Acoplamento de momento angular - Angular momentum coupling

Na mecânica quântica , o procedimento de construção de estados próprios de momento angular total a partir de estados próprios de momentos angulares separados é chamado de acoplamento de momento angular . Por exemplo, a órbita e o spin de uma única partícula podem interagir por meio da interação spin-órbita , caso em que a imagem física completa deve incluir o acoplamento spin-órbita. Ou duas partículas carregadas, cada uma com um momento angular bem definido, podem interagir por forças de Coulomb , caso em que o acoplamento dos dois momentos angulares de uma partícula a um momento angular total é uma etapa útil na solução do Schrödinger de duas partículas equação . Em ambos os casos, os momentos angulares separados não são mais constantes de movimento , mas a soma dos dois momentos angulares geralmente ainda o é. O acoplamento de momento angular em átomos é importante na espectroscopia atômica . O acoplamento de momento angular de spins de elétrons é importante na química quântica . Também no modelo de camada nuclear, o acoplamento de momento angular é onipresente.

Na astronomia , o acoplamento spin-órbita reflete a lei geral de conservação do momento angular , que também se aplica aos sistemas celestes. Em casos simples, a direção do vetor de momento angular é desprezada e o acoplamento spin-órbita é a razão entre a frequência com que um planeta ou outro corpo celeste gira em torno de seu próprio eixo e aquela com a qual orbita outro corpo. Isso é mais comumente conhecido como ressonância orbital . Freqüentemente, os efeitos físicos subjacentes são forças de maré .

Teoria geral e origem detalhada

Momento angular orbital (denotado por l ou L ).

Conservação do momento angular

A conservação do momento angular é o princípio de que o momento angular total de um sistema tem magnitude e direção constantes se o sistema não estiver sujeito a torque externo . O momento angular é uma propriedade de um sistema físico que é uma constante de movimento (também referida como uma propriedade conservada , independente do tempo e bem definida) em duas situações:

O sistema experimenta um campo potencial esfericamente simétrico.
O sistema se move (no sentido da mecânica quântica) no espaço isotrópico.

Em ambos os casos, o operador de momento angular comuta com o hamiltoniano do sistema. Pela relação de incerteza de Heisenberg, isso significa que o momento angular e a energia (autovalor do hamiltoniano) podem ser medidos ao mesmo tempo.

Um exemplo da primeira situação é um átomo cujos elétrons experimentam apenas a força Coulomb de seu núcleo atômico . Se ignorarmos a interação elétron-elétron (e outras pequenas interações, como o acoplamento spin-órbita ), o momento angular orbital $l$ de cada elétron comuta com o hamiltoniano total. Neste modelo, o hamiltoniano atômico é uma soma das energias cinéticas dos elétrons e das interações elétron-núcleo esfericamente simétricas. O angular momentos indivíduo electrões $l i$ comutam com este Hamiltoniano. Ou seja, são propriedades conservadas desse modelo aproximado do átomo.

Um exemplo da segunda situação é um rotor rígido movendo-se em um espaço livre de campo. Um rotor rígido tem um momento angular bem definido e independente do tempo.

Essas duas situações têm origem na mecânica clássica. O terceiro tipo de momento angular conservado, associado ao spin , não tem uma contraparte clássica. No entanto, todas as regras de acoplamento de momento angular também se aplicam ao spin.

Em geral, a conservação do momento angular implica simetria rotacional completa (descrita pelos grupos SO (3) e SU (2) ) e, inversamente, a simetria esférica implica na conservação do momento angular. Se dois ou mais sistemas físicos conservaram os momentos angulares, pode ser útil combinar esses momentos com um momento angular total do sistema combinado - uma propriedade conservada do sistema total. A construção de estados próprios do momento angular total conservado a partir dos estados próprios do momento angular dos subsistemas individuais é chamada de acoplamento de momento angular .

A aplicação do acoplamento de momento angular é útil quando há uma interação entre subsistemas que, sem interação, teriam conservado o momento angular. Pela própria interação, a simetria esférica dos subsistemas é quebrada, mas o momento angular do sistema total permanece uma constante de movimento. O uso do último fato é útil na solução da equação de Schrödinger.

