Yupana - Yupana
Um yupana (do quechua yupay: contagem) é um ábaco usado para realizar operações aritméticas que datam da época dos incas .
Tipos
O termo yupana se refere a duas classes distintas de objetos:
- table-yupana (ou yupana arqueológica): um sistema de bandejas de diferentes tamanhos e materiais, que são esculpidas na parte superior do dispositivo em caixas geométricas. Sementes ou seixos foram colocados dentro, provavelmente para realizar cálculos aritméticos complexos. A primeira dessas tabelas foi encontrada em 1869 na província de Azuay ( Equador ) e motivou estudos sistemáticos desses objetos. Todos os exemplos arqueológicos são muito diferentes uns dos outros.
- yupana de Poma de Ayala : foto da página 360 de El primer nueva corónica y buen gobierno , escrita pelo cronista dos ameríndios Felipe Guaman Poma de Ayala , representa um tabuleiro de xadrez 5x4 . A imagem, embora tenha algumas semelhanças com a maioria do yupana de mesa, apresenta várias diferenças em relação a estas. Notavelmente, todas as bandejas são retângulos do mesmo tamanho, enquanto table-yupanas também possuem bandejas de outras formas poligonais ou de tamanhos diferentes.
Embora muito diferentes uns dos outros, a maioria dos estudiosos que lidaram com o yupana da mesa estenderam o raciocínio e as teorias ao yupana de Poma de Ayala e vice-versa, talvez na tentativa de encontrar um fio condutor ou um método comum. A Nueva Coronica foi descoberta apenas em 1916 na biblioteca de Copenhagen e parte dos estudos sobre ela foram baseados em estudos e teorias anteriores sobre os yupanas da mesa.
História
Vários cronistas das Índias descreveram, infelizmente aproximadamente, o ábaco inca e seu funcionamento.
Felipe Guaman Poma de Ayala
O primeiro foi Guaman Poma de Ayala, que por volta de 1615 escreveu:
... Eles contam usando tabelas, numerando de cem mil a dez mil a cem a dez, até chegarem a um. Eles mantêm registros de tudo o que acontece neste reino: feriados, domingos, meses e anos. Esses contadores e tesoureiros do reino são encontrados em cada cidade, vila ou aldeia indígena ...
-
Além de fornecer esta breve descrição, Poma de Ayala fez um desenho da yupana: um tabuleiro de cinco filas e quatro colunas em que se pode ver uma série de círculos em preto e branco.
José de Acosta
O padre jesuíta José de Acosta escreveu:
... eles pegam o milho e colocam um aqui, três ali, oito de outra parte; eles saem de uma caixa e trocam três outros grãos de um para outro para finalmente obter o resultado sem erro
-
Juan de Velasco
Padre Juan de Velasco escreveu:
... esses professores usavam algo como uma série de mesas, feitas de madeira, pedra ou barro, com diferentes separações, nas quais colocavam pedras de diferentes formas, cores e formatos angulares
-
Mesa-yupana
Chordeleg
O primeiro exemplo conhecido de yupana de mesa foi encontrado em 1869 em Chordeleg , província de Azuay , Equador . É uma mesa retangular (33x27 cm) de madeira composta por 17 compartimentos, dos quais 14 são quadrados , 2 são retangulares e um é octogonal . Em duas bordas da mesa existem outros compartimentos quadrados (12x12 cm) elevados e dispostos simetricamente entre si, aos quais se sobrepõem duas plataformas quadradas (7x7 cm). Essas estruturas são chamadas de torres. A tabela apresenta uma simetria dos compartimentos em relação à diagonal do retângulo . Os quatro lados do quadro também são gravados com figuras de cabeças humanas e um crocodilo . Como resultado dessa descoberta, Charles Wiener iniciou em 1877 um estudo sistemático desses objetos. Wiener chegou à conclusão de que os yupanas da mesa serviam para calcular os impostos que os fazendeiros pagavam ao império inca.
