Gravidade bimétrica - Bimetric gravity

A gravidade bimétrica ou bigravidade refere-se a duas classes diferentes de teorias. A primeira classe de teorias se baseia em teorias matemáticas modificadas da gravidade (ou gravitação) nas quais dois tensores métricos são usados ​​em vez de um. A segunda métrica pode ser introduzida em altas energias, com a implicação de que a velocidade da luz pode ser dependente da energia, permitindo modelos com velocidade variável da luz .

Se as duas métricas são dinâmicas e interagem, uma primeira possibilidade implica dois modos de gráviton , um massivo e outro sem massa; tais teorias bimétricas estão, então, intimamente relacionadas à gravidade massiva . Existem várias teorias bimétricas com grávitons massivos, como as atribuídas a Nathan Rosen (1909–1995) ou Mordehai Milgrom com extensões relativísticas da Dinâmica Newtoniana Modificada ( MOND ). Mais recentemente, desenvolvimentos na gravidade massiva também levaram a novas teorias consistentes da gravidade bimétrica. Embora nenhuma tenha sido mostrada para explicar as observações físicas com mais precisão ou mais consistência do que a teoria da relatividade geral , a teoria de Rosen mostrou ser inconsistente com as observações do pulsar binário de Hulse-Taylor . Algumas dessas teorias levam à aceleração cósmica em épocas tardias e são, portanto, alternativas à energia escura .

Ao contrário, a segunda classe de teorias da gravidade bimétrica não depende de grávitons massivos e não modifica a lei de Newton , mas descreve o universo como uma variedade com duas métricas Riemannianas acopladas , onde a matéria que povoa os dois setores interage por meio da gravitação (e antigravitação se a topologia e a aproximação newtoniana consideradas introduzem estados de massa negativa e energia negativa na cosmologia como uma alternativa à matéria escura e energia escura). Alguns desses modelos cosmológicos também usam uma velocidade variável da luz no estado de alta densidade de energia da era do universo dominada pela radiação , desafiando a hipótese da inflação .

Bigravidade de Rosen (1940 a 1989)

Na relatividade geral (GR), assume-se que a distância entre dois pontos no espaço - tempo é dada pelo tensor métrico . A equação de campo de Einstein é então usada para calcular a forma da métrica com base na distribuição de energia e momento.

Em 1940, Rosen propôs que em cada ponto do espaço-tempo, existe um tensor métrico euclidiano além do tensor métrico Riemanniano . Assim, em cada ponto do espaço-tempo, existem duas métricas: ${\ displaystyle \ gamma _ {ij}}$${\ displaystyle g_ {ij}}$

1. ${\ displaystyle ds ^ {2} = g_ {ij} dx ^ {i} dx ^ {j}}$
2. ${\ displaystyle d \ sigma ^ {2} = \ gamma _ {ij} dx ^ {i} dx ^ {j}}$

O primeiro tensor métrico,, descreve a geometria do espaço-tempo e, portanto, o campo gravitacional. O segundo tensor métrico,, refere-se ao espaço-tempo plano e descreve as forças inerciais. Os símbolos de Christoffel formados por e são denotados por e respectivamente. ${\ displaystyle g_ {ij}}$${\ displaystyle \ gamma _ {ij}}$${\ displaystyle g_ {ij}}$${\ displaystyle \ gamma _ {ij}}$${\ displaystyle \ {_ {jk} ^ {i} \}}$${\ displaystyle \ Gamma _ {jk} ^ {i}}$

Uma vez que a diferença de duas conexões é um tensor, pode-se definir o campo tensor dado por: ${\ displaystyle \ Delta _ {jk} ^ {i}}$

${\ displaystyle \ Delta _ {jk} ^ {i} = \ {_ {jk} ^ {i} \} - \ Gamma _ {jk} ^ {i}}$

( 1 )

Dois tipos de diferenciação covariante então surgem: -diferenciação baseada em (denotada por um ponto e vírgula, por exemplo ), e diferenciação covariante baseada em (denotada por uma barra, por exemplo ). Derivadas parciais ordinárias são representadas por uma vírgula (por exemplo ). Sejam e os tensores de curvatura de Riemann calculados de e , respectivamente. Na abordagem acima, o tensor de curvatura é zero, uma vez que é a métrica espaço-tempo plana. ${\ displaystyle g}$${\ displaystyle g_ {ij}}$${\ displaystyle X _ {; a}}$${\ displaystyle \ gamma _ {ij}}$${\ displaystyle X _ {/ a}}$${\ displaystyle X _ {, a}}$${\ displaystyle R_ {ijk} ^ {h}}$${\ displaystyle P_ {ijk} ^ {h}}$${\ displaystyle g_ {ij}}$${\ displaystyle \ gamma _ {ij}}$${\ displaystyle P_ {ijk} ^ {h}}$${\ displaystyle \ gamma _ {ij}}$

