Gravidade maciça - Massive gravity

Na física teórica , a gravidade massiva é uma teoria da gravidade que modifica a relatividade geral ao dotar o gráviton com uma massa diferente de zero . Na teoria clássica, isso significa que as ondas gravitacionais obedecem a uma equação de onda massiva e, portanto, viajam a velocidades abaixo da velocidade da luz .

A gravidade maciça tem uma história longa e sinuosa, que remonta à década de 1930, quando Wolfgang Pauli e Markus Fierz desenvolveram pela primeira vez uma teoria de um campo massivo de spin 2 propagando-se em um plano de fundo do espaço - tempo . Mais tarde, foi percebido na década de 1970 que as teorias de um gráviton massivo sofriam de patologias perigosas, incluindo um modo fantasma e uma descontinuidade com a relatividade geral no limite em que a massa do gráviton vai a zero. Embora as soluções para esses problemas já existissem por algum tempo em três dimensões do espaço-tempo, elas não foram resolvidas em quatro dimensões e superiores até o trabalho de Claudia de Rham , Gregory Gabadadze e Andrew Tolley (modelo dRGT) em 2010.

Uma das primeiras teorias da gravidade maciça foi construída em 1965 por Ogievetsky e Polubarinov (OP). Apesar de o modelo OP coincidir com os modelos de gravidade massiva livres de fantasmas redescobertos em dRGT, o modelo OP tem sido quase desconhecido entre os físicos contemporâneos que trabalham com gravidade massiva, talvez porque a estratégia seguida naquele modelo fosse bastante diferente do que é geralmente adotado atualmente. A gravidade dual massiva para o modelo OP pode ser obtida acoplando o campo gravitacional dual à curva de seu próprio tensor de energia-momento. Uma vez que a força do campo simétrico misto de gravidade dual é comparável ao tensor de curvatura extrínseca totalmente simétrica da teoria de Galileons, o Lagrangiano efetivo do modelo dual em 4-D pode ser obtido a partir da recursão Faddeev-LeVerrier , que é semelhante à de Teoria de Galileon até os termos contendo polinômios do traço da intensidade do campo. Isso também se manifesta na formulação dual da teoria de Galileu.

O fato de a relatividade geral ser modificada a grandes distâncias na gravidade massiva fornece uma possível explicação para a expansão acelerada do Universo que não requer nenhuma energia escura . A gravidade maciça e suas extensões, como a gravidade bimétrica , podem produzir soluções cosmológicas que de fato exibem aceleração no tempo tardio de acordo com as observações.

As observações das ondas gravitacionais restringiram o comprimento de onda Compton do gráviton a λ _g >1,6 × 10 ¹⁶  m , que pode ser interpretado como um limite na massa de gráviton m _g <7,7 × 10 ⁻²³  eV / c ² . Limites competitivos na massa do gráviton também foram obtidos a partir de medições do sistema solar por missões espaciais como Cassini e MESSENGER , que em vez disso fornecem a restrição λ _g >1,83 × 10 ¹⁶  m ou m _g <6,76 × 10 ⁻²³  eV / c ² .

Gravidade maciça linearizada

No nível linear, pode-se construir uma teoria de um campo massivo de spin -2 que se propaga no espaço de Minkowski . Isso pode ser visto como uma extensão da gravidade linearizada da seguinte maneira. A gravidade linearizada é obtida linearizando a relatividade geral em torno do espaço plano,, onde é a massa de Planck com a constante gravitacional . Isso leva a um termo cinético no Lagrangiano para o qual é consistente com a invariância do difeomorfismo , bem como um acoplamento à matéria da forma ${\ displaystyle h _ {\ mu \ nu}}$${\ displaystyle g _ {\ mu \ nu} = \ eta _ {\ mu \ nu} + M _ {\ mathrm {Pl}} ^ {- 1} h _ {\ mu \ nu}}$${\ displaystyle M _ {\ mathrm {Pl}} = (8 \ pi G) ^ {- 1/2}}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle h _ {\ mu \ nu}}$

${\ displaystyle h ^ {\ mu \ nu} T _ {\ mu \ nu},}$

onde está o tensor tensão-energia . Este termo cinético e acoplamento de matéria combinados nada mais são do que a ação de Einstein-Hilbert linearizada sobre o espaço plano. ${\ displaystyle T _ {\ mu \ nu}}$

A gravidade massiva é obtida adicionando termos de interação não derivativos para . No nível linear (ou seja, de segunda ordem ), existem apenas dois termos de massa possíveis: ${\ displaystyle h _ {\ mu \ nu}}$${\ displaystyle h _ {\ mu \ nu}}$

${\ displaystyle {\ mathcal {L}} _ {\ mathrm {int}} = ah ^ {\ mu \ nu} h _ {\ mu \ nu} + b \ left (\ eta ^ {\ mu \ nu} h_ { \ mu \ nu} \ right) ^ {2}.}$

Fierz e Pauli mostraram em 1939 que isso apenas propaga as cinco polarizações esperadas de um gráviton massivo (em comparação com duas para o caso sem massa) se os coeficientes forem escolhidos dessa forma . Qualquer outra escolha desbloqueará um sexto grau de liberdade fantasmagórico. Um fantasma é um modo com energia cinética negativa. Seu hamiltoniano é ilimitado de baixo para cima e, portanto, é instável decair em partículas de energias positivas e negativas arbitrariamente grandes. O termo em massa de Fierz-Pauli , ${\ displaystyle a = -b}$

${\ displaystyle {\ mathcal {L}} _ {\ mathrm {FP}} = m ^ {2} \ left (h ^ {\ mu \ nu} h _ {\ mu \ nu} - \ left (\ eta ^ { \ mu \ nu} h _ {\ mu \ nu} \ direita) ^ {2} \ direita)}$

é, portanto, a única teoria linear consistente de um campo massivo de spin 2.

