Os Cinqüenta e Nove Icosahedra -The Fifty-Nine Icosahedra

O diagrama de estrelação do icosaedro com o triângulo central marcado para o icosaedro original

The Fifty-Nine Icosahedra é um livro escrito e ilustrado por HSM Coxeter , P. Du Val , HT Flather e JF Petrie. Ele enumera certas estelações do icosaedro convexo regular ou platônico, de acordo com um conjunto de regras apresentadas por JCP Miller .

Publicado pela primeira vez pela Universidade de Toronto em 1938, uma segunda edição da Springer-Verlag foi reimpressa em 1982. A terceira edição de Tarquin em 1999 incluiu novo material de referência e fotografias de K. e D. Crennell.

Contribuições dos autores

Regras de Miller

Embora Miller não tenha contribuído diretamente para o livro, ele era um colega próximo de Coxeter e Petrie. Sua contribuição está imortalizada em seu conjunto de regras para definir quais formas de estrelação devem ser consideradas "apropriadamente significativas e distintas":

(i) As faces devem estar em vinte planos, a saber, os planos delimitadores do icosaedro regular.

(ii) Todas as partes que compõem as faces devem ser as mesmas em cada plano, embora possam estar bastante desconectadas.

(iii) As partes incluídas em qualquer plano devem ter simetria trigonal, sem ou com reflexão. Isso garante simetria icosaédrica para todo o sólido.

(iv) As peças incluídas em qualquer plano devem ser todas "acessíveis" no sólido concluído (ou seja, devem estar no "lado de fora". Em certos casos, devemos exigir modelos de tamanho enorme para ver todo o lado de fora. modelo de tamanho comum, algumas partes do "lado de fora" só poderiam ser exploradas por um inseto rastejante).

(v) Excluímos da consideração casos em que as partes podem ser divididas em dois conjuntos, cada um dando um sólido com tanta simetria quanto a figura inteira. Mas permitimos a combinação de um par enantiomorfo sem nenhuma parte comum (o que na verdade ocorre em apenas um caso).

As regras (i) a (iii) são requisitos de simetria para os planos de face. A regra (iv) exclui buracos enterrados, para garantir que duas estrelações não pareçam aparentemente idênticas. A regra (v) evita qualquer combinação desconectada de estrelações mais simples.

Coxeter

Coxeter foi a principal força motriz do trabalho. Ele realizou a análise original com base nas regras de Miller, adotando uma série de técnicas, como a combinatória e a teoria dos grafos abstratos , cujo uso em um contexto geométrico era então novo.

Ele observou que o diagrama de estrelação compreendia muitos segmentos de linha. Ele então desenvolveu procedimentos para manipular combinações das regiões planas adjacentes, para enumerar formalmente as combinações permitidas pelas regras de Miller.

Seu gráfico, reproduzido aqui, mostra a conectividade das várias faces identificadas no diagrama de estrelação (veja abaixo). Os símbolos gregos representam conjuntos de alternativas possíveis:

λ pode ser 3 ou 4

μ pode ser 7 ou 8

ν pode ser 11 ou 12

Du Val

Du Val desenvolveu uma notação simbólica para identificar conjuntos de células congruentes, com base na observação de que elas se encontram em "conchas" ao redor do icosaedro original. Com base nisso, ele testou todas as combinações possíveis contra as regras de Miller, confirmando o resultado da abordagem mais analítica de Coxeter.

Flather

A contribuição de Flather foi indireta: ele fez modelos de cartas de todas as 59. Quando conheceu Coxeter, ele já havia feito muitas estrelações, incluindo alguns exemplos "não Miller". Ele completou a série de cinquenta e nove, que estão preservadas na biblioteca de matemática da Universidade de Cambridge, Inglaterra. A biblioteca também contém alguns modelos que não são de Miller, mas não se sabe se foram feitos por Flather ou por alunos posteriores de Miller.

Petrie

John Flinders Petrie foi amigo de Coxeter por toda a vida e tinha uma capacidade notável de visualizar a geometria quadridimensional. Ele e Coxeter trabalharam juntos em muitos problemas matemáticos. Sua contribuição direta para os 59 icosaedra foi o conjunto requintado de desenhos tridimensionais que fornecem grande parte do fascínio da obra publicada.

The Crennells

Para a terceira edição, Kate e David Crennell redefiniram o texto e redesenharam os diagramas. Eles também adicionaram uma seção de referência contendo tabelas, diagramas e fotografias de alguns dos modelos de Cambridge (que naquela época eram todos considerados de Flather). As correções para esta edição foram publicadas online.

Lista dos cinquenta e nove icosaedra

Diagrama de Stellation com conjuntos de faces numeradas

Diagrama de células com notação Du Val para células

Antes de Coxeter, apenas Brückner e Wheeler registraram quaisquer conjuntos significativos de estrelações, embora alguns, como o grande icosaedro, fossem conhecidos há mais tempo. Desde a publicação de The 59 , Wenninger publicou instruções sobre como fazer modelos de alguns; o esquema de numeração usado em seu livro tornou-se amplamente referenciado, embora ele tenha registrado apenas algumas estrelações.

