Torção de uma curva - Torsion of a curve

Na geometria diferencial elementar de curvas em três dimensões , a torção de uma curva mede o quão bruscamente ela está torcendo para fora do plano de curvatura. Em conjunto, a curvatura e a torção de uma curva espacial são análogas à curvatura de uma curva plana. Por exemplo, eles são coeficientes no sistema de equações diferenciais para o referencial de Frenet dado pelas fórmulas de Frenet – Serret .

Definição

Animação da torção e rotação correspondente do vetor binormal.

Deixe $r$ ser uma curva espaço parametrizada por arco comprimento $s$ e com o vector unitário da tangente $T$ . Se a curvatura $κ$ de $r$ em um certo ponto não for zero, então o vetor normal principal e o vetor binormal naquele ponto são os vetores unitários

{\ displaystyle \ mathbf {N} = {\ frac {\ mathbf {T} '} {\ kappa}}, \ quad \ mathbf {B} = \ mathbf {T} \ times \ mathbf {N}}

respectivamente, onde o primo denota a derivada do vetor em relação ao parâmetro $s$ . A torção $τ$ mede a velocidade de rotação do vetor binormal no ponto dado. É encontrado a partir da equação

{\ displaystyle \ mathbf {B} '= - \ tau \ mathbf {N}.}

que significa

{\ displaystyle \ tau = - \ mathbf {N} \ cdot \ mathbf {B} '.}

Como , isso é equivalente a . ${\ displaystyle \ mathbf {N} \ cdot \ mathbf {B} = 0}$ ${\ displaystyle \ tau = \ mathbf {N} '\ cdot \ mathbf {B}}$

Observação : A derivada do vetor binormal é perpendicular ao binormal e à tangente, portanto, deve ser proporcional ao vetor normal principal. O sinal negativo é simplesmente uma questão de convenção: é um subproduto do desenvolvimento histórico do sujeito.

Relevância geométrica: A torção $τ (s)$ mede a rotação do vetor binormal. Quanto maior a torção, mais rápido o vetor binormal gira em torno do eixo dado pelo vetor tangente (consulte as ilustrações gráficas ). Na figura animada, a rotação do vetor binormal é claramente visível nos picos da função de torção.

Propriedades

Uma curva plana com curvatura permanente tem torção zero em todos os pontos. Inversamente, se a torção de uma curva regular com curvatura permanente for idêntica a zero, então essa curva pertence a um plano fixo.
A curvatura e a torção de uma hélice são constantes. Por outro lado, qualquer curva de espaço cuja curvatura e torção são constantes e diferentes de zero é uma hélice. A torção é positiva para a hélice destra e negativa para a canhota.

Descrição alternativa

Seja $r = r (t)$ a equação paramétrica de uma curva espacial. Suponha que esta seja uma parametrização regular e que a curvatura da curva não desapareça. Analiticamente, $r (t)$ é uma função diferenciável três vezes de $t$ com valores em $R 3$ e os vetores