Bracket (matemática) - Bracket (mathematics)

Em matemática , colchetes de várias formas tipográficas, como parênteses (), colchetes [], colchetes {} e colchetes angulares ⟨⟩, são freqüentemente usados em notação matemática . Geralmente, esse agrupamento denota alguma forma de agrupamento: ao avaliar uma expressão que contém uma subexpressão entre colchetes, os operadores na subexpressão têm precedência sobre aqueles que a cercam. Além disso, existem vários usos e significados para os vários colchetes.

Historicamente, outras notações, como vinculum , foram usadas de forma semelhante para agrupamento. No uso atual, todas essas notações têm significados específicos. O primeiro uso de colchetes para indicar agregação (isto é, agrupamento) foi sugerido em 1608 por Christopher Clavius e em 1629 por Albert Girard .

Símbolos para representar colchetes angulares

Uma variedade de símbolos diferentes são usados para representar colchetes angulares. Em e-mail e outros textos ASCII , é comum usar os sinais de menor que ( < ) e maior que ( > ) para representar colchetes angulares, porque ASCII não inclui colchetes angulares.

Unicode possui pares de caracteres dedicados; além dos símbolos menor que e maior que, incluem:

U + 27E8 ⟨ MATEMÁTICA PARA A ESQUERDA ângulo do suporte e U + 27E9 ⟩ MATEMÁTICA DIREITO ângulo do suporte
U + 29FC ⧼SUPORTE DE ÂNGULO CURVADO PARA A ESQUERDA e U + 29FD⧽ SUPORTE DE ÂNGULO CURVADO PARA A DIREITA
U + 2991 ⦑SUPORTE DE ÂNGULO ESQUERDO COM DOT e U + 2992⦒ SUPORTE DE ÂNGULO DIREITO COM DOT
U + 27EA « MATEMÁTICA PARA A ESQUERDA DUPLO ângulo do suporte e U + 27EB » MATEMÁTICA DIREITO DUPLO ângulo do suporte
U + 2329 〈 BRACKET DE ÂNGULO DE APONTAMENTO PARA A ESQUERDA e U + 232A 〉 BRACKET DE ÂNGULO DE APONTAMENTO PARA A DIREITA , que estão obsoletos

Em LaTeX a marcação é \langle e \rangle : . ${\ displaystyle \ langle \ \ rangle}$

Os colchetes angulares não matemáticos incluem:

U + 3008 〈 LEFT ANGLE BRACKET e U + 3009 〉 RIGHT ANGLE BRACKET , usado na citação do Leste Asiático
U + 276C ❬ MÉDIO ORNAMENTO DE SUPORTE ANGULAR PARA A ESQUERDA e U + 276D ❭ MÉDIO ORNAMENTO DE SUPORTE ANGULAR PARA A DIREITA , que são dingbats

Existem dingbats adicionais com espessura de linha aumentada e algumas aspas angulares e caracteres obsoletos.

Álgebra

Na álgebra elementar , os parênteses () são usados para especificar a ordem das operações . Os termos dentro do colchete são avaliados primeiro; portanto, 2 × (3 + 4) é 14, 20 ÷ (5 (1 + 1)) é 2 e (2 × 3) + 4 é 10. Esta notação é estendida para cobrir álgebra mais geral envolvendo variáveis: por exemplo $(x + y) \times (x - y)$ . Os colchetes também são freqüentemente usados no lugar de um segundo conjunto de parênteses quando são aninhados - para fornecer uma distinção visual.

Em expressões matemáticas em geral, os parênteses também são usados para indicar agrupamento (ou seja, quais partes pertencem juntas) quando necessário para evitar ambigüidades e melhorar a clareza. Por exemplo, na fórmula , usada na definição da composição de duas transformações naturais , os parênteses ao redor servem para indicar que a indexação por é aplicada à composição , e não apenas ao seu último componente . ${\ displaystyle (\ varepsilon \ eta) _ {X} = \ varepsilon _ {Cod \, \ eta _ {X}} \ eta _ {X}}$ ${\ displaystyle \ varepsilon \ eta}$ ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle \ varepsilon \ eta}$ ${\ displaystyle \ eta}$

Funções

Os argumentos para a função são frequentemente cercado por colchetes: . Quando há pouca chance de ambigüidade, é comum omitir os parênteses ao redor do argumento (por exemplo, ). ${\ displaystyle f (x)}$ ${\ displaystyle \ sin x}$

Coordenadas e vetores

No sistema de coordenadas cartesianas , colchetes são usados para especificar as coordenadas de um ponto. Por exemplo, (2,3) denota o ponto com a coordenada x 2 e a coordenada y 3.