A descontinuidade vDVZ

Na década de 1970, Hendrik van Dam e Martinus JG Veltman e, independentemente, Valentin I. Zakharov descobriram uma propriedade peculiar da gravidade maciça de Fierz – Pauli: suas previsões não se reduzem uniformemente às da relatividade geral no limite . Em particular, enquanto em escalas pequenas (mais curtas do que o comprimento de onda Compton da massa do gráviton), a lei gravitacional de Newton é recuperada, a curvatura da luz é apenas três quartos do resultado que Albert Einstein obteve na relatividade geral. Isso é conhecido como descontinuidade do vDVZ . ${\ displaystyle m \ a 0}$

Podemos entender a curvatura de luz menor da seguinte maneira. O gráviton massivo de Fierz – Pauli, devido à invariância do difeomorfismo quebrado , propaga três graus extras de liberdade em comparação com o gráviton sem massa da relatividade geral linearizada. Esses três graus de liberdade se agrupam em um campo vetorial, que é irrelevante para nossos propósitos, e um campo escalar. Este modo escalar exerce uma atração extra no caso massivo em comparação com o caso sem massa. Portanto, se alguém deseja que as medições da força exercida entre massas não relativísticas concordem, a constante de acoplamento da teoria massiva deve ser menor do que a da teoria sem massa. Mas a curvatura da luz é cega para o setor escalar, porque o tensor de energia de tensão da luz não tem rastros. Conseqüentemente, desde que as duas teorias concordem sobre a força entre as sondas não relativísticas, a teoria massiva preveria uma curvatura de luz menor do que a sem massa.

Triagem Vainshtein

Foi argumentado por Vainshtein dois anos depois que a descontinuidade do vDVZ é um artefato da teoria linear e que as previsões da relatividade geral são de fato recuperadas em pequenas escalas quando se leva em conta os efeitos não lineares, ou seja, superiores aos termos quadráticos em . Falando heuristicamente, dentro de uma região conhecida como raio de Vainshtein , as flutuações do modo escalar tornam-se não lineares e seus termos derivados de ordem superior tornam-se maiores do que o termo cinético canônico. Normalizar canonicamente o escalar em torno desse plano de fundo, portanto, leva a um termo cinético fortemente suprimido, que amortece as flutuações do escalar dentro do raio de Vainshtein. Como a força extra mediada pelo escalar é proporcional (menos) ao seu gradiente, isso leva a uma força extra muito menor do que teríamos calculado usando apenas a teoria linear de Fierz – Pauli. ${\ displaystyle h _ {\ mu \ nu}}$

Este fenômeno, conhecido como blindagem Vainshtein , está em jogo não apenas na gravidade massiva, mas também em teorias relacionadas da gravidade modificada, como DGP e certas teorias escalar-tensor , onde é crucial para esconder os efeitos da gravidade modificada no sistema solar . Isso permite que essas teorias correspondam aos testes de gravidade terrestre e do sistema solar , bem como à relatividade geral, enquanto mantém grandes desvios em distâncias maiores. Dessa forma, essas teorias podem levar à aceleração cósmica e ter marcas observáveis ​​na estrutura em grande escala do Universo, sem entrar em conflito com outras restrições muito mais rigorosas de observações mais próximas de casa.

O fantasma Boulware-Deser

Em resposta ao modelo de gravidade de intervalo finito de Freund –Maheshwari – Schonberg , e na mesma época em que a descontinuidade vDVZ e o mecanismo Vainshtein foram descobertos, David Boulware e Stanley Deser descobriram em 1972 que extensões não lineares genéricas da teoria de Fierz – Pauli reintroduziram o modo fantasma perigoso; a afinação que assegurava a ausência desse modo na ordem quadrática era, eles descobriram, geralmente quebrada nas ordens cúbicas e superiores, reintroduzindo o fantasma nessas ordens. Como resultado, esse fantasma de Boulware-Deser estaria presente, por exemplo, em fundos altamente não homogêneos. ${\ displaystyle a = -b}$

Isso é problemático porque uma teoria da gravidade linearizada, como Fierz – Pauli, é bem definida por si só, mas não pode interagir com a matéria, pois o acoplamento quebra a invariância do difeomorfismo. Isso deve ser remediado adicionando novos termos em ordens cada vez mais altas, ad infinitum . Para um gráviton sem massa, esse processo converge e o resultado final é bem conhecido: basta chegar à relatividade geral. Este é o significado da afirmação de que a relatividade geral é a teoria única (até as condições de dimensionalidade, localidade, etc.) de um campo de spin 2 sem massa. ${\ displaystyle h ^ {\ mu \ nu} T _ {\ mu \ nu}}$

Para que a gravidade massiva realmente descreva a gravidade, ou seja, um campo massivo de spin 2 acoplando-se à matéria e, portanto, mediando a força gravitacional, uma conclusão não linear deve ser obtida de forma semelhante. O fantasma de Boulware-Deser apresenta um sério obstáculo a tal empreendimento. A grande maioria das teorias de campos de spin-2 massivos e interativos sofrerão com esse fantasma e, portanto, não serão viáveis. Na verdade, até 2010, acreditava-se amplamente que todas as teorias da gravidade maciça invariante de Lorentz possuíam o fantasma de Boulware-Deser.

Gravidade maciça livre de fantasmas

Em 2010, um grande avanço foi alcançado quando de Rham , Gabadadze e Tolley construíram, ordem por ordem, uma teoria da gravidade massiva com coeficientes ajustados para evitar o fantasma de Boulware-Deser ao empacotar todos os operadores fantasmagóricos (isto é, derivados superiores) em derivados totais que não contribuem para as equações de movimento. A completa ausência do fantasma Boulware-Deser, para todas as ordens e além do limite de desacoplamento, foi posteriormente comprovada por Fawad Hassan e Rachel Rosen .

A ação para a gravidade maciça livre de fantasmas de Rham –Gabadadze – Tolley (dRGT) é dada por

${\ displaystyle S = \ int d ^ {4} x {\ sqrt {-g}} \ left (- {\ frac {M _ {\ mathrm {Pl}} ^ {2}} {2}} R + m ^ {2} M _ {\ mathrm {Pl}} ^ {2} \ sum _ {n = 0} ^ {4} \ alpha _ {n} e_ {n} (\ mathbb {K}) + {\ mathcal {L }} _ {\ mathrm {m}} (g, \ Phi _ {i}) \ right),}$

ou equivalente,

${\ displaystyle S = \ int d ^ {4} x {\ sqrt {-g}} \ left (- {\ frac {M _ {\ mathrm {Pl}} ^ {2}} {2}} R + m ^ {2} M _ {\ mathrm {Pl}} ^ {2} \ sum _ {n = 0} ^ {4} \ beta _ {n} e_ {n} (\ mathbb {X}) + {\ mathcal {L }} _ {\ mathrm {m}} (g, \ Phi _ {i}) \ right).}$