Um cálculo simples produz o tensor de curvatura de Riemann

${\ displaystyle {\ begin {alinhados} R_ {ijk} ^ {h} & ​​= P_ {ijk} ^ {h} - \ Delta _ {ij / k} ^ {h} + \ Delta _ {ik / j} ^ {h} + \ Delta _ {mj} ^ {h} \ Delta _ {ik} ^ {m} - \ Delta _ {mk} ^ {h} \ Delta _ {ij} ^ {m} \\ & = - \ Delta _ {ij / k} ^ {h} + \ Delta _ {ik / j} ^ {h} + \ Delta _ {mj} ^ {h} \ Delta _ {ik} ^ {m} - \ Delta _ {mk} ^ {h} \ Delta _ {ij} ^ {m} \ end {alinhado}}}$

Cada termo do lado direito é um tensor. Vê-se que a partir de GR pode-se ir para a nova formulação apenas substituindo {:} por e diferenciação ordinária por covariant -Diferenciação, por , medida de integração por , onde , e . Uma vez introduzidos na teoria, temos um grande número de novos tensores e escalares à disposição. Pode-se configurar outras equações de campo diferentes das de Einstein. É possível que alguns deles sejam mais satisfatórios para a descrição da natureza. ${\ displaystyle \ Delta}$${\ displaystyle \ gamma}$${\ displaystyle {\ sqrt {-g}}}$${\ displaystyle {\ sqrt {\ tfrac {g} {\ gamma}}}}$${\ displaystyle d ^ {4} x}$${\ displaystyle {\ sqrt {- \ gamma}} \, d ^ {4} x}$${\ displaystyle g = \ det (g_ {ij})}$${\ displaystyle \ gamma = \ det (\ gamma _ {ij})}$${\ displaystyle d ^ {4} x = dx ^ {1} dx ^ {2} dx ^ {3} dx ^ {4}}$${\ displaystyle \ gamma _ {ij}}$

A equação geodésica na relatividade bimétrica (BR) assume a forma

${\ displaystyle {\ frac {d ^ {2} x ^ {i}} {ds ^ {2}}} + \ Gamma _ {jk} ^ {i} {\ frac {dx ^ {j}} {ds} } {\ frac {dx ^ {k}} {ds}} + \ Delta _ {jk} ^ {i} {\ frac {dx ^ {j}} {ds}} {\ frac {dx ^ {k}} {ds}} = 0}$

( 2 )

É visto nas equações ( 1 ) e ( 2 ) que podem ser consideradas como descrevendo o campo inercial porque ele desaparece por uma transformação de coordenadas adequada. ${\ displaystyle \ Gamma}$

Sendo a quantidade um tensor, é independente de qualquer sistema de coordenadas e, portanto, pode ser considerada como descrevendo o campo gravitacional permanente. ${\ displaystyle \ Delta}$

Rosen (1973) encontrou BR satisfazendo o princípio de covariância e equivalência. Em 1966, Rosen mostrou que a introdução da métrica espacial no arcabouço da relatividade geral não só permite obter o tensor de densidade de momento de energia do campo gravitacional, mas também permite obter esse tensor a partir de um princípio variacional. As equações de campo de BR derivadas do princípio variacional são

${\ displaystyle K_ {j} ^ {i} = N_ {j} ^ {i} - {\ frac {1} {2}} \ delta _ {j} ^ {i} N = -8 \ pi \ kappa T_ {j} ^ {i}}$

( 3 )

