Estrelação final do icosaedro - Final stellation of the icosahedron

Estrelação final do icosaedro
Duas projeções ortográficas simétricas
Grupo de simetria	icosaédrica ( I h )
Modelo	Icosaedro estrelado , 8º de 59
Símbolos	Du Val H Wenninger : W 42
Elementos (como um poliedro estrela)	F = 20, E = 90 V = 60 ( χ = −10)
Elementos (como um poliedro simples)	F = 180, E = 270, V = 92 ( χ = 2)
Propriedades (como um poliedro estrela)	Vertex-transitivo , face-transitivo
Diagrama de Stellation Stellation core Casco convexo Icosaedro icosaedro truncado

Em geometria , a estrelação completa ou final do icosaedro é a estrelação mais externa do icosaedro e é "completa" e "final" porque inclui todas as células no diagrama de estrelação do icosaedro . Ou seja, cada três planos de face que se cruzam do núcleo icosaédrico se cruzam em um vértice desse poliedro ou dentro dele.

Este poliedro é a décima sétima estrelação do icosaedro e é dado como índice do modelo de Wenninger 42 .

Como figura geométrica, possui duas interpretações, descritas a seguir:

• Como um poliedro de estrela irregular (auto-intersecção) com 20 faces eneagrama de auto-intersecção idênticas , 90 arestas, 60 vértices.
• Como um poliedro simples com 180 faces triangulares (60 isósceles, 120 escalenos), 270 arestas e 92 vértices. Esta interpretação é útil para a construção de modelos de poliedros .

Johannes Kepler pesquisou estelações que criam poliedros estrela regulares (os poliedros Kepler-Poinsot ) em 1619, mas o icosaedro completo, com faces irregulares, foi estudado pela primeira vez em 1900 por Max Brückner .

História

Modelo de Brückner (Taf. XI, Fig. 14, 1900)

A equidna

• 1619: Em Harmonices Mundi , Johannes Kepler aplicou pela primeira vez o processo de estrelamento, reconhecendo o pequeno dodecaedro estrelado e o grande dodecaedro estrelado como poliedros regulares.
• 1809: Louis Poinsot redescobriu os poliedros de Kepler e mais dois, o grande icosaedro e o grande dodecaedro como poliedros estelares regulares, agora chamados de poliedros de Kepler-Poinsot .
• 1812: Augustin-Louis Cauchy fez uma nova enumeração de poliedros estelares, provando que existem apenas 4 poliedros estelares regulares.
• 1900: Max Brückner estendeu a teoria das estrelações além das formas regulares e identificou dez estrelações do icosaedro, incluindo a estrelação completa .
• 1924: AH Wheeler em 1924 publicou uma lista de 20 formas de estrelamento (22 incluindo cópias refletivas), incluindo também o estrelamento completo .
• 1938: Em seu livro de 1938, The Fifty Nine Icosahedra , HSM Coxeter , P. Du Val , HT Flather e JF Petrie declararam um conjunto de regras de estrelação para o icosaedro regular e deram uma enumeração sistemática das 59 estrelações que estão em conformidade com essas regras . A estrelação completa é referenciada como a oitava no livro.
• 1974: No livro de Wenninger de 1974 Polyhedron Models , a estrelação final do icosaedro é incluída como o 17º modelo de icosaedra estrelada com o número de índice W ₄₂ .
• 1995: Andrew Hume nomeou-o em seu Netlib banco de dados poliédrico como o echidnahedron (a equidna , ou tamanduá espinhoso é um pequeno mamífero que é coberto com grossos cabelos e espinhas e que se enrola em uma bola para se proteger).

Interpretações

Diagrama de estrelação do icosaedro com células numeradas. O icosaedro completo é formado por todas as células da estrelação, mas apenas as regiões mais externas, marcadas com "13" no diagrama, são visíveis.

Modelo 3D da estrelação final do icosaedro

Como uma estrelinha

A estrelação de um poliedro estende as faces de um poliedro em planos infinitos e gera um novo poliedro que é delimitado por esses planos como faces e as interseções desses planos como arestas. The Fifty Nine Icosahedra enumera as estrelações do icosaedro regular , de acordo com um conjunto de regras proposto por JCP Miller , incluindo a estrelação completa . O símbolo Du Val da estrelação completa é H , porque inclui todas as células no diagrama de estrelação até e incluindo a camada "h" mais externa.

Como um poliedro simples

Um modelo poliédrico pode ser construído por 12 conjuntos de faces, cada uma dobrada em um grupo de cinco pirâmides.

Como um poliedro de superfície simples e visível, a forma externa da estrelação final é composta por 180 faces triangulares, que são as regiões triangulares mais externas no diagrama de estrelação. Estes se unem ao longo de 270 arestas, que por sua vez se encontram em 92 vértices, com uma característica de Euler de 2.