Os ingredientes requerem alguma explicação. Como na relatividade geral padrão, existe um termo cinético de Einstein-Hilbert proporcional ao escalar de Ricci e um acoplamento mínimo à matéria lagrangiana , com representação de todos os campos de matéria, como os do Modelo Padrão . A nova peça é um termo de massa, ou potencial de interação, construído cuidadosamente para evitar o fantasma de Boulware-Deser, com uma força de interação que é (se o diferente de zero for ) intimamente relacionada à massa do gráviton. ${\ displaystyle R}$${\ displaystyle {\ mathcal {L}} _ {\ mathrm {m}}}$${\ displaystyle \ Phi _ {i}}$${\ displaystyle m}$${\ displaystyle \ beta _ {i}}$${\ displaystyle {\ mathcal {O}} (1)}$

O princípio da invariância de calibre renderiza expressões redundantes em qualquer teoria de campo fornecida com seu (s) calibre (s) correspondente (s). Por exemplo, na ação Proca de spin 1 massivo, a parte massiva no Lagrangiano quebra a invariância de calibre. No entanto, a invariância é restaurada pela introdução das transformações: ${\ displaystyle {\ frac {1} {2}} mA _ {\ mu} A ^ {\ mu}}$${\ displaystyle U (1)}$

${\ displaystyle A _ {\ mu} \ to A _ {\ mu} + \ partial _ {\ mu} \ pi}$. O mesmo pode ser feito para a gravidade massiva seguindo a teoria de campo efetivo de Arkani-Hamed, Georgi e Schwartz para a gravidade massiva. A ausência de descontinuidade vDVZ nesta abordagem motivou o desenvolvimento da retomada dRGT da teoria da gravidade massiva como segue.

O potencial de interação é construído a partir dos polinômios simétricos elementares dos autovalores das matrizes ou , parametrizados por constantes de acoplamento adimensionais ou , respectivamente. Aqui está a raiz quadrada da matriz da matriz . Escrito em notação de índice, é definido pela relação . Introduzimos uma métrica de referência para construir o termo de interação. Há uma razão simples para isso: é impossível construir um termo de interação não trivial (isto é, não derivado) sozinho. As únicas possibilidades são e , as quais levam a um termo constante cosmológico, em vez de uma interação genuína . Fisicamente, corresponde à métrica de fundo em torno da qual as flutuações assumem a forma Fierz-Pauli. Isso significa que, por exemplo, completar não linearmente a teoria de Fierz-Pauli em torno do espaço de Minkowski dado acima levará a dRGT gravidade massiva com , embora a prova de ausência do fantasma de Boulware-Deser valha para geral . ${\ displaystyle e_ {n}}$${\ textstyle \ mathbb {K} = \ mathbb {I} - {\ sqrt {g ^ {- 1} f}}}$${\ textstyle \ mathbb {X} = {\ sqrt {g ^ {- 1} f}}}$${\ displaystyle \ alpha _ {i}}$${\ displaystyle \ beta _ {i}}$${\ textstyle {\ sqrt {g ^ {- 1} f}}}$${\ displaystyle g ^ {- 1} f}$${\ displaystyle \ mathbb {X}}$${\ displaystyle X ^ {\ mu} {} _ {\ alpha} X ^ {\ alpha} {} _ {\ nu} = g ^ {\ mu \ alpha} f _ {\ nu \ alpha}.}$ ${\ displaystyle f _ {\ mu \ nu}}$${\ displaystyle g _ {\ mu \ nu}}$${\ displaystyle g ^ {\ mu \ alpha} g _ {\ alpha \ nu} = \ delta _ {\ nu} ^ {\ mu}}$${\ displaystyle \ operatorname {det} g}$${\ displaystyle f _ {\ mu \ nu}}$${\ displaystyle f _ {\ mu \ nu} = \ eta _ {\ mu \ nu}}$${\ displaystyle f _ {\ mu \ nu}}$

A métrica de referência se transforma como um tensor métrico sob difeomorfismo Portanto , e termos semelhantes com potências maiores, transforma-se como um escalar sob o mesmo difeomorfismo. Para uma mudança nas coordenadas , expandimos com tal que a métrica perturbada se torna , enquanto o vetor potencial-like se transforma de acordo com o truque de Stueckelberg como tal que o campo de Stueckelberg é definido como . A partir do difeomorfismo, pode-se definir outra matriz de Stueckelberg , onde e têm os mesmos autovalores. Agora, considera-se as seguintes simetrias: ${\ displaystyle f _ {\ mu \ nu} \ to f '_ {\ mu \ nu} (X (x)) \ equiv f _ {\ alpha \ beta} \ partial _ {\ mu} X ^ {\ alpha} \ parcial _ {\ nu} X ^ {\ beta}.}$${\ displaystyle [\ mathbb {X} ^ {2}] = X ^ {\ mu} {} _ {\ alpha} X ^ {\ alpha} {} _ {\ mu} = g ^ {\ mu \ alpha} f _ {\ mu \ alpha}}$${\ displaystyle x _ {\ mu} \ to x _ {\ mu} + \ xi _ {\ mu}}$${\ displaystyle X ^ {\ mu} = x ^ {\ mu} - \ phi ^ {\ mu}}$${\ displaystyle f _ {\ mu \ nu} = \ eta _ {\ mu \ nu}}$${\ displaystyle h _ {\ mu \ nu} \ to h '_ {\ mu \ nu} = h _ {\ mu \ nu} + \ parcial _ {\ mu} \ phi _ {\ nu} + \ parcial _ {\ nu} \ phi _ {\ mu} - \ parcial _ {\ mu} \ phi ^ {\ alpha} \ parcial _ {\ nu} \ phi _ {\ alpha}}$${\ displaystyle \ phi _ {\ mu} \ to \ phi _ {\ mu} + \ xi _ {\ mu}}$${\ displaystyle \ phi ^ {\ mu} = \ eta ^ {\ mu \ nu} (A _ {\ nu} - \ parcial _ {\ nu} \ pi)}$${\ displaystyle \ mathbb {Y} _ {~ b} ^ {a} \ equiv f_ {bc} g ^ {\ mu \ nu} \ parcial _ {\ mu} X ^ {a} \ parcial _ {\ nu} X ^ {c}}$${\ displaystyle \ mathbb {Y} _ {~ b} ^ {a}}$${\ displaystyle \ mathbb {X} _ {~ b} ^ {a}}$