Caraz
Encontrada em Caraz em 1878 - 1879, esta mesa-yupana é diferente daquela de Chordeleg porque o material de construção é a pedra e o compartimento central de forma octogonal é substituído por um retangular; as torres também têm três prateleiras em vez de duas.
Callejón de Huaylas
Uma série de yupanas de mesa muito diferente da primeira foi descrita por Erland Nordenskiöld em 1931. Essas yupanas, feitas de pedra, apresentam uma série de compartimentos retangulares e quadrados. A torre é composta por dois compartimentos retangulares. Os compartimentos são dispostos simetricamente em relação ao eixo do lado menor da mesa.
Yupana triangular
Essas yupanas, feitas de pedra, possuem 18 compartimentos de formato triangular, dispostos ao redor da mesa. De um lado, uma torre retangular com apenas um andar e três compartimentos triangulares. Na parte central existem quatro compartimentos quadrados, acoplados entre eles.
Chan Chan
Idêntica à yupana de Chordeleg, tanto pelo material como pela disposição dos compartimentos, esta mesa-yupana foi encontrada no complexo arqueológico de Chan Chan , no Peru, em 1967.
Cárhua de la Bahía
Descobertas na província de Pisco ( Peru ), essas mesas-yupanas são duas mesas em barro e osso . O primeiro é retangular (47x32 cm), possui 22 compartimentos quadrados (5x5 cm) e três retangulares (16x18 cm), e não possui torres. O segundo é retangular (32x23 cm) contendo 22 compartimentos quadrados, dois em L e três retangulares no centro. Os compartimentos estão dispostos simetricamente em relação ao eixo do lado mais comprido.
Huancarcuchu
Descoberta no alto Equador por Max Uhle em 1922, esta yupana é feita de pedra e suas caixas são sacadas. Tem o formato de uma escala composta por 10 retângulos sobrepostos: quatro no primeiro andar, três no segundo, dois no terceiro e um no quarto. Esta yupana é a que mais se aproxima do quadro de Poma de Ayala em Nueva Coronica, embora tenha menos linha e esteja meio desenhada.
Florio
C. Florio apresenta um estudo que não identifica uma yupana nestes achados arqueológicos, mas sim um objeto cujo nome é desconhecido e que foi esquecido. Em vez disso, este objetivo é conectar-se ao tocapu (um ideograma já usado pelas civilizações pré-incas) chamado “llave inca” (isto é, chave Inca) e à filosofia yanantin-masintin . O estudioso chega a essa conclusão partindo da falta de evidências objetivas que reconheçam um yupana neste objeto, crença que se consolidou ao longo dos anos apenas pela repetição dessa hipótese nunca demonstrada, e pelo cruzamento de dados dos Documentos Miccinelli e do (s) tocapu (s). catalogado por Victoria de la Jara.
Fig. A - Estrutura de uma mesa-yupana “Chordeleg”. Coloração para diferenciar os compartimentos.
Fig. B - Identificação de uma cor estereotipada
Fig. C - Tocapu realmente existente catalogado por Victoria de la Jara
Fig. D - Outro padrão de tocapu, possível estilização do anterior
Fig. E - Tocapu denominado “llave inca”, chave Inca
Supondo colorir os diferentes compartimentos da mesa-yupana (fig. A), C. Florio identifica um desenho (fig. B) muito semelhante a um tocapu realmente existente (fig. C) e catalogado por Victoria de la Jara. Além disso, no tocapu relatado na figura D, também catalogado por V. de la Jara, Florio identifica uma estilização do tocapu C e o ponto de partida para a criação do tocapu “llave inca” (chave inca). Ela encontra a relação entre a mesa-yupana e a chave Inca também em sua conexão com o conceito de dualidade: a estrutura da mesa-yupana é claramente dual e Blas Valera em “Exul Immeritus Blas Valera populo suo” (um dos dois Documentos Miccinelli ) descreve o tocapu que chamamos de chave Inca como representando o conceito de “forças opostas” e o “número 2”, ambos estritamente ligados ao conceito de dualidade.
