entre os dois estados. ${\ displaystyle \ psi _ {1}}$${\ displaystyle \ psi _ {2}}$${\ displaystyle \ langle \ psi _ {1} | H | \ psi _ {2} \ rangle = 0}$${\ displaystyle H}$${\ displaystyle \ langle \ psi _ {1} | A | \ psi _ {2} \ rangle = 0}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle \ langle \ psi _ {1} |}$${\ displaystyle | \ psi _ {2} \ rangle}$${\ displaystyle \ alpha | \ psi _ {1} \ rangle + \ beta | \ psi _ {2} \ rangle}$

Um setor de superseleção é um conceito usado na mecânica quântica quando uma representação de uma * -álgebra é decomposta em componentes irredutíveis . Ele formaliza a ideia de que nem todos os operadores auto-adjuntos são observáveis porque a fase relativa de uma superposição de estados diferentes de zero de diferentes componentes irredutíveis não é observável (os valores esperados dos observáveis ​​não podem distinguir entre eles).

Formulação

Suponha que A seja uma * -álgebra unital e O seja uma subálgebra unital * - cujos elementos auto-adjuntos correspondem a observáveis. Uma representação unitária de S pode ser decomposta como a soma directa de irredutíveis representação unitária de S . Cada componente isotípico nesta decomposição é denominado setor de superseleção . Os observáveis ​​preservam os setores de superseleção.

Relação com simetria

As simetrias geralmente dão origem a setores de superseleção (embora esta não seja a única maneira pela qual ocorrem). Suponha que um grupo G atue sobre A , e que H é uma representação unitária de A e G, que é equivariante no sentido de que para todo g em G , a em A e ψ em H ,

${\ displaystyle g (a \ cdot \ psi) = (ga) \ cdot (g \ psi)}$

Suponha que O seja uma subálgebra invariante de A em G (todos os observáveis ​​são invariantes em G , mas nem todo invariante de operador auto-adjunto sob G é necessariamente um observável). H decompõe-se em sectores superseleção, cada um dos quais é o produto de um tensor de representação irredutível de L com uma representação de S .

Isto pode ser generalizada por assumindo que H é apenas uma representação de uma extensão ou tampa K de L . (Por exemplo, G poderia ser o grupo de Lorentz e K a cobertura dupla de spin correspondente .) Alternativamente, pode-se substituir G por uma álgebra de Lie , superálgebra de Lie ou uma álgebra de Hopf .

Exemplos

Considere uma partícula de mecânica quântica confinada a um circuito fechado (ou seja, uma linha periódica de período L ). Os setores de superseleção são rotulados por um ângulo θ entre 0 e 2π. Todas as funções de onda dentro de um único setor de superseleção satisfazem

${\ displaystyle \ psi (x + L) = e ^ {i \ theta} \ psi (x).}$

Setores de superseleção

Um grande sistema físico com infinitos graus de liberdade nem sempre visita todos os estados possíveis, mesmo se tiver energia suficiente. Se um ímã for magnetizado em uma determinada direção, cada rotação flutuará em qualquer temperatura, mas a magnetização líquida nunca mudará. A razão é que é infinitamente improvável que todos os infinitos giros em cada posição diferente flutuem todos juntos da mesma maneira.

Um grande sistema geralmente possui setores de superseleção . Em um sólido, diferentes rotações e translações que não são simetrias de rede definem os setores de superseleção. Em geral, uma regra de superseleção é uma quantidade que nunca pode mudar por meio de flutuações locais. Além dos parâmetros de ordem, como a magnetização de um ímã, também existem quantidades topológicas, como o número do enrolamento. Se uma corda é enrolada em torno de um fio circular, o número total de vezes que ela se enrola nunca muda sob flutuações locais. Esta é uma lei de conservação comum. Se o fio for uma linha infinita, sob condições em que o vácuo não tenha flutuações no número do enrolamento que sejam coerentes em todo o sistema, a lei de conservação é uma regra de superseleção --- a probabilidade de que o enrolamento se desenrole é zero.

Existem flutuações quânticas, superposições que surgem de diferentes configurações de uma integral de caminho do tipo fase e flutuações estatísticas de uma integral de caminho do tipo Boltzmann. Essas duas integrais de caminho têm a propriedade de que grandes mudanças em um sistema efetivamente infinito exigem uma conspiração improvável entre as flutuações. Portanto, existem regras de superseleção da mecânica estatística e da mecânica quântica.