• ${\ displaystyle \ delta h _ {\ mu \ nu} = \ partial _ {\ mu} \ xi _ {\ nu} + \ partial _ {\ nu} \ xi _ {\ mu} + {\ frac {2} { M _ {\ text {Pl}}}} {\ mathcal {L}} _ {\ xi} h _ {\ mu \ nu}}$,
• ${\ displaystyle \ delta A _ {\ mu} = \ partial _ {\ mu} \ pi -m \ xi _ {\ mu} + {\ frac {2} {M _ {\ text {Pl}}}} \ xi ^ {\ alpha} \ partial _ {\ alpha} A _ {\ mu}}$,
• ${\ displaystyle \ delta \ pi = -m \ pi}$,

de modo que a métrica perturbada transformada se torna: ${\ displaystyle h '_ {\ mu \ nu} = h _ {\ mu \ nu} + \ parcial _ {\ mu} A _ {\ nu} + \ parcial _ {\ nu} A _ {\ mu} - \ parcial _ {\ mu} A ^ {\ alpha} \ partial _ {\ nu} A _ {\ alpha} - \ partial _ {\ mu} A ^ {\ alpha} \ partial _ {\ nu} \ partial _ {\ alpha} \ pi - \ parcial _ {\ mu} \ parcial _ {\ alpha} \ pi \ parcial _ {\ nu} A ^ {\ alpha} -2 \ parcial _ {\ mu} \ parcial _ {\ nu} \ pi - \ parcial _ {\ mu} \ parcial _ {\ alfa} \ pi \ \ parcial _ {\ nu} \ parcial ^ {\ alfa} \ pi.}$

A forma covariante dessas transformações é obtida como segue. Se o modo helicidade-0 (ou spin-0) é um medidor puro de modos Goldstone não físicos, com , a matriz é uma função tensorial do tensor de covariantização da perturbação métrica de modo que o tensor é Stueckelbergized pelo campo . O modo Helicity-0 se transforma sob as transformações Galileanas , daí o nome "Galileons". A matriz é uma função tensorial do tensor de covariantização da perturbação métrica com os componentes dados por , onde é a curvatura extrínseca. ${\ displaystyle \ pi}$${\ displaystyle \ Pi _ {\ mu \ nu} = \ nabla _ {\ mu} \ nabla _ {\ nu} \ pi}$${\ displaystyle {\ displaystyle \ mathbb {X}}}$${\ displaystyle {\ displaystyle H _ {\ mu \ nu} = \ eta _ {\ mu \ nu} +2 {\ Pi} _ {\ mu \ nu} - \ eta ^ {\ alpha \ beta} {\ Pi} _ {\ mu \ alpha} {\ Pi} _ {\ beta \ nu}} = \ eta _ {\ mu \ nu} + h _ {\ mu \ nu} - \ eta _ {ab} \ nabla _ {\ mu } \ phi ^ {a} \ nabla _ {\ nu} \ phi ^ {b}}$${\ displaystyle {\ displaystyle h _ {\ mu \ nu}}}$${\ displaystyle H _ {\ mu \ nu}}$${\ displaystyle \ phi ^ {a} = A ^ {a} - \ eta ^ {a \ mu} \ nabla _ {\ mu} \ pi}$${\ displaystyle \ pi \ to \ pi + c + v _ {\ mu} x ^ {\ mu}}$${\ displaystyle \ mathbb {X}}$${\ displaystyle H _ {\ mu \ nu} \ equiv g _ {\ mu \ nu} -f '_ {\ mu \ nu}}$${\ displaystyle h _ {\ mu \ nu}}$${\ displaystyle {\ displaystyle \ mathbb {X} _ {\ mu \ nu} = \ eta _ {\ mu \ nu} +2 {\ mathcal {K}} _ {\ mu \ nu} - \ eta ^ {\ alpha \ beta} {\ mathcal {K}} _ {\ mu \ alpha} {\ mathcal {K}} _ {\ beta \ nu}}}$${\ textstyle {\ mathcal {K}} _ {\ mu \ nu} = \ eta _ {\ mu \ nu} - \ left ({\ sqrt {\ mathbb {X}}} \ right) _ {\ mu \ nu} = \ eta _ {\ mu \ nu} - {\ sqrt {\ eta _ {\ mu \ nu} -H _ {\ mu \ nu}}}}$

Curiosamente, o tensor de covariantização foi originalmente introduzido por Maheshwari em uma sequência de papel de autoria solo para helicity- ( ) Freund-Maheshwari-Schonberg modelo de gravitação de alcance finito. No trabalho de Maheshwari, a perturbação métrica obedece à condição de Hilbert-Lorentz sob a variação que é introduzida na gravidade maciça de Ogievetsky-Polubarinov, onde deve ser determinada. É fácil notar a semelhança entre o tensor em dRGT e o tensor no trabalho de Maheshwari, uma vez escolhido. Também o modelo de Ogievetsky – Polubarinov manda , o que significa que em 4D , a variação é conforme. ${\ displaystyle 2 \ oplus 0}$${\ displaystyle m ^ {2} (\ partial _ {\ nu} h _ {\ mu \ nu} + q \ partial _ {\ mu} h) = 0}$${\ displaystyle \ delta ^ {*} h _ {\ mu \ nu} = \ delta h _ {\ mu \ nu} + \ delta h _ {\ mu \ nu} ^ {spin} = \ partial _ {\ mu} \ xi _ {\ nu} + \ parcial _ {\ nu} \ xi _ {\ mu} + p \ eta _ {\ mu \ nu} h + \ delta h _ {\ mu \ nu} ^ {spin}}$${\ displaystyle p ~ {\ text {e}} ~ q}$${\ displaystyle \ mathbb {X}}$${\ displaystyle h _ {(p)} ^ {\ mu \ nu} = (\ eta ^ {\ mu \ nu} -n \ psi ^ {\ mu \ nu}) ^ {1 / n}}$${\ displaystyle n = 2}$${\ displaystyle n = -1 / p}$${\ textstyle p = -1 / n = - {\ frac {1} {2}}}$${\ displaystyle \ delta h _ {\ mu \ nu}}$

