Somatório - Wedge sum

A soma de dois círculos

Em topologia , a soma da cunha é uma "união de um ponto" de uma família de espaços topológicos . Especificamente, se X e Y são espaços pontiagudos (ou seja, espaços topológicos com pontos de base distintos e ) a soma da cunha de X e Y é o espaço quociente da união disjunta de X e Y pela identificação ${\ displaystyle x_ {0}}$ ${\ displaystyle y_ {0}}$ ${\ displaystyle x_ {0} \ sim y_ {0}:}$

{\ displaystyle X \ vee Y = (X \ amalg Y) \; / {\ sim},}

onde é o fechamento de equivalência da relação Mais geralmente, suponha que é uma família indexada de espaços pontiagudos com pontos de base. A soma da cunha da família é dada por: ${\ displaystyle \, \ sim \,}$ ${\ displaystyle \ left \ {\ left (x_ {0}, y_ {0} \ right) \ right \}.}$ ${\ displaystyle \ left (X_ {i} \ right) _ {i \ in I}}$ ${\ displaystyle \ left (p_ {i} \ right) _ {i \ in I}.}$

{\ displaystyle \ bigvee _ {i \ in I} X_ {i} = \ coprod _ {i \ in I} X_ {i} \; / {\ sim},}

onde é o fechamento de equivalência da relação Em outras palavras, a soma da cunha é a junção de vários espaços em um único ponto. Esta definição é sensível à escolha dos pontos de base , a menos que os espaços sejam homogêneos .

{\ displaystyle \, \ sim \,}

{\ displaystyle \ left \ {\ left (p_ {i}, p_ {j} \ right): i, j \ in I \ right \}.}

{\ displaystyle \ left (p_ {i} \ right) _ {i \ in I},}

{\ displaystyle \ left (X_ {i} \ right) _ {i \ in I}}

A soma da cunha é novamente um espaço pontiagudo, e a operação binária é associativa e comutativa (até o homeomorfismo).

Às vezes, a soma da cunha é chamada de produto da

cunha , mas esse não é o mesmo conceito do produto externo , que também é freqüentemente chamado de produto da cunha.

Exemplos

A soma em cunha de dois círculos é homeomórfica a um espaço em forma de oito . A soma dos círculos em cunha costuma ser chamada de

buquê de círculos , enquanto um produto em cunha de esferas arbitrárias costuma ser chamado de buquê de esferas .

{\ displaystyle n}

Uma construção comum em homotopia é identificar todos os pontos ao longo do equador de uma esfera . Isso resulta em duas cópias da esfera, unidas no ponto que era o equador: ${\ displaystyle n}$ ${\ displaystyle S ^ {n}}$

{\ displaystyle S ^ {n} / {\ sim} = S ^ {n} \ vee S ^ {n}.}

Deixe ser o mapa, isto é, de identificar o equador até um único ponto. Então, a adição de dois elementos do

grupo de homotopia dimensional de um espaço no ponto distinto pode ser entendida como a composição de e com :

{\ displaystyle \ Psi}

{\ displaystyle \ Psi: S ^ {n} \ para S ^ {n} \ vee S ^ {n},}

{\ displaystyle f, g \ in \ pi _ {n} (X, x_ {0})}

{\ displaystyle n}

{\ displaystyle \ pi _ {n} (X, x_ {0})}

{\ displaystyle X}

{\ displaystyle x_ {0} \ in X}

{\ displaystyle f}

{\ displaystyle g}

{\ displaystyle \ Psi}

{\ displaystyle f + g = (f \ vee g) \ circ \ Psi.}

Aqui, estão os mapas que levam um ponto distinto ao ponto. Observe que o acima usa a soma de cunha de duas funções, o que é possível precisamente porque elas concordam no ponto comum à soma de cunha dos espaços subjacentes. ${\ displaystyle f, g: S ^ {n} \ a X}$ ${\ displaystyle s_ {0} \ in S ^ {n}}$ ${\ displaystyle x_ {0} \ in X.}$ ${\ displaystyle s_ {0},}$

Descrição categórica

A wedge sum pode ser entendida como o coproduto na categoria de espaços pontiagudos . Alternativamente, a soma da cunha pode ser vista como o pushout do diagrama na

categoria de espaços topológicos (onde é qualquer espaço de um ponto).

{\ displaystyle X \ leftarrow \ {\ bullet \} \ to Y}

{\ displaystyle \ {\ bullet \}}

Propriedades

O teorema de Van Kampen dá certas condições (os quais são normalmente aplicados para a bem-comportados espaços, tais como complexos de CW ) sob as quais o grupo fundamental da soma de dois espaços cunha e é o

produto livre de grupos fundamentais de e

{\ displaystyle X}

{\ displaystyle Y}

{\ displaystyle X}

{\ displaystyle Y.}

Veja também

Produto esmagado
Brinco havaiano , um espaço topológico semelhante, mas não igual a, uma soma em cunha de muitos círculos contáveis

Referências

Rotman, Joseph. An Introduction to Algebraic Topology , Springer, 2004, p. 153. ISBN 0-387-96678-1

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