Notas na lista

Os números do índice são de Crennells, a menos que seja indicado o contrário:

Crennell

• Na numeração do índice adicionada à Terceira Edição pelos Crennells, as primeiras 32 formas (índices 1-32) são modelos reflexivos e as últimas 27 (índices 33-59) são quirais, com apenas as formas destras listadas. Isso segue a ordem em que as estrelações são descritas no livro.

Células

• Na notação de Du Val, cada casca é identificada em negrito, trabalhando externamente, como a , b , c , ..., h com a sendo o icosaedro original. Algumas conchas subdividem-se em dois tipos de células, por exemplo e compreende e ₁ e e ₂ . O conjunto f ₁ subdivide-se ainda nas formas para destros e canhotos, respectivamente f ₁ (tipo simples) ef ₁ (itálico). Quando uma estrelação tem todas as células presentes dentro de uma camada externa, a camada externa é maiúscula e a interna omitida, por exemplo, a + b + c + e ₁ é escrito como Ce ₁ .

Rostos

• Todas as estrelações podem ser especificadas por um diagrama de estrelação . No diagrama mostrado aqui, as cores numeradas indicam as regiões do diagrama de estrelação que devem ocorrer juntas como um conjunto, se a simetria icosaédrica completa for mantida. O diagrama tem 13 desses conjuntos. Alguns deles se subdividem em pares quirais (não mostrados), permitindo estrelações com simetria rotacional, mas não reflexiva. Na tabela, as faces que são vistas por baixo são indicadas por um apóstrofo, por exemplo, 3 ' .

Wenninger

• Os números de índice e os nomes numerados foram atribuídos arbitrariamente pelo editor de Wenninger de acordo com sua ocorrência em seu livro Modelos de poliedros e não têm relação com qualquer sequência matemática. Apenas alguns de seus modelos eram de icosaedra. Seus nomes são dados em forma abreviada, com "... do icosaedro" interrompido.

Wheeler

• Wheeler encontrou suas figuras, ou "formas" do icosaedro, selecionando segmentos de linha no diagrama de estrelação. Ele cuidadosamente distinguiu isso do processo clássico de estrelação de Kepler . Coxeter et al. ignorou essa distinção e se referiu a todos eles como estrelações.

Brückner

• Max Brückner fez e fotografou modelos de muitos poliedros, apenas alguns dos quais eram icosaedros. Taf. é uma abreviatura de Tafel , alemão para placa .

Observações

• O número 8 às vezes é chamado de equidnaedro, em homenagem a uma semelhança imaginária com o tamanduá espinhoso ou equidna . Este uso é independente da descrição de Kepler de seu poliedro estelar regular como equidinas .

Mesa do cinquenta e nove icosaedra

Algumas imagens ilustram a imagem espelhada do icosaedro com a célula f ₁ em vez da célula f ₁ .