Os campos massivos dRGT dividem-se em dois graus de liberdade de helicidade-2 , duas helicidade-1 e uma helicidade-0 , assim como os da teoria maciça de Fierz-Pauli. No entanto, a covariantização, juntamente com o limite de desacoplamento , garantem que as simetrias desta teoria massiva sejam reduzidas à simetria da relatividade geral linearizada mais aquela da teoria massiva, enquanto o escalar se desacopla. Se for escolhido para ser sem divergência, ou seja , o limite de desacoplamento de dRGT dá a gravidade linearizada conhecida. Para ver como isso acontece, expanda os termos que contêm na ação em potências de , onde é expresso em termos de campos, como como é expresso em termos de . Os campos são substituídas por: . Então, segue-se que no limite de desacoplamento , ou seja, quando ambos , a gravidade massiva Lagrangiana é invariante sob: ${\ displaystyle h _ {\ mu \ nu}}$${\ displaystyle A _ {\ mu}}$${\ displaystyle \ pi}$${\ displaystyle U (1)}$${\ displaystyle v _ {\ mu}}$${\ displaystyle \ Box \ pi = 0}$${\ displaystyle {\ mathcal {K}} _ {\ mu \ nu}}$${\ displaystyle H _ {\ mu \ nu}}$${\ displaystyle H _ {\ mu \ nu}}$${\ displaystyle \ phi ^ {a}}$${\ displaystyle h '_ {\ mu \ nu}}$${\ displaystyle A ^ {\ mu}}$${\ displaystyle h _ {\ mu \ nu} \, \ A _ {\ mu} \, \ \ pi}$${\ displaystyle {\ tilde {h}} _ {\ mu \ nu} = M _ {\ text {Pl}} h _ {\ mu \ nu} \, \ {\ tilde {A}} _ {\ mu} = M_ {\ text {Pl}} m \ A _ {\ mu} \, \ {\ tilde {\ pi}} = M _ {\ text {Pl}} m ^ {2} \ pi \, \ {\ hat {h} } _ {\ mu \ nu} = {\ tilde {h}} _ {\ mu \ nu} - \ eta _ {\ mu \ nu} {\ tilde {\ pi}}}$${\ displaystyle M _ {\ text {Pl}} \ to \ infty \, m \ to 0 \, \ m ^ {2} M _ {\ text {Pl}} = {\ text {const.}}}$

1. ${\ displaystyle \ delta h _ {\ mu \ nu} = \ parcial _ {\ mu} \ xi _ {\ nu} + \ parcial _ {\ nu} \ xi _ {\ mu}}$ como na teoria da relatividade geral linearizada,
2. ${\ displaystyle \ delta A _ {\ mu} = \ parcial _ {\ mu} \ pi}$ como na teoria eletromagnética de Maxwell,
3. ${\ displaystyle \ delta \ pi = 0}$.

Em princípio, a métrica de referência deve ser especificada à mão e, portanto, não há uma única teoria da gravidade massiva dRGT, já que a teoria com uma métrica de referência plana é diferente daquela com uma métrica de referência de Sitter , etc. Alternativamente, pode-se pensar em como uma constante da teoria, bem como ou . Em vez de especificar uma métrica de referência desde o início, pode-se permitir que ela tenha sua própria dinâmica. Se o termo cinético para também é Einstein-Hilbert, então a teoria permanece livre de fantasmas e ficamos com uma teoria da bigravidade maciça , (ou relatividade bimétrica , BR) propagando os dois graus de liberdade de um gráviton sem massa, além do cinco de um enorme. ${\ displaystyle f _ {\ mu \ nu}}$${\ displaystyle m}$${\ displaystyle M _ {\ mathrm {Pl}}}$${\ displaystyle f _ {\ mu \ nu}}$

Na prática, é desnecessário calcular os valores próprios de (ou ) para obter o . Eles podem ser gravados diretamente em termos de como ${\ displaystyle \ mathbb {X}}$${\ displaystyle \ mathbb {K}}$${\ displaystyle e_ {n}}$${\ displaystyle \ mathbb {X}}$

${\ displaystyle {\ begin {alinhados} e_ {0} (\ mathbb {X}) & = 1, \\ e_ {1} (\ mathbb {X}) & = [\ mathbb {X}], \\ e_ {2} (\ mathbb {X}) & = {\ frac {1} {2}} \ left ([\ mathbb {X}] ^ {2} - \ left [\ mathbb {X} ^ {2} \ direita] \ direita), \\ e_ {3} (\ mathbb {X}) & = {\ frac {1} {6}} \ esquerda ([\ mathbb {X}] ^ {3} -3 [\ mathbb {X}] \ left [\ mathbb {X} ^ {2} \ right] +2 \ left [\ mathbb {X} ^ {3} \ right] \ right), \\ e_ {4} (\ mathbb { X}) & = \ det \ mathbb {X}, \ end {alinhado}}}$

onde parênteses indicam um traço , . É a combinação antissimétrica particular de termos em cada um dos que é responsável por tornar o fantasma de Boulware-Deser não-dinâmico. ${\ displaystyle [\ mathbb {X}] \ equiv X ^ {\ mu} {} _ {\ mu}}$${\ displaystyle e_ {n}}$

A escolha de usar ou , com a matriz de identidade , é uma convenção, pois em ambos os casos o termo de massa livre de fantasmas é uma combinação linear dos polinômios simétricos elementares da matriz escolhida. Um pode se transformar de uma base para a outra, caso em que os coeficientes satisfazem a relação ${\ displaystyle \ mathbb {X}}$${\ displaystyle \ mathbb {K} = \ mathbb {I} - \ mathbb {X}}$${\ displaystyle \ mathbb {I}}$

${\ displaystyle \ beta _ {n} = (4-n)! \ displaystyle \ sum _ {i = n} ^ {4} {\ frac {(-1) ^ {i + n}} {(4-i )! (in)!}} \ alpha _ {i}.}$

Os coeficientes são de um polinômio característico que está na forma do determinante de Fredholm . Eles também podem ser obtidos usando o algoritmo Faddeev – LeVerrier .