Onde

${\ displaystyle N_ {j} ^ {i} = {\ frac {1} {2}} \ gamma ^ {\ alpha \ beta} (g ^ {hi} g_ {hj / \ alpha}) _ {/ \ beta }}$

ou

${\ displaystyle {\ begin {alinhados} N_ {j} ^ {i} & = {\ frac {1} {2}} \ gamma ^ {\ alpha \ beta} \ left \ {\ left (g ^ {hi} g_ {hj, \ alpha} \ right) _ {, \ beta} - \ left (g ^ {hi} g_ {mj} \ Gamma _ {h \ alpha} ^ {m} \ right) _ {, \ beta} - \ gamma ^ {\ alpha \ beta} \ left (\ Gamma _ {j \ alpha} ^ {i} \ right) _ {, \ beta} + \ Gamma _ {\ lambda \ beta} ^ {i} \ left [g ^ {h \ lambda} g_ {hj, \ alpha} -g ^ {h \ lambda} g_ {mj} \ Gamma _ {h \ alpha} ^ {m} - \ Gamma _ {j \ alpha} ^ { \ lambda} \ right] - \ right. \\ & \ qquad \ Gamma _ {j \ beta} ^ {\ lambda} \ left [g ^ {hi} g_ {h \ lambda, \ alpha} -g ^ {hi } g_ {m \ lambda} \ Gamma _ {h \ alpha} ^ {m} - \ Gamma _ {\ lambda \ alpha} ^ {i} \ right] + \ Gamma _ {\ alpha \ beta} ^ {\ lambda } \ left. \ left [g ^ {hi} g_ {hj, \ lambda} -g ^ {hi} g_ {mj} \ Gamma _ {h \ lambda} ^ {m} - \ Gamma _ {j \ lambda} ^ {i} \ right] \ right \} \ end {alinhado}}}$

com

${\ displaystyle N = g ^ {ij} N_ {ij}}$, ${\ displaystyle \ kappa = {\ sqrt {\ frac {g} {\ gamma}}}}$

e é o tensor de energia-momento. ${\ displaystyle T_ {j} ^ {i}}$

O princípio variacional também leva à relação

${\ displaystyle T_ {j; i} ^ {i} = 0}$.

Portanto, de ( 3 )

${\ displaystyle K_ {j; i} ^ {i} = 0}$,

o que implica que em um BR, uma partícula de teste em um campo gravitacional se move em uma geodésica em relação a${\ displaystyle g_ {ij}.}$

Rosen continuou a aprimorar sua teoria da gravidade bimétrica com publicações adicionais em 1978 e 1980, nas quais ele fez uma tentativa "para remover singularidades que surgem na relatividade geral, modificando-a de modo a levar em consideração a existência de uma estrutura de repouso fundamental no universo". Em 1985, Rosen tentou novamente remover singularidades e pseudotensores da Relatividade Geral. Duas vezes em 1989, com publicações em março e novembro, Rosen desenvolveu ainda mais seu conceito de partículas elementares em um campo bimétrico da Relatividade Geral.

Verifica-se que as teorias BR e GR diferem nos seguintes casos:

• propagação de ondas eletromagnéticas
• o campo externo de uma estrela de alta densidade
• o comportamento de ondas gravitacionais intensas propagando-se através de um forte campo gravitacional estático.

As previsões de radiação gravitacional na teoria de Rosen foram mostradas desde 1992 para estar em conflito com as observações do pulsar binário Hulse-Taylor .

Bigravidade maciça

Desde 2010, tem havido um interesse renovado na bigravidade após o desenvolvimento por Claudia de Rham , Gregory Gabadadze e Andrew Tolley (dRGT) de uma teoria saudável da gravidade massiva. Gravidade maciça é uma teoria bimétrica no sentido de que termos de interação não triviais para a métrica só podem ser escritos com a ajuda de uma segunda métrica, já que o único termo não derivativo que pode ser escrito usando uma métrica é uma constante cosmológica . Na teoria dRGT, uma "métrica de referência" não-dinâmica é introduzida e os termos de interação são construídos a partir da raiz quadrada da matriz de . ${\ displaystyle g _ {\ mu \ nu}}$${\ displaystyle f _ {\ mu \ nu}}$${\ displaystyle g ^ {- 1} f}$

Na gravidade massiva dRGT, a métrica de referência deve ser especificada manualmente. Pode-se dar à métrica de referência um termo de Einstein-Hilbert , caso em que não é escolhido, mas, em vez disso, evolui dinamicamente em resposta e possivelmente matéria. Esta bigravidade massiva foi introduzida por Fawad Hassan e Rachel Rosen como uma extensão da gravidade massiva dRGT. ${\ displaystyle f _ {\ mu \ nu}}$${\ displaystyle g _ {\ mu \ nu}}$

A teoria dRGT é crucial para desenvolver uma teoria com duas métricas dinâmicas porque as teorias bimétricas gerais são infestadas pelo fantasma de Boulware-Deser , uma possível sexta polarização para um gráviton massivo. O potencial dRGT é construído especificamente para tornar esse fantasma não-dinâmico e, enquanto o termo cinético para a segunda métrica for da forma de Einstein-Hilbert, a teoria resultante permanecerá livre de fantasmas.