Exemplos

Como exemplo, consideramos dois elétrons, em um átomo (digamos, o átomo de hélio ) rotulado com $i$ = 1 e 2. Se não houver interação elétron-elétron, mas apenas interação elétron-núcleo, os dois elétrons podem girar em torno do núcleo independentemente um do outro; nada acontece com sua energia. Ambos os operadores, $l$ ₁ e $l$ ₂ , são conservados. No entanto, se ativarmos a interação elétron-elétron que depende da distância $d$ (1,2) entre os elétrons, então apenas uma rotação simultânea e igual dos dois elétrons deixará $d$ (1,2) invariante. Nesse caso, nem $l$ ₁ nem $l$ ₂ é uma constante de movimento em geral, mas o momento angular orbital total $L$ = $l$ ₁ + $l$ ₂ é. Dados os autoestados de $l$ ₁ e $l$ ₂ , a construção dos autoestados de $L$ (que ainda se conservam) é o acoplamento dos momentos angulares dos elétrons 1 e 2.

O número quântico total do momento angular orbital $L$ é restrito a valores inteiros e deve satisfazer a condição triangular de que , de modo que os três valores inteiros não negativos, possam corresponder aos três lados de um triângulo. ${\ displaystyle | l_ {1} -l_ {2} | \ leq L \ leq l_ {1} + l_ {2}}$

Na mecânica quântica , o acoplamento também existe entre momentos angulares pertencentes a diferentes espaços de Hilbert de um único objeto, por exemplo, seu spin e seu momento angular orbital . Se o spin tiver valores meio-inteiros, como 1 / 2 para um elétron, então o momento angular total (orbital mais spin) também será restrito a valores meio-inteiros.

Reiterando um pouco diferente o acima: expande-se os estados quânticos de sistemas compostos (isto é, feitos de subunidades como dois átomos de hidrogênio ou dois elétrons ) em conjuntos de base que são feitos de produtos tensores de estados quânticos que, por sua vez, descrevem os subsistemas individualmente. Assumimos que os estados dos subsistemas podem ser escolhidos como autoestados de seus operadores de momento angular (e de seus componentes ao longo de qualquer eixo $z$ arbitrário ).

Os subsistemas são, portanto, corretamente descritos por um par de números quânticos $ℓ$ , $m$ (consulte o momento angular para obter detalhes). Quando há interação entre os subsistemas, o hamiltoniano total contém termos que não comutam com os operadores angulares que atuam apenas nos subsistemas. No entanto, estes termos fazer comutar com o total de operador momento angular. Às vezes, alguém se refere aos termos de interação não comutáveis no hamiltoniano como termos de acoplamento de momento angular , porque eles precisam do acoplamento de momento angular.

Acoplamento spin-órbita

O comportamento dos átomos e das partículas menores é bem descrito pela teoria da mecânica quântica , em que cada partícula tem um momento angular intrínseco denominado spin e configurações específicas (por exemplo, elétrons em um átomo) são descritas por um conjunto de números quânticos . Coleções de partículas também têm momentos angulares e números quânticos correspondentes e, em diferentes circunstâncias, os momentos angulares das partes se acoplam de maneiras diferentes para formar o momento angular do todo. O acoplamento de momento angular é uma categoria que inclui algumas das maneiras pelas quais as partículas subatômicas podem interagir umas com as outras.

Na física atômica , o acoplamento spin-órbita , também conhecido como par de spin , descreve uma interação magnética fraca, ou acoplamento , do spin da partícula e do movimento orbital dessa partícula, por exemplo, o spin do elétron e seu movimento em torno de um núcleo atômico . Um de seus efeitos é separar a energia dos estados internos do átomo, por exemplo, spin-alinhado e spin-antialinhado que de outra forma seriam idênticos em energia. Essa interação é responsável por muitos dos detalhes da estrutura atômica.

Na física do estado sólido , o acoplamento do spin com o movimento orbital pode levar à divisão das bandas de energia devido aos efeitos de Dresselhaus ou Rashba .

No mundo macroscópico da mecânica orbital , o termo acoplamento spin-órbita é algumas vezes usado no mesmo sentido que ressonância spin-órbita .