Segundo C. Florio, a verdadeira yupana utilizada pelos incas é a de Guáman Poma, mas com mais colunas e filas. Guáman Poma teria representado apenas a parte do yupana útil para fazer um cálculo específico, que Florio identifica como uma multiplicação (ver abaixo).
Teorias de Yupana Poma de Ayala
Henry Wassen
Em 1931, Henry Wassen estudou a yupana de Poma de Ayala, propondo pela primeira vez uma possível representação dos números no tabuleiro e as operações de adição e multiplicação . Ele interpretou os círculos brancos como lacunas, esculpidas em yupana para inserir as sementes descritas pelos cronistas: assim, os círculos brancos correspondem a lacunas vazias, enquanto os círculos pretos correspondem às mesmas lacunas preenchidas com uma semente preta.
O sistema de numeração na base do ábaco era a notação posicional na base 10 (de acordo com os escritos dos cronistas das Índias).
A representação dos números seguiu então uma progressão vertical de forma que as unidades foram posicionadas na primeira linha de baixo, na segunda as dezenas, centenas na terceira e assim por diante.
Wassen propôs uma progressão de valores das sementes que depende de sua posição na tabela: 1, 5, 15, 30, respectivamente, dependendo de quem ocupa uma lacuna na primeira, segunda, terceira e quarta colunas (ver tabela abaixo) . Em uma caixa pertencente à primeira coluna apenas poderiam ser incluídas no máximo cinco sementes, de forma que o valor máximo dessa caixa fosse 5, multiplicado pela potência da linha correspondente. Essas sementes podem ser substituídas por uma semente da próxima coluna, útil durante as operações aritméticas. Segundo a teoria de Wassen, portanto, as operações de soma e produto eram realizadas horizontalmente.
Essa teoria recebeu muitas críticas devido à alta complexidade dos cálculos e, portanto, foi considerada inadequada e logo abandonada.
A título de exemplo, a seguinte tabela mostra o número 13457.
Representação de 13457 |
Essa primeira interpretação da yupana de Poma de Ayala foi o ponto de partida para as teorias desenvolvidas pelos autores subsequentes, até os dias atuais. Em particular, ninguém se afastou do sistema de numeração posicional até 2008.
Emilio Mendizabal
Emilio Mendizabal foi o primeiro a propor em 1976 que os Inca estivessem utilizando, além da representação decimal, também uma representação baseada na progressão 1,2,3,5. Mendizabal na mesma publicação destacou que as séries de números 1,2,3 e 5, no desenho de Poma de Ayala, fazem parte da sequência de Fibonacci , e destacou a importância da "magia" que teve o número 5 para a civilização o norte do Peru , e o número 8 para as civilizações do sul do Peru .
Radicati di Primeglio
Em 1979, Carlos Radicati di Primeglio enfatizou a diferença do table-yupana do Poma de Ayala, descrevendo o estado da arte das pesquisas e teorias desenvolvidas até então. Ele também propôs os algoritmos para calcular as quatro operações aritméticas básicas para yupana de Poma de Ayala, segundo uma nova interpretação para a qual era possível ter até nove sementes em cada caixa com progressão vertical para potências de dez. A escolha da Radicati foi associar a cada gap um valor de 1.
Na tabela a seguir está representado o número 13457
Representação de 13457 |
William Burns Glynn
Em 1981, o engenheiro têxtil inglês William Burns Glynn propôs uma solução de base posicional 10 para o yupana de Poma de Ayala.
Glynn, como Radicati, adotou a mesma ideia de Wassen de lacunas cheias e vazias, bem como uma progressão vertical das potências de dez, mas propôs uma arquitetura que permitiu simplificar muito as operações aritméticas.