Crennell	Células	Rostos	Wenninger	Wheeler	Brückner	Observações	Diagrama de rosto	3D
1	UMA	0	04 icosaedro	1		O icosaedro platônico
2	B	1	26 Triakis icosaedro	2	Taf. VIII, Fig. 2	Primeiro stellation do icosaedro, pequena icosaedro triambic , ou Triakisicosahedron
3	C	2	23 Composto de cinco octaedros	3	Taf. IX, Fig. 6	Composto regular de cinco octaedros
4	D	3 4	99	4	Taf. IX, Fig.17
5	E	5 6 7	99	99
6	F	8 9 10	27 segundo estrelamento	19		Segunda estrelação de icosaedro
7	G	11 12	41 Grande icosaedro	11	Taf. XI, Fig. 24	Grande icosaedro
8	H	13	42 Estelação final	12	Taf. XI, Fig. 14	Estrelação final do icosaedro ou equidnaedro
9	e 1	3 '5	37 décima segunda estrelação	99		Décima segunda estrelação de icosaedro
10	f 1	5 '6' 9 10	99	99
11	g 1	10 '12	29 Quarta estrelação	21		Quarta estrelação de icosaedro
12	e 1 f 1	3 '6' 9 10	99	99
13	e 1 f 1 g 1	3 '6' 9 12	99	20
14	f 1 g 1	5 '6' 9 12	99	99
15	e 2	4 '6 7	99	99
16	f 2	7 '8	99	22
17	g 2	8 '9'11	99	99
18	e 2 f 2	4 '6 8	99	99
19	e 2 f 2 g 2	4 '6 9' 11	99	99
20	f 2 g 2	7 '9' 11	30 quinta estrelação	99		Quinta estrelação de icosaedro
21	De 1	4 5	32 Sétima estrelação	10		Sétima estrelação de icosaedro
22	Ef 1	7 9 10	25 Composto de dez tetraedros	8	Taf. IX, Fig. 3	Composto regular de dez tetraedros
23	Fg 1	8 9 12	31 sexta estrelação	17	Taf. X, Fig. 3	Sexta estrelação de icosaedro
24	De 1 f 1	4 6 '9 10	99	99
25	De 1 f 1 g 1	4 6 '9 12	99	99
26	Ef 1 g 1	7 9 12	28 Terceira estrelação	9	Taf. VIII, Fig. 26	Dodecaedro escavado
27	De 2	3 6 7	99	5
28	Ef 2	5 6 8	99	18	Taf.IX, Fig. 20
29	Fg 2	10 11	33 Oitava estrelação	14		Oitava estrelação de icosaedro
30	De 2 f 2	3 6 8	34 Nona estelação	13		Icosaedro triambico medial ou grande icosaedro triambico
31	De 2 f 2 g 2	3 6 9 '11	99	99
32	Ef 2 g 2	5 6 9 '11	99	99
33	f 1	5 '6 ' 9 10	35 décima estrelação	99		Décima estrelação de icosaedro
34	e 1 f 1	3 ' 5 6 ' 9 10	36 décima primeira estrelação	99		Décima primeira estrelação de icosaedro
35	De 1 f 1	4 5 6 ' 9 10	99	99
36	f 1 g 1	5' 6 ' 9 10 ' 12	99	99
37	e 1 f 1 g 1	3 ' 5 6 ' 9 10 ' 12	39 décima quarta estrelação	99		Décima quarta estrelação de icosaedro
38	De 1 f 1 g 1	4 5 6 ' 9 10 ' 12	99	99
39	f 1 g 2	5 '6 ' 8 ' 9 ' 10 11	99	99
40	e 1 f 1 g 2	3 ' 5 6 ' 8 ' 9 ' 10 11	99	99
41	De 1 f 1 g 2	4 5 6 ' 8 ' 9 ' 10 11	99	99
42	f 1 f 2 g 2	5 '6 ' 7 ' 9 ' 10 11	99	99
43	e 1 f 1 f 2 g 2	3 ' 5 6 ' 7 ' 9 ' 10 11	99	99
44	De 1 f 1 f 2 g 2	4 5 6 ' 7 ' 9 ' 10 11	99	99
45	e 2 f 1	4 ' 5 ' 6 7 9 10	40 décima quinta estrelação	99		Décima quinta estrelação de icosaedro
46	De 2 f 1	3 5 ' 6 7 9 10	99	99
47	E f 1	5 6 7 9 10	24 Composto de cinco tetraedros	7 (6: canhoto)	Taf. IX, Fig. 11	Composto regular de cinco tetraedros (destro)
48	e 2 f 1 g 1	4 ' 5 ' 6 7 9 10 ' 12	99	99
49	De 2 f 1 g 1	3 5 ' 6 7 9 10 ' 12	99	99
50	E f 1 g 1	5 6 7 9 10 ' 12	99	99
51	e 2 f 1 f 2	4 ' 5 ' 6 8 9 10	38 décima terceira estrelação	99		Décima terceira estrelação de icosaedro
52	De 2 f 1 f 2	3 5 ' 6 8 9 10	99	99
53	E f 1 f 2	5 6 8 9 10	99	15 (16: canhoto)
54	e 2 f 1 f 2 g 1	4 ' 5 ' 6 8 9 10 ' 12	99	99
55	De 2 f 1 f 2 g 1	3 5 ' 6 8 9 10 ' 12	99	99
56	E f 1 f 2 g 1	5 6 8 9 10 ' 12	99	99
57	e 2 f 1 f 2 g 2	4 ' 5 ' 6 9 ' 10 11	99	99
58	De 2 f 1 f 2 g 2	3 5 ' 6 9 ' 10 11	99	99
59	E f 1 f 2 g 2	5 6 9 ' 10 11	99	99

Veja também

• Lista de modelos de poliedro Wenninger - livro de Wenninger modelos poliedro incluiu 21 destes Estrelamento.
• Sólidos com simetria icosaédrica

Notas

Referências

• Brückner, Max (1900). Vielecke und Vielflache: Theorie und Geschichte . Leipzig: BG Treubner. ISBN  978-1-4181-6590-1 . (em alemão)

WorldCat em inglês: Polígonos e poliedros: teoria e história . Fotografias dos modelos: Tafel VIII (Prancha VIII) , etc. Alta res. varreduras.

• HSM Coxeter , Patrick du Val , HT Flather, JF Petrie (1938) The Fifty-nine Icosahedra , University of Toronto Studies , matemática série 6: 1-26.
  • Terceira edição (1999) Tarquin ISBN  978-1-899618-32-3 MR 676126
• Wenninger, Magnus J. (1983) Polyhedron models ; Cambridge University Press , edição Paperback (2003). ISBN  978-0-521-09859-5 .
• AH Wheeler (1924) "Certas formas do icosaedro e um método para derivar e designar poliedros superiores", Proceedings of the International Congress of Mathematicians , Toronto, Vol. 1, págs. 701–708.

links externos

• Estelações de exemplo do icosaedro
• As 59 estelações do icosaedro regular
• Weisstein, Eric W. "Fifty nine icosaedron stellations" . MathWorld .
  • Weisstein, Eric W. "Echidnahedron" . MathWorld .
• Estelações do icosaedro
• George Hart, 59 Stellations of the Icosahedron - arquivos VRML 3D.