Os 92 vértices estão nas superfícies de três esferas concêntricas. O grupo mais interno de 20 vértices forma os vértices de um dodecaedro regular; a próxima camada de 12 forma os vértices de um icosaedro regular; e a camada externa de 60 forma os vértices de um icosaedro truncado não uniforme. Os raios dessas esferas estão na proporção

${\ displaystyle {\ sqrt {{\ frac {3} {2}} \ left (3 + {\ sqrt {5}} \ right)}} \,: \, {\ sqrt {{\ frac {1} { 2}} \ left (25 + 11 {\ sqrt {5}} \ right)}} \,: \, {\ sqrt {{\ frac {1} {2}} \ left (97 + 43 {\ sqrt { 5}} \ right)}} \ ,.}$

Cascos convexos de cada esfera de vértices

Interno	Meio	Exterior	Todos três
20 vértices	12 vértices	60 vértices	92 vértices
Dodecaedro	Icosaedro	Icosaedro truncado não uniforme	Icosaedro completo

Quando considerado como um objeto sólido tridimensional com comprimentos de borda a , φ a , φ ² a e φ ² a √ 2 (onde φ é a razão áurea ), o icosaedro completo tem área de superfície

${\ displaystyle S = {\ frac {1} {20}} (13211 + {\ sqrt {174306161}}) a ^ {2} \ ,,}$

e volume

${\ displaystyle V = (210 + 90 {\ sqrt {5}}) a ^ {3} \ ,.}$

Como um poliedro estrela

Vinte 9 ⁄ 4 faces poligonais (uma face é desenhada em amarelo com 9 vértices marcados).

2-isogonal 9 ⁄ 4 faces

A estrelação completa também pode ser vista como um poliedro em estrela que se autointercepta, tendo 20 faces correspondentes às 20 faces do icosaedro subjacente. Cada face é um polígono irregular de 9/4 estrelas , ou eneagrama . Uma vez que três faces se encontram em cada vértice, tem 20 × 9/3 = 60 vértices (estes são a camada mais externa dos vértices visíveis e formam as pontas dos "espinhos") e 20 × 9/2 = 90 arestas (cada aresta do poliedro estrela inclui e conecta duas das 180 bordas visíveis).

Quando considerada como um icosaedro estrela, a estrelação completa é um poliedro nobre , porque é tanto isohedral (face-transitiva) quanto isogonal (vértice-transitiva).

Veja também

• Poliedro Kepler-Poinsot
• Lista de modelos de poliedro de Wenninger

Notas

Referências

• Brückner, Max (1900). Vielecke und Vielflache: Theorie und Geschichte . Leipzig: BG Treubner. ISBN  978-1-4181-6590-1 . (em alemão) WorldCat em inglês: Polygons and Polyhedra: Theory and History . Fotografias dos modelos: Tafel VIII (Prancha VIII) , etc. Alta res. varreduras.
• AH Wheeler, Certas formas do icosaedro e um método para derivar e designar poliedros superiores , Proc. Internat. Matemática. Congress, Toronto, 1924, Vol. 1, pp 701-708
• HSM Coxeter , Regular Polytopes , (3ª edição, 1973), edição Dover, ISBN  0-486-61480-8 , 3,6 6,2 Stellating the Platonic sólidos , pp. 96-104
• Coxeter, Harold Scott MacDonald ; Du Val, P .; Flather, HT; Petrie, JF (1999), The 59 icosahedra (3ª ed.), Tarquin, ISBN 978-1-899618-32-3, MR  0676126 (1ª Edn University of Toronto (1938))
• Wenninger, Magnus J. , Polyhedron models ; Cambridge University Press, 1st Edn (1983), Ppbk (2003). ISBN  978-0-521-09859-5 . (Modelo 42, p 65, Estrelação final do icosaedro )
• Cromwell, Peter R. (1997). Poliedros . Cambridge University Press. ISBN 0-521-66405-5.
• Jenkins, Gerald e Magdalen Bear. A Estelação Final do Icosaedro: Um Modelo Matemático Avançado para Recortar e Colar . Norfolk, England: Tarquin Publications, 1985. ISBN  978-0-906212-48-6 .

links externos

• Com instruções para construir um modelo do equidnaedro ( .doc ) de Ralph Jones
• Para estrelar o icosaedro e lapidar o dodecaedro por Guy Inchbald
• Weisstein, Eric W. "Fifty nine icosaedron stellations" . MathWorld .
  • Weisstein, Eric W. "Echidnahedron" . MathWorld .
• Estelações do icosaedro
• 59 Estelações do Icosaedro
• Modelo VRML : http://www.georgehart.com/virtual-polyhedra/vrml/echidnahedron.wrl
• Netlib : banco de dados poliedro, modelo 141

Estelações notáveis do icosaedro
Regular	Duplos uniformes			Compostos regulares			Estrela regular	Outras
(Convexo) icosaedro	Pequeno icosaedro triâmbico	Icosaedro triambico medial	Grande icosaedro triâmbico	Composto de cinco octaedros	Composto de cinco tetraedros	Composto de dez tetraedros	Grande icosaedro	Dodecaedro escavado	Stellation final
O processo de estrelação no icosaedro cria vários poliedros e compostos relacionados com simetria icosaédrica .