A progressão horizontal dos valores das sementes na sua representação é de 1, 1, 1 para as três primeiras colunas, de forma que em cada linha é possível depositar no máximo dez sementes (5 + 3 + 2 sementes). Dez sementes de qualquer linha correspondem a uma única semente da linha superior.
A última coluna é dedicada à memória , que é um local onde você pode jogar dez sementes momentaneamente, esperando para movê-las para a linha superior. Segundo o autor, isso é muito útil durante as operações aritméticas para reduzir a possibilidade de erros.
A solução do Glynn tem sido adotada em diversos projetos de ensino em todo o mundo, e ainda hoje algumas de suas variantes são utilizadas em algumas escolas da América do Sul .
Na tabela a seguir está representado o número 13457
|
Nicolino de Pasquale
Em 2001, o engenheiro italiano Nicolino de Pasquale propôs uma solução posicional na base 40 da yupana de Poma de Ayala, tomando a teoria da representação de Fibonacci já proposta por Emilio Mendizabal e desenvolvendo-a para as quatro operações.
De Pasquale também adota uma progressão vertical para representar os números em potências de 40. A representação dos números é baseada no fato de que a soma dos valores dos círculos em cada linha forma um total de 39, se cada círculo assumir o valor 5 na primeira coluna, 3 na segunda coluna, 2 na terceira e 1 na quarta; assim, é possível representar 39 números, unidos a elemento neutro ( zero ou nenhuma semente na tabela); isso forma a base de 40 símbolos necessários para o sistema de numeração.
Uma das possíveis representações do número 13457 na yupana por De Pasquale é mostrada na tabela a seguir:
|
A teoria de De Pasquale abriu, nos anos após seu nascimento, grande polêmica entre pesquisadores que se dividiam principalmente em dois grupos: um apoiando a teoria de base 10 e outro apoiando a teoria de base 40. As crônicas espanholas da época da conquista das Américas indicavam que os incas usavam o sistema decimal e que desde 2003 a base 10 tem sido proposta como base de cálculo tanto com o ábaco quanto com o quipu.
De Pasquale propôs recentemente o uso de yupana como calendário astronômico executado em base mista 36/40 e forneceu sua própria interpretação da palavra quíchua huno , traduzindo-a como 0,1. Esta interpretação diverge de todos os cronistas das Índias, a partir de Domingo de Santo Tomas que em 1560 traduziu huno com chunga guaranga (dez mil).
Cinzia Florio
Em 2008, Cinzia Florio propôs uma abordagem alternativa e revolucionária em relação a todas as teorias propostas até agora. Pela primeira vez nos desviamos do sistema de numeração posicional e adotamos o aditivo, ou notação de valor de sinal .
Apoiando-se exclusivamente no desenho de Poma de Ayala, o autor explica o arranjo dos círculos brancos e pretos e interpreta o uso do ábaco como tabuleiro para fazer multiplicações , em que o multiplicando é representado na coluna da direita, multiplicador nas duas. colunas centrais e o resultado ( produto ) é mostrado na coluna da esquerda. Veja a tabela a seguir.
|
A teoria difere de todas as anteriores em vários aspectos: primeiro, os círculos brancos e pretos não seriam lacunas que podem ser preenchidas com uma semente, mas sim cores diferentes de sementes, representando respectivamente dezenas e unidades (isso segundo o cronista Juan de Velasco).
Em segundo lugar, o multiplicando é inserido na primeira coluna respeitando a notação do valor do sinal: assim, as sementes podem ser inseridas em qualquer ordem e o número é dado pela soma dos valores dessas sementes.
O multiplicador é representado pela soma de dois fatores, uma vez que o procedimento de obtenção do produto se baseia na propriedade distributiva de multiplicação sobre adição.
