Teste de série alternada - Alternating series test
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Na análise matemática , o teste de séries alternadas é o método usado para provar que uma série alternada com termos que diminuem em valor absoluto é uma série convergente . O teste foi usado por Gottfried Leibniz e às vezes é conhecido como teste de Leibniz , a regra de Leibniz , ou o critério de Leibniz .
Formulação
Uma série do formulário
onde todos os a n são positivos ou todos os a n são negativos, é chamada de série alternada .
O teste de série alternada então diz: se diminui monotonicamente e então a série alternada converge.
Além disso, deixe L denotar a soma da série, então a soma parcial
aproxima L com erro limitado pelo próximo termo omitido:
Prova
Suponha que recebamos uma série da forma , onde e para todos os números naturais n . (O caso segue tomando o negativo.)
Prova de convergência
Vamos provar que tanto as somas parciais com número ímpar de termos, e com número par de termos, convergem para o mesmo número L . Assim, a soma parcial habitual também converge para L .
As somas parciais ímpares diminuem monotonicamente:
enquanto as somas parciais pares aumentam monotonicamente:
ambos porque a n diminui monotonicamente com n .
Além disso, como a n são positivos ,. Assim, podemos coletar esses fatos para formar a seguinte desigualdade sugestiva:
Agora, observe que a 1 - a 2 é um limite inferior da sequência monotonicamente decrescente S 2m + 1 , o teorema de convergência monotônica implica que essa sequência converge conforme m se aproxima do infinito. Da mesma forma, a sequência de soma parcial par também converge.
Finalmente, eles devem convergir para o mesmo número porque
Chame o limite L , então o teorema de convergência monótona também nos diz informações extras que
para qualquer m . Isso significa que as somas parciais de uma série alternada também "alternam" acima e abaixo do limite final. Mais precisamente, quando há um número ímpar (par) de termos, ou seja, o último termo é um termo positivo (negativo), então a soma parcial está acima (abaixo) do limite final.
Esse entendimento leva imediatamente a um limite de erro de somas parciais, mostrado abaixo.
Prova de limite de erro de soma parcial
Gostaríamos de mostrar dividindo em dois casos.
Quando k = 2m + 1, ou seja, ímpar, então
Quando k = 2m, ou seja, par, então
como desejado.
Ambos os casos dependem essencialmente da última desigualdade derivada na prova anterior.
Para uma prova alternativa usando o teste de convergência de Cauchy , consulte Séries alternadas .
Para uma generalização, consulte o teste de Dirichlet .
Exemplo
Todas as condições do teste, nomeadamente convergência para zero e monotonicidade, devem ser satisfeitas para que a conclusão seja verdadeira. Por exemplo, pegue a série
Os sinais estão alternando e os termos tendem a zero. No entanto, a monotonicidade não está presente e não podemos aplicar o teste. Na verdade, a série é divergente. Na verdade, para a soma parcial temos o que é duas vezes a soma parcial da série harmônica, que é divergente. Portanto, a série original é divergente.
Veja também
Notas
- ^ Na prática, os primeiros termos podem aumentar. O importante é issopara todosdepois de algum ponto.
Referências
- Konrad Knopp (1956) Infinite Sequences and Series , § 3.4, Dover Publications ISBN 0-486-60153-6
- Konrad Knopp (1990) Theory and Application of Infinite Series , § 15, Dover Publications ISBN 0-486-66165-2
- ET Whittaker & GN Watson (1963) A Course in Modern Analysis , 4ª edição, §2.3, Cambridge University Press ISBN 0-521-58807-3