Acoplamento LS

Ilustração do acoplamento L – S. O momento angular total J é roxo, orbital L é azul e o spin S é verde.

Em átomos de luz (geralmente Z ≤ 30), electrões rotações s _i interagem entre si, de modo que eles se combinam para formar uma rotação total de momento angular S . O mesmo acontece com angular orbital momentos ℓ _i , formando um total orbital momento angular G . A interação entre os números quânticos L e S é chamada de acoplamento de Russell-Saunders (em homenagem a Henry Norris Russell e Frederick Saunders ) ou acoplamento de LS . Então S e L se acoplam e formam um momento angular total J :

{\ displaystyle \ mathbf {J} = \ mathbf {L} + \ mathbf {S}, \,}

onde L e S são os totais:

{\ displaystyle \ mathbf {L} = \ sum _ {i} {\ boldsymbol {\ ell}} _ {i}, \ \ mathbf {S} = \ sum _ {i} \ mathbf {s} _ {i} . \,}

Esta é uma aproximação que é boa, desde que quaisquer campos magnéticos externos sejam fracos. Em campos magnéticos maiores, esses dois momentos se desacoplam, dando origem a um padrão de divisão diferente nos níveis de energia (o efeito Paschen-Back . ), E o tamanho do termo de acoplamento LS torna-se pequeno.

Para um exemplo abrangente de como o acoplamento LS é aplicado na prática, consulte o artigo sobre símbolos de termos .

acoplamento jj

Em átomos mais pesados, a situação é diferente. Em átomos com cargas nucleares maiores, as interações spin-órbita são freqüentemente tão grandes ou maiores do que as interações spin-spin ou órbita-órbita. Nessa situação, cada momento angular orbital ℓ _i tende a se combinar com o momento angular de rotação individual correspondente s _i , originando um momento angular total individual j _i . Estes então se acoplam para formar o momento angular total J

{\ displaystyle \ mathbf {J} = \ sum _ {i} \ mathbf {j} _ {i} = \ sum _ {i} ({\ boldsymbol {\ ell}} _ {i} + \ mathbf {s} _{eu}).}

Essa descrição, que facilita o cálculo desse tipo de interação, é conhecida como acoplamento jj .

Acoplamento spin-spin

O acoplamento spin-spin é o acoplamento do momento angular intrínseco ( spin ) de diferentes partículas. O acoplamento J entre pares de spins nucleares é uma característica importante da espectroscopia de ressonância magnética nuclear (NMR), pois pode fornecer informações detalhadas sobre a estrutura e conformação das moléculas. O acoplamento spin-spin entre o spin nuclear e o spin eletrônico é responsável pela estrutura hiperfina nos espectros atômicos .

Símbolos de termos

Os símbolos de termos são usados para representar os estados e as transições espectrais dos átomos, eles são encontrados a partir do acoplamento dos momentos angulares mencionados acima. Quando o estado de um átomo foi especificado com um símbolo de termo, as transições permitidas podem ser encontradas por meio de regras de seleção , considerando quais transições conservariam o momento angular . Um fóton tem spin 1 e, quando há uma transição com emissão ou absorção de um fóton, o átomo precisará mudar de estado para conservar o momento angular. As regras de seleção de símbolo de termo são: $Δ S$ = 0; $Δ L$ = 0, ± 1; $Δ l$ = ± 1; $Δ J$ = 0, ± 1.

A expressão "símbolo de termo" é derivada da "série de termos" associada aos estados de Rydberg de um átomo e seus níveis de energia . Na fórmula de Rydberg, a frequência ou número de onda da luz emitida por um átomo semelhante ao hidrogênio é proporcional à diferença entre os dois termos de uma transição. As séries conhecidas da espectroscopia inicial eram designadas como acentuada , principal , difusa e fundamental e, conseqüentemente, as letras $S, P, D$ e $F$ eram usadas para representar os estados de momento angular orbital de um átomo.

Efeitos relativísticos

Em átomos muito pesados, a mudança relativística das energias dos níveis de energia do elétron acentua o efeito de acoplamento spin-órbita. Assim, por exemplo, os diagramas orbitais moleculares do urânio devem incorporar diretamente símbolos relativísticos ao considerar as interações com outros átomos.

