Equação de Young-Laplace - Young–Laplace equation
Em física , a equação de Young-Laplace ( / l ə p l ɑː s / ) é um não-linear equação diferencial parcial que descreve a pressão capilar diferença sustentada através da interface entre dois fluidos estáticos , tais como água e ar , devido ao fenómeno da tensão superficial ou da tensão da parede , embora o uso da última só seja aplicável se presumindo que a parede é muito fina. A equação de Young-Laplace relaciona a diferença de pressão com a forma da superfície ou parede e é fundamentalmente importante no estudo de superfícies capilares estáticas . É uma declaração de equilíbrio de tensão normal para fluidos estáticos que se encontram em uma interface, onde a interface é tratada como uma superfície (espessura zero):
onde está a pressão de Laplace , a diferença de pressão através da interface do fluido (a pressão externa menos a pressão interna), é a tensão superficial (ou tensão da parede ), é a unidade normal apontando para fora da superfície, é a curvatura média e e são os principais raios de curvatura . Observe que apenas a tensão normal é considerada, porque foi mostrado que uma interface estática só é possível na ausência de tensão tangencial.
A equação leva o nome de Thomas Young , que desenvolveu a teoria qualitativa da tensão superficial em 1805, e Pierre-Simon Laplace, que completou a descrição matemática no ano seguinte. Às vezes, é também chamado de Lei de Laplace-Gauss, como Carl Friedrich Gauss unificou o trabalho de jovens e Laplace, em 1830, decorrente tanto da equação diferencial e condições de contorno usando Johann Bernoulli 's trabalho virtuais princípios.
Filmes de novela
Se a diferença de pressão for zero, como em um filme de sabão sem gravidade, a interface assumirá o formato de uma superfície mínima .
Emulsões
A equação também explica a energia necessária para criar uma emulsão . Para formar as pequenas gotículas altamente curvas de uma emulsão, é necessária energia extra para superar a grande pressão que resulta de seu pequeno raio.
A pressão de Laplace, que é maior para gotículas menores, causa a difusão de moléculas para fora das gotículas menores em uma emulsão e leva ao engrossamento da emulsão por meio do amadurecimento de Ostwald .
Pressão capilar em um tubo
Numa suficientemente estreita (ou seja, de baixo número de Bond ) de tubo de secção transversal circular (raio de um ), a interface entre dois fluidos, forma um menisco que é uma porção da superfície de uma esfera com raio R . O salto de pressão através desta superfície está relacionado ao raio e à tensão superficial γ por
Isso pode ser demonstrado escrevendo a equação de Young-Laplace na forma esférica com uma condição de contorno do ângulo de contato e também uma condição de contorno de altura prescrita, digamos, na parte inferior do menisco. A solução é uma parte de uma esfera e a solução existirá apenas para a diferença de pressão mostrada acima. Isso é significativo porque não há outra equação ou lei para especificar a diferença de pressão; a existência de solução para um valor específico da diferença de pressão o prescreve.
O raio da esfera será uma função apenas do ângulo de contato , θ, que por sua vez depende das propriedades exatas dos fluidos e do material do recipiente com o qual os fluidos em questão estão em contato / interface:
de modo que a diferença de pressão pode ser escrita como:
Para manter o equilíbrio hidrostático , a pressão capilar induzida é equilibrada por uma mudança na altura, h , que pode ser positiva ou negativa, dependendo se o ângulo de umedecimento é menor ou maior que 90 °. Para um fluido de densidade ρ:
- onde g é a aceleração gravitacional . Isso às vezes é conhecido como a lei de Jurin ou altura de Jurin, em homenagem a James Jurin, que estudou o efeito em 1718.
Para um tubo de vidro cheio de água no ar ao nível do mar :
γ = 0,0728 J / m 2 a 20 ° C | θ = 20 ° (0,35 rad ) |
ρ = 1000 kg / m 3 | g = 9,8 m / s 2 |
- e assim a altura da coluna de água é dada por:
- m .
Assim, para um tubo de 2 mm de largura (raio de 1 mm), a água subiria 14 mm. No entanto, para um tubo capilar com raio de 0,1 mm, a água subiria 14 cm (cerca de 6 polegadas ).
Ação capilar em geral
No caso geral, para uma superfície livre e onde há uma "sobrepressão" aplicada, Δ p , na interface em equilíbrio, há um equilíbrio entre a pressão aplicada, a pressão hidrostática e os efeitos da tensão superficial. A equação de Young-Laplace torna-se:
A equação pode ser não dimensionada em termos de sua escala de comprimento característica, o comprimento capilar :
- e pressão característica :
Para água limpa em temperatura e pressão padrão , o comprimento capilar é de ~ 2 mm .
A equação adimensional torna-se então:
Assim, a forma da superfície é determinada por apenas um parâmetro, a sobrepressão do fluido, Δ p * e a escala da superfície é dada pelo comprimento do capilar . A solução da equação requer uma condição inicial para a posição e o gradiente da superfície no ponto inicial.
Equações axissimétricas
A forma (não dimensional), r ( z ) de uma superfície axissimétrica pode ser encontrada substituindo expressões gerais para curvaturas principais para dar as equações hidrostáticas de Young-Laplace :
Aplicação em medicina
Na medicina , é frequentemente referida como a Lei de Laplace , usada no contexto da fisiologia cardiovascular e também da fisiologia respiratória , embora o último uso seja frequentemente incorreto.
História
Francis Hauksbee realizou algumas das primeiras observações e experimentos em 1709 e estes foram repetidos em 1718 por James Jurin, que observou que a altura do fluido em uma coluna capilar era uma função apenas da área da seção transversal na superfície, e não de qualquer outro dimensões da coluna.
Thomas Young lançou as bases da equação em seu artigo de 1804, Um Ensaio sobre a Coesão dos Fluidos, onde estabeleceu em termos descritivos os princípios que governam o contato entre os fluidos (junto com muitos outros aspectos do comportamento dos fluidos). Pierre Simon Laplace seguiu em Mécanique Céleste com a descrição matemática formal dada acima, que reproduziu em termos simbólicos a relação descrita anteriormente por Young.
Laplace aceitou a ideia proposta por Hauksbee em seu livro Experimentos Físico-mecânicos (1709), de que o fenômeno se devia a uma força de atração insensível a distâncias sensíveis. A parte que trata da ação de um sólido sobre um líquido e a ação mútua de dois líquidos não foi elaborada completamente, mas foi concluída por Carl Friedrich Gauss . Franz Ernst Neumann (1798-1895) posteriormente forneceu alguns detalhes.
Referências
Bibliografia
- Maxwell, James Clerk ; Strutt, John William (1911). . Em Chisholm, Hugh (ed.). Encyclopædia Britannica . 5 (11ª ed.). Cambridge University Press. pp. 256–275.
- Batchelor, GK (1967) An Introduction To Fluid Dynamics , Cambridge University Press
- Jurin, J. (1716). "Relato de alguns experimentos apresentados à Royal Society; com uma investigação sobre a causa da subida e suspensão da água em tubos capilares" . Philosophical Transactions of the Royal Society . 30 (351–363): 739–747. doi : 10.1098 / rstl.1717.0026 . S2CID 186211806 .
- Tadros TF (1995) Surfactants in Agrochemicals , Surfactant Science series, vol.54, Dekker