O produto interno de dois vetores é comumente escrito como , mas a notação ( a , b ) também é usada. ${\ displaystyle \ langle a, b \ rangle}$

Intervalos

Ambos os parênteses, () e colchetes, [], também podem ser usados para denotar um intervalo . A notação é usada para indicar um intervalo de a a c que inclui - mas exclui . Ou seja, seria o conjunto de todos os números reais entre 5 e 12, incluindo 5, mas não 12. Aqui, os números podem chegar o mais perto que quiserem de 12, incluindo 11,999 e assim por diante (com qualquer número finito de 9s), mas 12,0 não está incluído. ${\ displaystyle [a, c)}$ ${\ displaystyle a}$ ${\ displaystyle c}$ ${\ displaystyle [5,12)}$

Em alguns países europeus, a notação também é usada para isso e, sempre que a vírgula for usada como separador decimal , o ponto- e- vírgula pode ser usado como separador para evitar ambigüidade (por exemplo, ). ${\ displaystyle [5,12 [}$ ${\ displaystyle (0; 1)}$

O ponto final adjacente ao colchete é conhecido como fechado , enquanto o ponto final adjacente ao parêntese é conhecido como aberto . Se os dois tipos de colchetes forem iguais, o intervalo inteiro pode ser referido como fechado ou aberto, conforme apropriado. Sempre que infinito ou infinito negativo é usado como um ponto final (no caso de intervalos na linha de número real ), é sempre considerado aberto e adjacente a um parêntese. O ponto final pode ser fechado ao considerar intervalos na linha de número real estendida .

Uma convenção comum em matemática discreta é definir como o conjunto de números inteiros positivos menores ou iguais a . Ou seja, corresponderia ao conjunto . ${\ displaystyle [n]}$ ${\ displaystyle n}$ ${\ displaystyle [5]}$ ${\ displaystyle \ {1,2,3,4,5 \}}$

Conjuntos e grupos

Chaves {} são usadas para identificar os elementos de um conjunto . Por exemplo, { a , b , c } denota um conjunto de três elementos a , b e c .

Os colchetes angulares ⟨⟩ são usados na teoria dos grupos e álgebra comutativa para especificar apresentações de grupos e para denotar o subgrupo ou ideal gerado por uma coleção de elementos.

Matrizes

Uma matriz explicitamente fornecida é comumente escrita entre grandes colchetes redondos ou quadrados:

{\ displaystyle {\ begin {pmatrix} 1 e -1 \\ 2 & 3 \ end {pmatrix}} \ quad \ quad {\ begin {bmatrix} c & d \ end {bmatrix}}}

Derivados

A notação

{\ displaystyle f ^ {(n)} (x)}

representa a n- ésima derivada da função f , aplicada ao argumento x . Então, por exemplo, se , então . Isso deve ser contrastado com a aplicação n- dobrada de f ao argumento x . ${\ displaystyle f (x) = \ exp (\ lambda x)}$ ${\ displaystyle f ^ {(n)} (x) = \ lambda ^ {n} \ exp (\ lambda x)}$ ${\ displaystyle f ^ {n} (x) = f (f (\ ldots (f (x)) \ ldots))}$

Fatorial decrescente e crescente

A notação é usada para denotar o fatorial decrescente , um polinômio de n- ésimo grau definido por ${\ displaystyle (x) _ {n}}$

{\ displaystyle (x) _ {n} = x (x-1) (x-2) \ cdots (x-n + 1) = {\ frac {x!} {(xn)!}}.}

Alternativamente, a mesma notação pode ser encontrada como representando o fatorial crescente , também chamado de " símbolo de Pochhammer ". Outra notação para o mesmo é . Pode ser definido por ${\ displaystyle x ^ {(n)}}$

{\ displaystyle x ^ {(n)} = x (x + 1) (x + 2) \ cdots (x + n-1) = {\ frac {(x + n-1)!} {(x-1 )!}}.}

Mecânica quântica

Na mecânica quântica , colchetes angulares também são usados como parte do formalismo de Dirac , notação bra-ket , para denotar vetores dos espaços duais do sutiã e do ket . ${\ displaystyle \ left \ langle A \ right |}$ ${\ displaystyle \ left | B \ right \ rangle}$

Na mecânica estatística , os colchetes indicam conjunto ou média de tempo.

Anéis polinomiais

Os colchetes são usados para conter as variáveis em anéis polinomiais . Por exemplo, é o anel de polinômios com coeficientes e variáveis de número real . ${\ displaystyle \ mathbb {R} [x]}$ ${\ displaystyle x}$

Subring gerado por um elemento ou coleção de elementos

Se $A$ é um subanel de um anel $B$ e $b$ é um elemento de $B$ , então $A [b]$ denota o subanel de $B$ gerado por $A$ e $b$ . Este subanel consiste em todos os elementos que podem ser obtidos, a partir dos elementos de $A$ e $b$ , por adição e multiplicação repetidas; equivalentemente, é o menor subanel de $B$ que contém $A$ e $b$ . Por exemplo, é o menor subanel de $C$ contendo todos os inteiros e ; ele consiste em todos os números da forma , onde $m$ e $n$ são inteiros arbitrários. Outro exemplo: é o subanel de $Q$ consistindo em todos os números racionais cujo denominador é uma potência de $2$ . ${\ displaystyle \ mathbf {Z} [{\ sqrt {-2}}]}$ ${\ displaystyle {\ sqrt {-2}}}$ ${\ displaystyle m + n {\ sqrt {-2}}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {Z} [1/2]}$

