Grupo de homotopia - Homotopy group
Em matemática , grupos de homotopia são usados em topologia algébrica para classificar espaços topológicos . O primeiro e mais simples grupo de homotopia é o grupo fundamental , que registra informações sobre loops em um espaço . Intuitivamente, os grupos de homotopia registram informações sobre a forma básica, ou orifícios , de um espaço topológico.
Para definir o n -ésimo grupo de homotopia, os mapas que preservam o ponto base de uma esfera n- dimensional (com ponto base ) em um determinado espaço (com ponto base) são coletados em classes de equivalência , chamadas classes de homotopia . Dois mapeamentos são homotópicos se um puder ser continuamente deformado no outro. Essas classes de homotopia formam um grupo , denominado n -ésimo grupo de homotopia , do espaço X dado com ponto de base. Espaços topológicos com grupos de homotopia diferentes nunca são equivalentes ( homeomórficos ), mas espaços topológicos que não são homeomórficos podem ter os mesmos grupos de homotopia.
A noção de homotopia de caminhos foi introduzida por Camille Jordan .
Introdução
Na matemática moderna é comum para estudar uma categoria por associar a cada objeto desta categoria um objeto simples que ainda mantém informação suficiente sobre o objeto de interesse. Os grupos de homotopia são uma forma de associar grupos a espaços topológicos.
Esse vínculo entre topologia e grupos permite que os matemáticos apliquem insights da teoria dos grupos à topologia . Por exemplo, se dois objetos topológicos têm grupos de homotopia diferentes, eles não podem ter a mesma estrutura topológica - um fato que pode ser difícil de provar usando apenas meios topológicos. Por exemplo, o toro é diferente da esfera : o toro tem um "buraco"; a esfera não. No entanto, uma vez que a continuidade (a noção básica de topologia) lida apenas com a estrutura local, pode ser difícil definir formalmente a diferença global óbvia. Os grupos de homotopia, entretanto, carregam informações sobre a estrutura global.
Quanto ao exemplo: o primeiro grupo de homotopia do toro é
Portanto, o toro não é homeomórfico à esfera.
Definição
Na n -sfera , escolhemos um ponto base a . Para um espaço X com ponto base b , definimos ser o conjunto de classes de homotopia dos mapas
Para as classes de homotopia formar um
grupo . Para definir a operação do grupo, lembre-se de que no grupo fundamental , o produto de dois loops é definido pela configuraçãoA ideia de composição no grupo fundamental é percorrer o primeiro caminho e o segundo sucessivamente, ou, de forma equivalente, colocar os dois domínios juntos. O conceito de composição que queremos para o n- ésimo grupo de homotopia é o mesmo, exceto que agora os domínios que colamos são cubos e devemos colá-los ao longo de uma face. Portanto, definimos a soma dos mapas pela fórmula
Para a definição correspondente em termos de esferas, defina a soma dos mapas a serem compostos com
h , onde é o mapa de até a soma de cunha de duas n -esferas que colapsam o equador eh é o mapa da soma de cunha de dois n -esferas para X que é definido como f na primeira esfera eg na segunda.Se então for
abeliano . Além disso, semelhantes ao grupo fundamental, pois um espaço conectado-path quaisquer duas opções de ascensão basepoint dar isomorphicÉ tentador tentar simplificar a definição de grupos de homotopia omitindo os pontos de base, mas isso geralmente não funciona para espaços que não são simplesmente conectados , mesmo para espaços conectados por caminhos. O conjunto de classes de homotopia de mapas de uma esfera para um espaço conectado por caminho não é o grupo de homotopia, mas é essencialmente o conjunto de órbitas do grupo fundamental no grupo de homotopia, e em geral não tem estrutura de grupo natural.
Uma saída para essas dificuldades foi encontrada definindo grupóides de maior homotopia de espaços filtrados e de n- cubos de espaços. Estes estão relacionados aos grupos de homotopia relativa e aos grupos de homotopia n -ádica, respectivamente. Um teorema de van Kampen de homotopia superior permite então derivar algumas informações novas sobre grupos de homotopia e até mesmo sobre tipos de homotopia. Para obter mais informações e referências, consulte "Teoria do grupo dimensional superior" e as referências abaixo.
Sequência longa e exata de uma fibração
Seja uma fibração Serre com fibra que preserva o ponto de base, isto é, um mapa que possui a propriedade de levantamento de homotopia em relação aos complexos CW . Suponha que B esteja conectado ao caminho. Então, há uma longa sequência exata de grupos de homotopia
Aqui, os mapas que envolvem não são homomorfismos de grupo porque não são grupos, mas são exatos no sentido de que a imagem é igual ao kernel .
Exemplo: a fibração de Hopf . Seja B igual e E igual Seja p a fibração de Hopf , que tem fibra da longa seqüência exata
No caso de um espaço tampa, quando a fibra é discreto, temos que é isomorfa a para que as incorporações injectively em para todos positivos e que o subgrupo de que corresponde à incorporação de tem cosets em bijeç~ao com os elementos da fibra.
Quando a fibração é a fibra de mapeamento , ou duplamente, a co-calibração é o cone de mapeamento , a sequência exata (ou dupla, coexacta) resultante é dada pela sequência de Puppe .
Espaços e esferas homogêneas
Existem muitas realizações de esferas como espaços homogêneos , que fornecem boas ferramentas para calcular grupos de homotopia de grupos de Lie e a classificação de feixes principais em espaços feitos de esferas.