Gravidade maciça na língua vierbein

No quadro tétrade ortonormal 4D, temos as bases:

${\ displaystyle {\ begin {alinhados} e_ {~ \ mu} ^ {0} & = (- 1,0,0,0) \\ e _ {\ mu} ^ {I} & = (0, e_ {i } ^ {I}) \ end {alinhado}}}$

onde o índice é para o componente espacial 3D das coordenadas não-ortonormais e o índice é para os componentes espaciais 3D das coordenadas -ortonormais. O transporte paralelo requer a conexão de spin. Portanto, a curvatura extrínseca , que corresponde no formalismo métrico, torna-se ${\ displaystyle i}$${\ displaystyle \ mu}$${\ displaystyle I}$${\ displaystyle a}$ ${\ displaystyle e ^ {0 \ nu} \ nabla _ {e ^ {0 \ nu}} e_ {~ \ mu} ^ {I} = 0.}$${\ displaystyle {\ mathcal {K}} _ {\ mu \ nu}}$

${\ displaystyle K_ {j} ^ {i} \ equiv {\ frac {1} {2}} \ gamma ^ {ik} \ partial _ {t} (\ gamma _ {kj}) = e_ {I} ^ { i} \ parcial _ {t} (e_ {j} ^ {I}),}$

onde está a métrica espacial como no formalismo ADM e na formulação do valor inicial . ${\ displaystyle \ gamma _ {ij}}$

Se a tétrade se transforma conforme a curvatura extrínseca se torna , onde a partir das equações de Friedmann , e (apesar de ser controverso), ou seja, a curvatura extrínseca se transforma como . Isso é muito semelhante à matriz ou ao tensor . ${\ displaystyle e_ {i} ^ {I} \ to {e '} _ {i} ^ {I} \ equiv a (t) ~ e_ {i} ^ {I},}$${\ displaystyle {K '} _ {j} ^ {i} = {\ frac {a} {\ dot {a}}} K_ {j} ^ {i} = \ delta _ {j} ^ {i} - {\ frac {a} {\ dot {a}}} e_ {I} ^ {i} \ parcial _ {t} \! \! \ left (e_ {j} ^ {I} \ right)}$ ${\ displaystyle {\ frac {a} {\ dot {a}}} = {\ frac {a} {\ partial _ {t} a}} \ sim {\ frac {1} {\ sqrt {\ Lambda}} }}$${\ displaystyle m \ sim 1 / {\ sqrt {\ Lambda}}}$${\ displaystyle K_ {j} ^ {i} \ to mK_ {j} ^ {i} = \ delta _ {j} ^ {i} -m ~ e_ {I} ^ {i} {\ dot {e}} _ {j} ^ {I}}$${\ displaystyle \ mathbb {K}}$${\ displaystyle {\ mathcal {K}} _ {j} ^ {i}}$

O dRGT foi desenvolvido inspirado na aplicação da técnica anterior ao modelo 5D DGP após considerar a desconstrução das teorias da gravidade de Kaluza-Klein de dimensão superior , em que a (s) extradimensão (s) é / são substituídas por séries de N locais de rede tais que o a métrica de dimensão superior é substituída por um conjunto de métricas de interação que dependem apenas dos componentes 4D.

A presença de uma matriz de raiz quadrada é um pouco estranha e aponta para uma formulação alternativa mais simples em termos de vierbeins . Dividindo as métricas em vierbeins como

${\ displaystyle {\ begin {alinhados} g _ {\ mu \ nu} & = \ eta _ {ab} e ^ {a} {} _ {\ mu} e ^ {b} {} _ {\ nu} \\ f _ {\ mu \ nu} & = \ eta _ {ab} f ^ {a} {} _ {\ mu} f ^ {b} {} _ {\ nu} \ end {alinhado}}}$

e, em seguida, definir formulários únicos

${\ displaystyle {\ begin {alinhados} \ mathbf {e} ^ {a} & = e ^ {a} {} _ {\ mu} dx ^ {\ mu} \\\ mathbf {f} ^ {a} & = f ^ {a} {} _ {\ mu} dx ^ {\ mu} \\\ mathbf {i} ^ {a} & = \ delta ^ {a} {} _ {\ mu} dx ^ {\ mu } \ end {alinhado}}}$

os termos de interação livre de fantasmas na teoria da bigravidade de Hassan-Rosen podem ser escritos simplesmente como (até fatores numéricos)

${\ displaystyle {\ begin {alinhados} e_ {0} (\ mathbb {X}) \ propto \ epsilon _ {abcd} \ mathbf {e} ^ {a} \ wedge \ mathbf {e} ^ {b} \ wedge \ mathbf {e} ^ {c} \ wedge \ mathbf {e} ^ {d} \\ e_ {1} (\ mathbb {X}) \ propto \ epsilon _ {abcd} \ mathbf {e} ^ {a} \ wedge \ mathbf {e} ^ {b} \ wedge \ mathbf {e} ^ {c} \ wedge \ mathbf {f} ^ {d} \\ e_ {2} (\ mathbb {X}) \ propto \ epsilon _ {abcd} \ mathbf {e} ^ {a} \ wedge \ mathbf {e} ^ {b} \ wedge \ mathbf {f} ^ {c} \ wedge \ mathbf {f} ^ {d} \\ e_ { 3} (\ mathbb {X}) \ propto \ epsilon _ {abcd} \ mathbf {e} ^ {a} \ wedge \ mathbf {f} ^ {b} \ wedge \ mathbf {f} ^ {c} \ wedge \ mathbf {f} ^ {d} \\ e_ {4} (\ mathbb {X}) \ propto \ epsilon _ {abcd} \ mathbf {f} ^ {a} \ wedge \ mathbf {f} ^ {b} \ wedge \ mathbf {f} ^ {c} \ wedge \ mathbf {f} ^ {d} \ end {alinhado}}}$

Em termos de vierbeins, em vez de métricas, podemos, portanto, ver o significado físico dos termos potenciais de dRGT livres de fantasmas com bastante clareza: eles são simplesmente todas as diferentes combinações possíveis de produtos em cunha dos vierbeins das duas métricas.

Observe que a gravidade massiva nas formulações métrica e vierbein só são equivalentes se a condição de simetria

${\ displaystyle (e ^ {- 1}) _ {a} {} ^ {\ mu} f_ {b \ nu} = (e ^ {- 1}) _ {b} {} ^ {\ mu} f_ { a \ nu}}$

é satisfeito. Embora isso seja verdade para a maioria das situações físicas, pode haver casos, como quando a matéria se acopla a ambas as métricas ou em teorias multimétricas com ciclos de interação, em que não é. Nestes casos, as formulações métrica e vierbein são teorias físicas distintas, embora cada uma propague um gráviton massivo saudável.

