Produto Whitehead - Whitehead product

Em matemática, o produto de Whitehead é uma estrutura de álgebra de quase-Lie graduada nos grupos de homotopia de um espaço. Foi definido por JHC Whitehead em ( Whitehead 1941 ).

O código MSC relevante é: 55Q15, produtos Whitehead e generalizações.

Definição

Dados dados , o suporte de Whitehead${\ displaystyle f \ in \ pi _ {k} (X), g \ in \ pi _ {l} (X)}$

${\ displaystyle [f, g] \ in \ pi _ {k + l-1} (X)}$

é definido como segue:

O produto pode ser obtido anexando uma célula à soma da cunha${\ displaystyle S ^ {k} \ times S ^ {l}}$${\ displaystyle (k + l)}$

${\ displaystyle S ^ {k} \ vee S ^ {l}}$ ;

o mapa anexado é um mapa

${\ displaystyle S ^ {k + l-1} {\ stackrel {\ phi} {\ \ longrightarrow \}} S ^ {k} \ vee S ^ {l}.}$

Representar e por mapas ${\ displaystyle f}$${\ displaystyle g}$

${\ displaystyle f \ dois pontos S ^ {k} \ a X}$

e

${\ displaystyle g \ dois pontos S ^ {l} \ a X,}$

em seguida, componha sua cunha com o mapa anexado, como

${\ displaystyle S ^ {k + l-1} {\ stackrel {\ phi} {\ \ longrightarrow \}} S ^ {k} \ vee S ^ {l} {\ stackrel {f \ vee g} {\ \ longrightarrow \}} X.}$

A classe de homotopia do mapa resultante não depende das escolhas dos representantes, e assim obtém-se um elemento bem definido de

${\ displaystyle \ pi _ {k + l-1} (X).}$

Classificação

Observe que há uma mudança de 1 na classificação (em comparação com a indexação dos grupos de homotopia ), então tem grau ; equivalentemente, (definindo L como a álgebra de quase-Lie graduada). Assim atua em cada componente graduado. ${\ displaystyle \ pi _ {k} (X)}$${\ displaystyle (k-1)}$${\ displaystyle L_ {k} = \ pi _ {k + 1} (X)}$${\ displaystyle L_ {0} = \ pi _ {1} (X)}$

Propriedades

O produto Whitehead satisfaz as seguintes propriedades:

• Bilinearidade. ${\ displaystyle [f, g + h] = [f, g] + [f, h], [f + g, h] = [f, h] + [g, h]}$
• Simetria graduada. ${\ displaystyle [f, g] = (- 1) ^ {pq} [g, f], f \ in \ pi _ {p} X, g \ in \ pi _ {q} X, p, q \ geq 2}$
• Identidade de Jacobi graduada . ${\ displaystyle (-1) ^ {pr} [[f, g], h] + (- 1) ^ {pq} [[g, h], f] + (- 1) ^ {rq} [[h , f], g] = 0, f \ in \ pi _ {p} X, g \ in \ pi _ {q} X, h \ in \ pi _ {r} X {\ text {with}} p, q, r \ geq 2}$

Às vezes, os grupos de homotopia de um espaço, junto com a operação de produto de Whitehead, são chamados de álgebra de quase-Lie graduada ; isso é comprovado em Uehara & Massey (1957) por meio do produto triplo Massey .

Relação com a ação de ${\ displaystyle \ pi _ {1}}$

Se , então, o colchete Whitehead está relacionado à ação normal de ligado por ${\ displaystyle f \ in \ pi _ {1} (X)}$${\ displaystyle \ pi _ {1}}$${\ displaystyle \ pi _ {k}}$

${\ displaystyle [f, g] = g ^ {f} -g,}$

onde denota a conjugação de por . ${\ displaystyle g ^ {f}}$${\ displaystyle g}$${\ displaystyle f}$