O multiplicador da mesa traçado por Poma de Ayala com aquele fornecimento das sementes, representa segundo o autor, o cálculo: 32 x 5, onde o multiplicador 5 se decompõe em 3 + 2. A seqüência de números 1,2,3,5 seria casual, contingente ao cálculo feito e não relacionado à série de Fibonacci.
| produtos | Multiplicador | Multiplicador | Multiplicando |
|---|---|---|---|
| 3X | 2X | ||
| ◦◦◦ •• | ◦◦ • | •• | ◦ |
| ◦◦◦◦ • | ◦◦ • | ◦◦ | • |
| ••••• | ◦◦◦ | ◦ • | ◦ |
| ◦◦◦◦ • | ◦◦ • | ◦ • | ◦ |
| ◦◦◦ •• | ••• | ◦◦ | • |
| 151 (160) | 96 | 64 | 32 |
Chave: ◦ = 10; • = 1; A operação representada é: 32 x 5 = 32 x (2 + 3) = (32 x 2) + (32 x 3) = 64 + 96 = 160
Os números representados nas colunas são, da esquerda para a direita: 32 (o multiplicando), 64 = 32 x 2 e 32 x 3 = 96 (que juntos constituem o multiplicando, multiplicado pelos dois fatores em que o multiplicador foi dividido ) e finalmente 151. Nesta edição (erro) estão baseadas todas as críticas possíveis a esta interpretação, uma vez que 151 obviamente não é a soma de 96 e 64. Florio, no entanto, observa que um erro de Poma de Ayala, ao desenhar um círculo preto em vez de um branco, teria sido possível. Nesse caso, trocando apenas um círculo preto por um branco na última coluna, obtemos o número 160, que é exatamente o produto procurado como a soma das quantidades presentes nas colunas centrais.
Com um yupana como o desenhado por Poma de Ayala não pode ser representado todos os multiplicandos, mas é necessário estender o yupana verticalmente (somando linhas) para representar números cuja soma de dígitos exceda 5. O mesmo vale para os multiplicadores: para representar todos os números é necessário estender o número de colunas. Além do suposto erro de cálculo (ou representação pelo designer), é o único que identifica na yupana de Poma de Ayala uma mensagem matemática e consistente (multiplicação) e não uma série de números aleatórios como nas outras interpretações.
Veja também
Referências
links externos
- Gilsdorf - Etnomatemática dos Inkas
- Heliane Seline - Matemática através das culturas
- O'Connor & Robertson - Matemática dos Incas
Cronistas das Índias
- (em espanhol) Poma de Ayala - El Primer Nueva Coronica y Buen Gobierno
- (em espanhol) José De Acosta - Historia Natural y Moral de las Indias
- (em espanhol) Velasco - Historia del reyno de Quito del America del Sur
Teoria de Wassen e table-Yupana
Teoria de Glynn Burns e projetos escolares
- (em espanhol) Mora & Valero - La Yupana come strumento pedagogico alle elementari
- Leonard e Shakiban - The Incan Abacus
- (em italiano) Fiorentino - La yupana elettronica: uno strumento per la didattica interculturale della matematica
Teoria de De Pasquale
- (em italiano) Università Bocconi di Milano - La Matematica nelle civiltà pre-colombiane
- (em inglês) Sistema de contagem inca tão fácil quanto 1,2,3,5 - por Rossella Lorenzi
- (em italiano) Notizie sulla numerazione Inca e sulla yupana
- (em italiano) Un italiano scopre l'enigma della matematica inca
- (em italiano) Il Sole 24 Ore Domenica 10 de novembro de 2002 - N. 308 - Pagina 35 - di Antonio Aimi - SCIENZA E FILOSOFIA Matematica precolombiana Scoperto il metodo di calcolo degli Inca
- (em italiano) L'unione Sarda - I numeri della natura nella scacchiera degli Inca - di Andrea Mameli
- (em inglês) "Jogo Guaman Poma, de N. De Pasquale, D. D'Ottavio