Acoplamento nuclear

Em núcleos atômicos, a interação spin-órbita é muito mais forte do que para elétrons atômicos e é incorporada diretamente no modelo de camada nuclear. Além disso, ao contrário dos símbolos do termo elétron-atômico, o estado de menor energia não é $L - S$ , mas sim $ℓ + s$ . Todos os níveis nuclear, cujas $ℓ$ valor (momento angular orbital) é maior do que zero são assim divididos no modelo shell para criar estados designados por $l + s$ e $ℓ - s$ . Devido à natureza do modelo de concha , o qual assume um potencial médio em vez de um potencial de Coulomb central, os núcleos que vão para o $ℓ + s$ e $l - s$ estados nucleares são considerados degenerada dentro de cada orbital (por exemplo, A 2 $p$ 3 / 2 contém quatro núcleons, todos com a mesma energia. Mais alto em energia é o 2 $p$ 1 / 2 que contém dois núcleons de energia igual).

Veja também

Notas

^ R. Resnick, R. Eisberg (1985). Quantum Physics of Atoms, Molecules, Solids, Nuclei and Particles (2ª ed.). John Wiley & Sons. ISBN 978-0-471-87373-0 .
^ PW Atkins (1974). Quanta: um manual de conceitos . Imprensa da Universidade de Oxford. ISBN 0-19-855493-1 .
^ Merzbacher, Eugen (1998). Mecânica Quântica (3ª ed.). John Wiley. pp. 428–429. ISBN 0-471-88702-1 .
^ The Russell Saunders Coupling Scheme RJ Lancashire, UCDavis ChemWiki (acessado em 26 de dezembro de 2015)
^ R. Resnick, R. Eisberg (1985). Quantum Physics of Atoms, Molecules, Solids, Nuclei and Particles (2ª ed.). John Wiley & Sons. p. 281 . ISBN 978-0-471-87373-0 .
^ BH Bransden, CJJoachain (1983). Física dos átomos e moléculas . Longman. pp. 339 –341. ISBN 0-582-44401-2 .
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^ PW Atkins (1974). Quanta: um manual de conceitos . Imprensa da Universidade de Oxford. p. 226. ISBN 0-19-855493-1 .
^ Herzberg, Gerhard (1945). Espectros atômicos e estrutura atômica . Nova York: Dover. pp. 54 -55. ISBN 0-486-60115-3 .

links externos

[1] R. Resnick, R. Eisberg (1985). Quantum Physics of Atoms, Molecules, Solids, Nuclei and Particles (2ª ed.). John Wiley & Sons. ISBN 978-0-471-87373-0 .

[2] PW Atkins (1974). Quanta: um manual de conceitos . Imprensa da Universidade de Oxford. ISBN 0-19-855493-1 .

[3] Merzbacher, Eugen (1998). Mecânica Quântica (3ª ed.). John Wiley. pp. 428–429. ISBN 0-471-88702-1 .

[4] The Russell Saunders Coupling Scheme RJ Lancashire, UCDavis ChemWiki (acessado em 26 de dezembro de 2015)

[5] R. Resnick, R. Eisberg (1985). Quantum Physics of Atoms, Molecules, Solids, Nuclei and Particles (2ª ed.). John Wiley & Sons. p. 281 . ISBN 978-0-471-87373-0 .

[6] BH Bransden, CJJoachain (1983). Física dos átomos e moléculas . Longman. pp. 339 –341. ISBN 0-582-44401-2 .

[7] R. Resnick, R. Eisberg (1985). Quantum Physics of Atoms, Molecules, Solids, Nuclei and Particles (2ª ed.). John Wiley & Sons. ISBN 978-0-471-87373-0 .

[8] PW Atkins (1974). Quanta: um manual de conceitos . Imprensa da Universidade de Oxford. p. 226. ISBN 0-19-855493-1 .

[9] Herzberg, Gerhard (1945). Espectros atômicos e estrutura atômica . Nova York: Dover. pp. 54 -55. ISBN 0-486-60115-3 .

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