Sistema bi-ortogonal - Biorthogonal system

Em matemática , um sistema bi - ortogonal é um par de famílias indexadas de vetores

${\ displaystyle {\ tilde {v}} _ {i}}$em E e em F${\ displaystyle {\ tilde {u}} _ {i}}$

de tal modo que

${\ displaystyle \ left \ langle {\ tilde {v}} _ {i}, {\ tilde {u}} _ {j} \ right \ rangle = \ delta _ {i, j},}$

onde E e F formam um par de espaços vetoriais topológicos que estão em dualidade , ⟨·, ·⟩ é um mapeamento bilinear e é o delta de Kronecker . ${\ displaystyle \ delta _ {i, j}}$

Um exemplo é o par de conjuntos de autovetores respectivamente esquerdo e direito de uma matriz, indexados por autovalor , se os autovalores forem distintos.

Um sistema bi-ortogonal em que E = F e é um sistema ortonormal . ${\ displaystyle {\ tilde {v}} _ {i} = {\ tilde {u}} _ {i}}$

Projeção

Relacionado a um sistema bi-ortogonal está a projeção

${\ displaystyle P: = \ sum _ {i \ in I} {\ tilde {u}} _ {i} \ otimes {\ tilde {v}} _ {i}}$,

onde ; sua imagem é a extensão linear de , e o kernel é . ${\ displaystyle \ left (u \ otimes v \ right) (x): = u \ langle v, x \ rangle}$${\ displaystyle \ left \ {{\ tilde {u}} _ {i}: i \ in I \ right \}}$${\ displaystyle \ left \ {\ left \ langle {\ tilde {v}} _ {i}, \ cdot \ right \ rangle = 0: i \ in I \ right \}}$

Construção

Dado um conjunto possivelmente não ortogonal de vetores e a projeção relacionada é ${\ displaystyle \ mathbf {u} = (u_ {i})}$${\ displaystyle \ mathbf {v} = \ left (v_ {i} \ right)}$

${\ displaystyle P = \ sum _ {i, j} u_ {i} \ left (\ langle \ mathbf {v}, \ mathbf {u} \ rangle ^ {- 1} \ right) _ {j, i} \ otimes v_ {j}}$,

onde está a matriz com entradas . ${\ displaystyle \ langle \ mathbf {v}, \ mathbf {u} \ rangle}$${\ displaystyle \ left (\ langle \ mathbf {v}, \ mathbf {u} \ rangle \ right) _ {i, j} = \ left \ langle v_ {i}, u_ {j} \ right \ rangle}$

• ${\ displaystyle {\ tilde {u}} _ {i}: = (IP) u_ {i}}$, e então é um sistema bi-ortogonal.${\ displaystyle {\ tilde {v}} _ {i}: = \ left (IP \ right) ^ {*} v_ {i}}$

Veja também

• Base dupla
• Espaço duplo
• Par duplo
• Ortogonalidade
• Ortogonalização

Referências

• Jean Dieudonné, On biorthogonal systems Michigan Math. J. 2 (1953), no. 1, 7–20 [1]