Em uma teoria onde o vácuo é invariante sob uma simetria, a carga conservada leva a setores de superseleção no caso de a carga ser conservada. A carga elétrica é conservada em nosso universo, por isso parece um exemplo trivial à primeira vista. Mas quando um supercondutor preenche o espaço, ou equivalentemente em uma fase de Higgs, a carga elétrica ainda é globalmente conservada, mas não define mais os setores de superseleção. A ação do supercondutor pode gerar cargas em qualquer volume a um custo muito baixo. Nesse caso, os setores de superseleção do vácuo são rotulados pela direção do campo de Higgs. Como as diferentes direções de Higgs estão relacionadas por uma simetria exata, todas são exatamente equivalentes. Isso sugere uma relação profunda entre direções de quebra de simetria e cargas conservadas.

Simetria discreta

No modelo de Ising 2D , em baixas temperaturas , existem dois estados puros distintos, um com o spin médio apontando para cima e o outro com o spin médio apontando para baixo. Esta é a fase ordenada. Em altas temperaturas, existe apenas um estado puro com um spin médio de zero. Esta é a fase desordenada. Na transição de fase entre os dois, a simetria entre o spin para cima e o spin para baixo é quebrada.

Abaixo da temperatura de transição de fase, um modelo infinito pode estar na configuração mais ou menos. Se começar na fase mais positiva, nunca atingirá a fase mais negativa, embora girar todos os giros forneça a mesma energia. Ao alterar a temperatura, o sistema adquiriu uma nova regra de superseleção --- o giro médio. Existem dois setores de superseleção --- principalmente menos e principalmente mais.

Existem também outros setores de superseleção; por exemplo, estados em que a metade esquerda do plano é principalmente positiva e a metade direita do plano é negativa.

Quando uma nova regra de superseleção aparece, o sistema fez o pedido espontaneamente . Acima da temperatura crítica, o modelo de alimentação está desordenado. Ele poderia visitar todos os estados em princípio. Abaixo da transição, o sistema escolhe uma das duas possibilidades aleatoriamente e nunca muda de ideia.

Para qualquer sistema finito, a superseleção é imperfeita. Um modelo de Ising em uma rede finita irá eventualmente flutuar da maioria para mais para a maioria para menos em qualquer temperatura diferente de zero, mas leva muito tempo. A quantidade de tempo é exponencialmente pequena no tamanho do sistema medido em comprimentos de correlação , portanto, para todos os fins práticos, a inversão nunca acontece, mesmo em sistemas apenas algumas vezes maiores do que o comprimento de correlação.

Simetrias contínuas

Se um campo estatístico ou quântico tem três campos escalares de valor real , e a energia ou ação depende apenas de combinações que são simétricas sob as rotações desses componentes entre si, as contribuições com a dimensão mais baixa são ( convenção de soma ): ${\ displaystyle \ phi _ {1}, \ phi _ {2}, \ phi _ {3}}$

${\ displaystyle | \ nabla \ phi _ {i} | ^ {2} + t \ phi _ {i} ^ {2} + \ lambda (\ phi _ {i} ^ {2}) ^ {2} \, }$

e definir a ação em um contexto de campo quântico ou energia livre no contexto estatístico. Existem duas fases. Quando t é grande, o potencial tende a mover a média para zero. Para t grande e negativo, o potencial quadrático empurra para fora, mas o potencial quártico o impede de se tornar infinito. Se isso for feito em uma integral de caminho quântico, esta é uma transição de fase quântica , em uma função de partição clássica, uma transição de fase clássica . ${\ displaystyle \ phi}$${\ displaystyle \ phi}$

Portanto, à medida que t se move em direção a valores mais negativos em qualquer contexto, o campo precisa escolher alguma direção para apontar. Depois de fazer isso, não pode mudar de ideia. O sistema fez o pedido . Na fase ordenada, ainda há um pouco de simetria --- rotações em torno do eixo de quebra. O campo pode apontar em qualquer direção rotulada por todos os pontos em uma esfera unitária no espaço, que é o espaço coset do subgrupo SO (2) ininterrupto no grupo de simetria completo SO (3). ${\ displaystyle \ phi}$

Na fase desordenada, os setores de superseleção são descritos pela representação de SO (3) sob a qual uma dada configuração se transforma globalmente. Como o SO (3) é ininterrupto, diferentes representações não se misturam. Nenhuma flutuação local trará configurações SO (3) não triviais do infinito. Uma configuração local é totalmente definida por sua representação.

Há uma lacuna de massa, ou comprimento de correlação, que separa as configurações com transformações SO (3) não triviais do vácuo rotacionalmente invariável. Isso é verdade até o ponto crítico em t onde a lacuna de massa desaparece e o comprimento de correlação é infinito. A lacuna que desaparece é um sinal de que as flutuações no campo SO (3) estão prestes a se condensar.