A novidade na gravidade massiva dRGT é que é uma teoria da invariância de calibre sob ambas as transformações de Lorentz locais, assumindo que a métrica de referência é igual à métrica de Minkowski , e a invariância do difeomorfismo, a partir da existência do espaço-tempo curvo ativo . Isso é mostrado ao reescrever o formalismo de Stueckelberg discutido anteriormente na linguagem vierbein como segue. ${\ displaystyle f _ {\ mu \ nu}}$${\ displaystyle \ eta _ {\ mu \ nu}}$${\ displaystyle g _ {\ mu \ nu}}$

A versão 4D das equações de campo de Einstein em 5D é lida

${\ displaystyle G _ {\ mu \ nu} n ^ {\ mu} n ^ {\ nu} = {\ frac {1} {2}} \ left (RK ^ {\ mu \ nu} K _ {\ mu \ nu } + \ left (K_ {~ \ mu} ^ {\ mu} \ right) ^ {2} \ right),}$

onde é o vetor normal para a fatia 4D. Usando a definição de curvatura extrínseca maciça , é simples ver que os termos que contêm curvaturas extrínsecas assumem a forma funcional na ação tetrádica. ${\ displaystyle n ^ {\ mu}}$${\ displaystyle mK_ {j} ^ {i} = \ delta _ {j} ^ {i} -m ~ e_ {I} ^ {i} {\ dot {e}} _ {j} ^ {I},}$${\ displaystyle (f ^ {a} -e ^ {a}) \ wedge (f ^ {b} -e ^ {b}) \ wedge e ^ {c} \ wedge e ^ {d}}$

Portanto, até os coeficientes numéricos, a ação dRGT completa em sua forma tensorial é

${\ displaystyle S = {\ frac {M _ {\ text {Pl}} ^ {2}} {2}} \ int dx ^ {4} {\ sqrt {g}} \ left (R + 2m ^ {2} [e_ {2} ({\ mathcal {K}}) + e_ {3} ({\ mathcal {K}}) + e_ {4} ({\ mathcal {K}})] \ right),}$

onde as funções assumem formas semelhantes às do . Então, até alguns coeficientes numéricos, a ação assume a forma integral ${\ displaystyle e_ {i} ({\ mathcal {K}})}$${\ displaystyle e_ {i} (\ mathbb {X})}$

${\ displaystyle S = {\ frac {M _ {\ text {Pl}} ^ {2}} {2}} \ epsilon _ {abcd} \ int {\ Big (} \ mathbf {e} ^ {a} \ land \ mathbf {e} ^ {b} \ land R ^ {cd} -m ^ {2} \ left [\ mathbf {e} ^ {a} \ land \ mathbf {e} ^ {b} \ land \ mathbf { e} ^ {c} \ land \ mathbf {e} ^ {d} + \ mathbf {i} ^ {a} \ land \ mathbf {e} ^ {b} \ land \ mathbf {e} ^ {c} \ land \ mathbf {e} ^ {d} + \ mathbf {i} ^ {a} \ land \ mathbf {i} ^ {b} \ land \ mathbf {e} ^ {c} \ land \ mathbf {e} ^ {d} + \ mathbf {i} ^ {a} \ land \ mathbf {i} ^ {b} \ land \ mathbf {i} ^ {c} \ land \ mathbf {e} ^ {d} \ right] { \Grande )},}$

onde o primeiro termo é a parte de Einstein-Hilbert da ação tetrádica Palatini e é o símbolo de Levi-Civita . ${\ displaystyle \ epsilon _ {abcd}}$

Como o limite de desacoplamento garante isso e por comparação com , é legítimo pensar no tensor. Comparando isso com a definição da forma 1, pode-se definir componentes covariantes do campo de quadro, isto é , substituir o tal que os três últimos termos de interação em a ação vierbein torna-se ${\ displaystyle \ Box \ pi = 0}$${\ displaystyle A _ {\ mu} \ to x _ {\ mu}}$${\ displaystyle X ^ {\ mu}}$${\ displaystyle \ phi ^ {\ mu}}$${\ displaystyle \ partial _ {\ mu} \ phi ^ {a} = \ delta _ {~ \ mu} ^ {a}.}$${\ displaystyle \ mathbf {i} ^ {a},}$ ${\ displaystyle f_ {~ \ mu} ^ {a} = \ parcial _ {\ mu} \ phi ^ {\ nu} \ delta _ {~ \ nu} ^ {a},}$${\ displaystyle e_ {~ \ mu} ^ {a} = {\ frac {\ partial x ^ {\ nu}} {\ partial \ phi ^ {\ mu}}} \ Lambda _ {~ b} ^ {a} e_ {~ \ nu} ^ {b}}$${\ displaystyle \ mathbf {i} ^ {a}}$

${\ displaystyle S = - {\ frac {M _ {\ text {Pl}} ^ {2}} {2}} m ^ {2} \ epsilon _ {abcd} \ int \ left [\ mathbf {f} ^ { a} \ land \ left (\ Lambda _ {b '} ^ {b} \ mathbf {e} ^ {b'} \ right) \ land \ left (\ Lambda _ {c '} ^ {c} \ mathbf { e} ^ {c '} \ right) \ land \ left (\ Lambda _ {d'} ^ {d} \ mathbf {e} ^ {d '} \ right) + \ mathbf {f} ^ {a} \ land \ mathbf {f} ^ {b} \ land \ left (\ Lambda _ {c '} ^ {c} \ mathbf {e} ^ {c'} \ right) \ land \ left (\ Lambda _ {d ' } ^ {d} \ mathbf {e} ^ {d '} \ right) + \ mathbf {f} ^ {a} \ land \ mathbf {f} ^ {b} \ land \ mathbf {f} ^ {c} \ land \ left (\ Lambda _ {d '} ^ {d} \ mathbf {e} ^ {d'} \ right) \ right].}$

Isso pode ser feito porque é permitido mover livremente as transformações de difeomorfismo para a referência vierbein através das transformações de Lorentz . Mais importante ainda, as transformações de difeomorfismo ajudam a manifestar a dinâmica dos modos helicidade-0 e helicidade-1, daí a facilidade de avaliá-los quando a teoria é comparada com sua versão com as únicas transformações de calibre enquanto os campos de Stueckelberg estão desligados. ${\ displaystyle \ partial _ {\ nu} \ phi ^ {\ mu}}$${\ displaystyle \ Lambda _ {~ b} ^ {a}}$${\ displaystyle U (1)}$

Pode-se perguntar por que os coeficientes são descartados e como garantir que sejam numéricos sem dependência explícita dos campos. Na verdade, isso é permitido porque a variação da ação vierbein em relação aos campos de Stueckelberg transformados localmente por Lorentz produz este belo resultado. Além disso, podemos resolver explicitamente os campos de Stueckelberg invariantes de Lorentz, e ao substituir de volta na ação vierbein, podemos mostrar equivalência completa com a forma tensorial da gravidade massiva dRGT.