Pois , isso se reduz a ${\ displaystyle k = 1}$

${\ displaystyle [f, g] = fgf ^ {- 1} g ^ {- 1},}$

que é o comutador normal em . Isso também pode ser visto observando-se que a célula do toro está fixada ao longo do comutador no esqueleto . ${\ displaystyle \ pi _ {1} (X)}$${\ displaystyle 2}$${\ displaystyle S ^ {1} \ times S ^ {1}}$${\ displaystyle 1}$${\ displaystyle S ^ {1} \ vee S ^ {1}}$

Produtos Whitehead em espaços H

Para um espaço H conectado por caminho , todos os produtos Whitehead desaparecem. Pela subseção anterior, esta é uma generalização dos fatos de que os grupos fundamentais de espaços H são abelianos e de que os espaços H são simples . ${\ displaystyle \ pi _ {*} (X)}$

Suspensão

Todos os produtos Whitehead de aulas , encontram-se no cerne da suspensão homomorphism ${\ displaystyle \ alpha \ in \ pi _ {i} (X)}$${\ displaystyle \ beta \ in \ pi _ {j} (X)}$${\ displaystyle \ Sigma \ dois pontos \ pi _ {i + j-1} (X) \ para \ pi _ {i + j} (\ Sigma X)}$

Exemplos

• ${\ displaystyle [\ mathrm {id} _ {S ^ {2}}, \ mathrm {id} _ {S ^ {2}}] = 2 \ cdot \ eta \ in \ pi _ {3} (S ^ { 2})}$ , onde está o mapa de Hopf . ${\ displaystyle \ eta \ dois pontos S ^ {3} \ a S ^ {2}}$

Isso pode ser mostrado observando que o invariante de Hopf define um isomorfismo e calculando explicitamente o anel de cohomologia da cofibra de um mapa que representa . Usando a construção Pontryagin-Thom, há um argumento geométrico direto, usando o fato de que a pré-imagem de um ponto regular é uma cópia do link de Hopf . ${\ displaystyle \ pi _ {3} (S ^ {2}) \ cong \ mathbb {Z}}$${\ displaystyle [\ mathrm {id} _ {S ^ {2}}, \ mathrm {id} _ {S ^ {2}}]}$

Aplicações para ∞-grupóides

Lembre-se de que um ∞-grupóide é uma generalização de categoria de grupóides que se conjectura para codificar os dados do tipo homotópico de em um formalismo algébrico. Os objetos são os pontos no espaço , os morfismos são classes de homotopia dos caminhos entre os pontos e os morfismos mais altos são as homotopias mais altas desses pontos. ${\ displaystyle \ Pi (X)}$${\ displaystyle \ infty}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle X}$

A existência do produto Whitehead é a principal razão pela qual definir uma noção de ∞-grupóides é uma tarefa tão exigente. Foi mostrado que qualquer ∞-grupóide estrito tem apenas produtos de Whitehead triviais, portanto, grupóide estrito nunca pode modelar os tipos de esferas homotópicas, como . ${\ displaystyle S ^ {3}}$

Veja também

• Produto Whitehead generalizado
• Produto Massey
• Toda bracket

Referências

• Whitehead, JHC (abril de 1941), "Sobre a adição de relações a grupos de homotopia", Annals of Mathematics , 2, 42 (2): 409–428, doi : 10.2307 / 1968907 , JSTOR   1968907
• Uehara, Hiroshi; Massey, William S. (1957), "The Jacobi identity for Whitehead products", Algebraic geometry and topology. Simpósio em homenagem a S. Lefschetz , Princeton, NJ: Princeton University Press , pp. 361-377, MR   0091473
• Whitehead, George W. (julho de 1946), "On products in homotopy groups", Annals of Mathematics , 2, 47 (3): 460–475, doi : 10.2307 / 1969085 , JSTOR   1969085
• Whitehead, George W. (1978). "X.7 O Produto Whitehead". Elementos da teoria da homotopia . Springer-Verlag . pp. 472–487. ISBN   978-0387903361 .