Na região ordenada, existem configurações de campo que podem carregar carga topológica. Eles são rotulados por elementos do segundo grupo de homotopia . Cada um deles descreve uma configuração de campo diferente que a grandes distâncias da origem é uma configuração sinuosa. Embora cada configuração isolada tenha energia infinita, ela rotula setores de superseleção em que a diferença de energia entre dois estados é finita. Além disso, pares de configurações de enrolamento com carga topológica oposta podem ser produzidos copiosamente conforme a transição é abordada por baixo. ${\ displaystyle \ scriptstyle \ pi _ {2} (SO (3) / SO (2)) = \ mathbb {Z}}$

Quando o número do enrolamento é zero, de modo que o campo em todos os lugares aponta na mesma direção, há uma infinidade adicional de setores de superseleção, cada um rotulado por um valor diferente da carga SO (2) contínua.

No estado ordenado, há uma lacuna de massa para os setores de superseleção rotulados por um número inteiro diferente de zero, porque os solitons topológicos são massivos, mesmo infinitamente massivos. Mas não há lacuna de massa para todos os setores de superseleção marcados por zero porque existem bósons de Goldstone sem massa que descrevem flutuações na direção do condensado.

Se os valores do campo são identificados sob uma reflexão Z ₂ (correspondendo a inverter o sinal de todos os campos), os setores de superseleção são rotulados por um inteiro não negativo (o valor absoluto da carga topológica). ${\ displaystyle \ phi}$

Cargas O (3) só fazem sentido na fase desordenada e não fazem sentido na fase ordenada. Isso ocorre porque, quando a simetria é rompida, há um condensado que é carregado, que não é invariante no grupo de simetria. Por outro lado, a carga topológica só faz sentido na fase ordenada e não na fase desordenada, porque de alguma forma, há um "condensado topológico" na fase desordenada que torna o campo aleatório de ponto a ponto. A randomização pode ser considerada como o cruzamento de muitos limites de enrolamentos topológicos condensados.

A própria questão de quais cargas são significativas depende muito da fase. Aproximando-se da transição de fase do lado desordenado, a massa das partículas de carga se aproxima de zero. Aproximando-se do lado ordenado, a lacuna de massa associada com as flutuações dos solitons topológicos se aproxima de zero.

Exemplos em física de partículas

Mecanismo de Higgs

No modelo padrão da física de partículas, no setor eletrofraco, o modelo de baixa energia é SU (2) e U (1) dividido em U (1) por um dupleto de Higgs. A única regra de superseleção que determina a configuração é a carga elétrica total. Se houver monopólos, a carga monopolo deve ser incluída.

Se o parâmetro t de Higgs for variado de modo que não adquira um valor de expectativa de vácuo, o universo agora é simétrico sob um grupo de medidores SU (2) e U (1) ininterrupto. Se o SU (2) tem acoplamentos infinitesimalmente fracos, de modo que só confina em distâncias enormes, então a representação do grupo SU (2) e a carga U (1) são regras de superseleção. Mas se o SU (2) tem um acoplamento diferente de zero, os setores de superseleção são separados por uma massa infinita porque a massa de qualquer estado em uma representação não trivial é infinita.

Ao alterar a temperatura, as flutuações de Higgs podem zerar o valor esperado em uma temperatura finita. Acima dessa temperatura, os números quânticos SU (2) e U (1) descrevem os setores de superseleção. Abaixo da transição de fase, apenas a carga elétrica define o setor de superseleção.

Condensado de quark quiral

Considere a simetria de sabor global de QCD no limite quiral onde as massas dos quarks são zero. Este não é exatamente o universo em que vivemos, onde os quarks up e down têm uma massa minúscula, mas diferente de zero, mas é uma aproximação muito boa, na medida em que o isospin é conservado.

Abaixo de uma determinada temperatura que é a temperatura de restauração de simetria, a fase é ordenada. O condensado quiral se forma e píons de pequena massa são produzidos. As cargas SU (N _f ), Isospin e Hypercharge e SU (3), fazem sentido. Acima da temperatura QCD encontra-se uma fase desordenada onde as cargas SU (N _f ) × SU (N _f ) e SU (3) de cor fazem sentido.

É uma questão em aberto se a temperatura de desconfinamento de QCD é também a temperatura na qual o condensado quiral derrete.

Notas

Referências

• Khoruzhiĭ, Sergeĭ Sergeevich; Horuzhy, SS (1990), Introdução à Teoria Algébrica de Campos Quânticos , Springer, ISBN   978-90-277-2722-0 .
• Moretti, Valter (2018), Teoria Espectral e Mecânica Quântica: Fundamentos Matemáticos das Teorias Quânticas, Simetrias e Introdução à Formulação Algébrica. , Springer, ISBN   978-3-319-70705-1 .
• Moretti, Valter (2019), Fundamental Mathematical Structures of Quantum Theory: Spectral Theory, Foundational Issues, Symmetry, Algebraic Formulation. , Springer, ISBN   978-3-030-18345-5 .
• https://arxiv.org/abs/math-ph/0602036