Cosmologia

Se a massa do gráviton é comparável à taxa de Hubble , então, a distâncias cosmológicas, o termo massa pode produzir um efeito gravitacional repulsivo que leva à aceleração cósmica. Como, grosso modo, a simetria de difeomorfismo aprimorada no limite protege uma pequena massa de gráviton de grandes correções quânticas, a escolha é de fato tecnicamente natural . A gravidade massiva, portanto, pode fornecer uma solução para o problema da constante cosmológica : por que as correções quânticas não fazem com que o Universo acelere em tempos extremamente iniciais? ${\ displaystyle m}$ ${\ displaystyle H_ {0}}$${\ displaystyle m = 0}$${\ displaystyle m \ sim H_ {0}}$

No entanto, verifica-se que as soluções cosmológicas planas e fechadas de Friedmann-Lemaître-Robertson-Walker não existem na gravidade massiva dRGT com uma métrica de referência plana. Soluções abertas e soluções com métricas de referência geral sofrem de instabilidades. Portanto, cosmologias viáveis ​​só podem ser encontradas na gravidade massiva se alguém abandonar o princípio cosmológico de que o Universo é uniforme em grandes escalas, ou generalizar dRGT. Por exemplo, soluções cosmológicas se comportam melhor em bigravidade , a teoria que estende dRGT ao fornecer dinâmica. Embora também tendam a possuir instabilidades, essas instabilidades podem encontrar uma solução na dinâmica não linear (por meio de um mecanismo do tipo Vainshtein) ou empurrando a era da instabilidade para o Universo bem inicial. ${\ displaystyle f _ {\ mu \ nu}}$

Gravidade maciça 3D

Existe um caso especial em três dimensões, onde um gráviton sem massa não propaga nenhum grau de liberdade. Aqui, várias teorias livres de fantasmas de um gráviton massivo, propagando dois graus de liberdade, podem ser definidas. No caso de gravidade topologicamente massiva, tem-se a ação

${\ displaystyle S = {\ frac {M_ {3}} {2}} \ int d ^ {3} x {\ sqrt {-g}} (R-2 \ Lambda) + {\ frac {1} {4 \ mu}} \ epsilon ^ {\ lambda \ mu \ nu} \ Gamma _ {\ lambda \ sigma} ^ {\ rho} \ left (\ partial _ {\ mu} \ Gamma _ {\ rho \ nu} ^ { \ sigma} + {\ frac {2} {3}} \ Gamma _ {\ mu \ alpha} ^ {\ sigma} \ Gamma _ {\ nu \ rho} ^ {\ alpha} \ right),}$

com a massa tridimensional de Planck. Esta é a relatividade geral tridimensional suplementada por um termo semelhante a Chern-Simons construído a partir dos símbolos de Christoffel . ${\ displaystyle M_ {3}}$

Mais recentemente, uma teoria conhecida como nova gravidade maciça foi desenvolvida, a qual é descrita pela ação

${\ displaystyle S = M_ {3} \ int d ^ {3} x {\ sqrt {-g}} \ left [\ pm R + {\ frac {1} {m ^ {2}}} \ left (R_ { \ mu \ nu} R ^ {\ mu \ nu} - {\ frac {3} {8}} R ^ {2} \ direita) \ direita].}$

Relação com ondas gravitacionais

A descoberta de 2016 de ondas gravitacionais e observações subsequentes produziram restrições na massa máxima dos grávitons, se eles forem massivos. Após o evento GW170104 , o comprimento de onda Compton do gráviton foi de pelo menos1,6 × 10 ¹⁶  m , ou cerca de 1,6 anos-luz , correspondendo a uma massa de gráviton de não mais que7,7 × 10 ⁻²³  eV / c ² . Essa relação entre comprimento de onda e energia é calculada com a mesma fórmula (a relação de Planck-Einstein ) que relaciona o comprimento de onda eletromagnética à energia do fóton . No entanto, os fótons , que têm apenas energia e nenhuma massa, são fundamentalmente diferentes dos grávitons massivos nesse aspecto, uma vez que o comprimento de onda Compton do gráviton não é igual ao comprimento de onda gravitacional. Em vez disso, o comprimento de onda Compton do gráviton no limite inferior é de cerca9 × 10 ⁹ vezes maior do que o comprimento de onda gravitacional para o evento GW170104, que foi de ~ 1.700 km. Isso ocorre porque o comprimento de onda Compton é definido pela massa de repouso do gráviton e é uma quantidade escalar invariável.

Veja também

• Acelerando a expansão do universo
• Alternativas à relatividade geral  - teorias da gravidade propostas
• Teoria de Horndeski
• Gravidade bimétrica  - Teorias da gravidade propostas
• Modelo DGP
• Teoria do tensor-escalar  - Teoria em física com escalares e tensores, ambos descrevendo uma força ou interação
• Gráviton duplo

Leitura adicional

Artigos de revisão

• de Rham, Claudia (2014), "Massive Gravity", Living Reviews in Relativity , 17 (1): 7, arXiv : 1401.4173 , Bibcode : 2014LRR .... 17 .... 7D , doi : 10.12942 / lrr-2014 -7 , PMC  5256007 , PMID  28179850
• Hinterbichler, Kurt (2012), "Theoretical Aspects of Massive Gravity", Reviews of Modern Physics , 84 (2): 671–710, arXiv : 1105.3735 , Bibcode : 2012RvMP ... 84..671H , doi : 10.1103 / RevModPhys. 84.671 , S2CID  119279950

Referências