Grupo ortogonal especial
Existe uma fibração
dando a sequência longa e exata
que calcula os grupos de homotopia de ordem inferior de para, uma vez que está conectado. Em particular, há uma fibração
cujos grupos de homotopia inferior podem ser computados explicitamente. Uma vez que existe a fibração
temos para usar isso, e o fato que pode ser calculado usando o sistema Postnikov , temos a longa seqüência exata
Uma vez que temos também, a linha do meio dá uma vez que o mapa de conexão é trivial. Além disso, podemos saber que tem duas torções.
Aplicação a feixes de esferas
Milnor usou o fato para classificar feixes de 3 esferas em particular, ele foi capaz de encontrar esferas exóticas que são variedades lisas chamadas esferas de Milnor apenas homeomórficas para não difeomórficas . Observe que qualquer feixe de esferas pode ser construído a partir de um - Feixe de vetores , que possui um grupo de estrutura, pois pode ter a estrutura de uma variedade Riemanniana orientada .
Espaço projetivo complexo
Existe uma fibração
onde está a esfera unitária em Esta sequência pode ser usada para mostrar a conexão simples de para todos
Métodos de cálculo
O cálculo de grupos de homotopia é em geral muito mais difícil do que alguns dos outros invariantes de homotopia aprendidos na topologia algébrica. Ao contrário do teorema de Seifert-van Kampen para o grupo fundamental e do teorema de excisão para homologia e cohomologia singulares , não há uma maneira simples conhecida de calcular os grupos de homotopia de um espaço dividindo-o em espaços menores. No entanto, os métodos desenvolvidos na década de 1980 envolvendo um teorema do tipo van Kampen para grupóides de homotopia superiores permitiram novos cálculos sobre os tipos de homotopia e, assim, sobre os grupos de homotopia. Veja para um resultado de amostra o artigo de 2010 de Ellis e Mikhailov.
Para alguns espaços, como tori , todos os grupos de homotopia mais alta (ou seja, o segundo e os grupos de homotopia mais alta) são triviais . Estes são os chamados espaços asféricos . No entanto, apesar de intensas pesquisas no cálculo dos grupos de homotopia de esferas, mesmo em duas dimensões não se conhece uma lista completa. Para calcular até mesmo o quarto grupo de homotopia de um, são necessárias técnicas muito mais avançadas do que as definições podem sugerir. Em particular, a sequência espectral de Serre foi construída exatamente para esse propósito.
Certos grupos de homotopia de espaços n- conectados podem ser calculados por comparação com grupos de homologia por meio do teorema de Hurewicz .
Uma lista de métodos para calcular grupos de homotopia
- A longa seqüência exata de grupos de homotopia de uma fibração.
- Teorema de Hurewicz , que possui várias versões.
- Teorema de Blakers-Massey , também conhecido como excisão para grupos de homotopia.
- Teorema da suspensão de Freudenthal , um corolário da excisão para grupos de homotopia.
Grupos de homotopia relativa
Há também uma generalização útil de grupos de homotopia, chamados grupos de homotopia relativa para um par onde A é um subespaço de
A construção é motivada pela observação de que para uma inclusão existe um mapa induzido em cada grupo de homotopia que, em geral, não é uma injeção. De fato, os elementos do kernel são conhecidos considerando um representante e levando uma homotopia baseada ao mapa constante ou em outras palavras, enquanto a restrição a qualquer outro componente de contorno de é trivial. Portanto, temos a seguinte construção:
Os elementos de tal grupo um são classes de homotopia de mapas baseados que transportam o limite para um . Dois mapas são chamados homotópicas relação a um se eles estão homotópicas por um-basepoint preservar homotopy tal que, para cada p em e t no elemento está em A . Observe que os grupos de homotopia comuns são recuperados para o caso especial em que é o singleton que contém o ponto base.
Esses grupos são abelianos para, mas para formar o grupo superior de um módulo cruzado com o grupo inferior
Há também uma longa sequência exata de grupos de homotopia relativa que podem ser obtidos por meio da sequência de Puppe :
Noções relacionadas
Os grupos de homotopia são fundamentais para a teoria da homotopia , que por sua vez estimulou o desenvolvimento de categorias de modelos . É possível definir grupos de homotopia abstratos para conjuntos simpliciais .
Os grupos de homologia são semelhantes aos grupos de homotopia, pois podem representar "buracos" em um espaço topológico. No entanto, os grupos de homotopia geralmente não são comutativos e, muitas vezes, são muito complexos e difíceis de calcular. Em contraste, os grupos de homologia são comutativos (assim como os grupos de homotopia mais elevados). Portanto, às vezes é dito que "a homologia é uma alternativa comutativa à homotopia". Dado um espaço topológico, seu n -ésimo grupo de homotopia é geralmente denotado por e seu n- ésimo grupo de homologia é geralmente denotado por
Veja também
- Fibration
- Fibração de Hopf
- Hopf invariante
- Teoria do nó
- Aula de homotopia
- Grupos de homotopia de esferas
- Invariante topológico
- Grupo de homotopia com coeficientes
- Conjunto pontiagudo
Notas
Referências
- Ronald Brown , `Groupoids e objetos cruzados em topologia algébrica ', Homology, Homotopy and Applications , 1 (1999) 1-78.
- Ronald Brown , Philip J. Higgins, Rafael Sivera , topologia algébrica nonabeliana: espaços filtrados, complexos cruzados, grupóides homotópicos cúbicos , EMS Tracts in Mathematics vol. 15, 703 páginas, European Math. Society, Zürich, 2011. doi : 10.4171 / 083 MR 2841564
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