A ação para a bigravidade maciça livre de fantasmas é dada por

${\ displaystyle S = - {\ frac {M_ {g} ^ {2}} {2}} \ int d ^ {4} x {\ sqrt {-g}} R (g) - {\ frac {M_ { f} ^ {2}} {2}} \ int d ^ {4} x {\ sqrt {-f}} R (f) + m ^ {2} M_ {g} ^ {2} \ int d ^ { 4} x {\ sqrt {-g}} \ displaystyle \ sum _ {n = 0} ^ {4} \ beta _ {n} e_ {n} (\ mathbb {X}) + \ int d ^ {4} x {\ sqrt {-g}} {\ mathcal {L}} _ {\ mathrm {m}} (g, \ Phi _ {i}).}$

Como na relatividade geral padrão, a métrica possui um termo cinético de Einstein-Hilbert proporcional ao escalar de Ricci e um acoplamento mínimo à matéria lagrangiana , com representação de todos os campos de matéria, como os do Modelo Padrão . Um termo Einstein-Hilbert também é dado para . Cada métrica tem sua própria massa de Planck , denotada e respectivamente. O potencial de interação é o mesmo da gravidade massiva dRGT. O são as constantes de acoplamento e adimensionais (ou especificamente ) está relacionada com a massa do gravitão maciça. Esta teoria propaga sete graus de liberdade, correspondendo a um gráviton sem massa e um gráviton massivo (embora os estados massivo e sem massa não se alinhem com nenhuma das métricas). ${\ displaystyle g _ {\ mu \ nu}}$ ${\ displaystyle R (g)}$${\ displaystyle {\ mathcal {L}} _ {\ mathrm {m}}}$${\ displaystyle \ Phi _ {i}}$${\ displaystyle f _ {\ mu \ nu}}$${\ displaystyle M_ {g}}$${\ displaystyle M_ {f}}$${\ displaystyle \ beta _ {i}}$${\ displaystyle m}$${\ displaystyle \ beta _ {i} ^ {1/2} m}$

O potencial de interação é construído a partir dos polinômios simétricos elementares dos autovalores das matrizes ou , parametrizados por constantes de acoplamento adimensionais ou , respectivamente. Aqui está a raiz quadrada da matriz da matriz . Escrito em notação de índice, é definido pela relação ${\ displaystyle e_ {n}}$${\ displaystyle \ mathbb {K} = \ mathbb {I} - {\ sqrt {g ^ {- 1} f}}}$${\ displaystyle \ mathbb {X} = {\ sqrt {g ^ {- 1} f}}}$${\ displaystyle \ alpha _ {i}}$${\ displaystyle \ beta _ {i}}$${\ displaystyle {\ sqrt {g ^ {- 1} f}}}$${\ displaystyle g ^ {- 1} f}$${\ displaystyle \ mathbb {X}}$

${\ displaystyle X ^ {\ mu} {} _ {\ alpha} X ^ {\ alpha} {} _ {\ nu} = g ^ {\ mu \ alpha} f _ {\ nu \ alpha}.}$

A pode ser escrito diretamente em termos de como ${\ displaystyle e_ {n}}$${\ displaystyle \ mathbb {X}}$

${\ displaystyle {\ begin {alinhados} e_ {0} (\ mathbb {X}) & = 1, \\ e_ {1} (\ mathbb {X}) & = [\ mathbb {X}], \\ e_ {2} (\ mathbb {X}) & = {\ frac {1} {2}} \ left ([\ mathbb {X}] ^ {2} - [\ mathbb {X} ^ {2}] \ right ), \\ e_ {3} (\ mathbb {X}) & = {\ frac {1} {6}} \ left ([\ mathbb {X}] ^ {3} -3 [\ mathbb {X}] [\ mathbb {X} ^ {2}] + 2 [\ mathbb {X} ^ {3}] \ direita), \\ e_ {4} (\ mathbb {X}) & = \ operatorname {det} \ mathbb {X}, \ end {alinhado}}}$

onde parênteses indicam um traço , . É a combinação antissimétrica particular de termos em cada um dos que é responsável por tornar o fantasma de Boulware-Deser não-dinâmico. ${\ displaystyle [\ mathbb {X}] \ equiv X ^ {\ mu} {} _ {\ mu}}$${\ displaystyle e_ {n}}$

Veja também

• Alternativas para a relatividade geral
• Modelo DGP
• Teoria escalar-tensor

Referências