Mais geralmente, se $A$ é um subanel de um anel $B$ , e , então denota o subanel de $B$ gerado por $A$ e . Mesmo mais genericamente, se $S$ é um subconjunto de $B$ , em seguida, $uma$ $[$ $S$ $]$ é a subanel de $B$ gerado por $um$ e $S$ . ${\ displaystyle b_ {1}, \ ldots, b_ {n} \ in B}$ ${\ displaystyle A [b_ {1}, \ ldots, b_ {n}]}$ ${\ displaystyle b_ {1}, \ ldots, b_ {n} \ in B}$

Suporte de mentira e comutador

Na teoria dos grupos e na teoria dos anéis , colchetes são usados para denotar o comutador . Na teoria dos grupos, o comutador [ g , h ] é comumente definido como g ⁻¹ h ⁻¹ gh . Na teoria dos anéis, o comutador [ a , b ] é definido como ab - ba . Além disso, colchetes podem ser usados para denotar o anticomutador : { a , b } é definido como ab + ba .

O colchete de Lie de uma álgebra de Lie é uma operação binária indicada por . Usando o comutador como um colchete de Lie, toda álgebra associativa pode ser transformada em uma álgebra de Lie. Existem muitas formas diferentes de colchetes de Lie , em particular a derivada de Lie e o colchete de Jacobi-Lie . ${\ displaystyle [\ cdot, \ cdot]: {\ mathfrak {g}} \ times {\ mathfrak {g}} \ to {\ mathfrak {g}}}$

Funções de piso / teto e parte fracionária

Colchetes, como em $[π] = 3$ , às vezes são usados para denotar a função de base , que arredonda um número real para o próximo inteiro. Respectivamente, alguns autores usam colchetes apontando para fora para denotar a função de teto, como em $] π [= 4$ . No entanto, as funções de piso e teto são geralmente compostas com colchetes esquerdo e direito, onde apenas as barras horizontais inferior (para função de piso) ou superior (para função de teto) são exibidas, como em $⌊π⌋ = 3$ ou $⌈π⌉ = 4$ .

Cintas, como em ${π} < 1 / 7$ , pode denotar a parte fraccionada de um número real.

Veja também

Coeficiente binomial
Polinômio de colchete
Notação de bra-ket
Delimitador
Linguagem dyck
Suporte Frölicher – Nijenhuis
Braquete iverson
Parêntese de Nijenhuis – Richardson , também conhecido como parêntese algébrico .
Símbolo Pochhammer
Colchete de Poisson
Suporte Schouten – Nijenhuis

Notas

^ ^a ^b ^c "Compêndio de símbolos matemáticos: delimitadores" . Math Vault . 2020-03-01 . Obtido em 2020-08-09 .
^ ^a ^b Russell, Deb. "Quando e onde usar parênteses, colchetes e colchetes em matemática" . ThoughtCo . Página visitada em 2020-08-09 .
^ Cajori , Florian 1980. Uma história da matemática . Nova York: Chelsea Publishing, p. 158
^ Raymond, Eric S. (1996), The New Hacker's Dictionary , MIT Press, p. 41, ISBN 9780262680929 CS1 maint: parâmetro desencorajado ( link ) .
^ "Técnicas diversas" (PDF) . unicode.org.
^ "Dingbats" . unicode.org . 2020-04-25 . Obtido em 2020-04-25 .
^ "Interval Notation | Brilliant Math & Science Wiki" . brilhante.org . Página visitada em 2020-08-09 .
^ ^a ^b ^c "Lista abrangente de símbolos da álgebra" . Math Vault . 2020-03-25 . Página visitada em 2020-08-09 .
^ Stewart, Ian (1995). Conceitos de matemática moderna . Publicações de Dover. p. 90. ISBN 9780486284248 .

[:0-1] "Compêndio de símbolos matemáticos: delimitadores" . Math Vault . 2020-03-01 . Obtido em 2020-08-09 .

[:1-2] Russell, Deb. "Quando e onde usar parênteses, colchetes e colchetes em matemática" . ThoughtCo . Página visitada em 2020-08-09 .

[3] Cajori , Florian 1980. Uma história da matemática . Nova York: Chelsea Publishing, p. 158

[4] Raymond, Eric S. (1996), The New Hacker's Dictionary , MIT Press, p. 41, ISBN 9780262680929 CS1 maint: parâmetro desencorajado ( link ) .

[5] "Técnicas diversas" (PDF) . unicode.org.

[6] "Dingbats" . unicode.org . 2020-04-25 . Obtido em 2020-04-25 .

[7] "Interval Notation | Brilliant Math & Science Wiki" . brilhante.org . Página visitada em 2020-08-09 .

[:2-8] "Lista abrangente de símbolos da álgebra" . Math Vault . 2020-03-25 . Página visitada em 2020-08-09 .

[9] Stewart, Ian (1995). Conceitos de matemática moderna . Publicações de Dover. p. 90. ISBN 9780486284248 .

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