Teste de comparação de limite - Limit comparison test

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v t e

Em matemática , o teste de comparação de limite (LCT) (em contraste com o teste de comparação direta relacionado ) é um método de teste para a convergência de uma série infinita .

Demonstração

Suponha que temos duas séries e com para todos . ${\ displaystyle \ Sigma _ {n} a_ {n}}$${\ displaystyle \ Sigma _ {n} b_ {n}}$${\ displaystyle a_ {n} \ geq 0, b_ {n}> 0}$${\ displaystyle n}$

Então, se com , ambas as séries convergem ou ambas divergem. ${\ displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} {\ frac {a_ {n}} {b_ {n}}} = c}$${\ displaystyle 0 <c <\ infty}$

Prova

Porque sabemos que para cada existe um número inteiro positivo , que para todos temos isso , ou de forma equivalente ${\ displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} {\ frac {a_ {n}} {b_ {n}}} = c}$${\ displaystyle \ varepsilon> 0}$${\ displaystyle n_ {0}}$${\ displaystyle n \ geq n_ {0}}$${\ displaystyle \ left | {\ frac {a_ {n}} {b_ {n}}} - c \ right | <\ varepsilon}$

${\ displaystyle - \ varepsilon <{\ frac {a_ {n}} {b_ {n}}} - c <\ varepsilon}$

${\ displaystyle c- \ varepsilon <{\ frac {a_ {n}} {b_ {n}}} <c + \ varepsilon}$

${\ displaystyle (c- \ varejpsilon) b_ {n} <a_ {n} <(c + \ varejpsilon) b_ {n}}$

Como podemos escolher ser suficientemente pequenos, isso é positivo. Então, e pelo teste de comparação direta , se converge, então o faz . ${\ displaystyle c> 0}$${\ displaystyle \ varepsilon}$${\ displaystyle c- \ varepsilon}$${\ displaystyle b_ {n} <{\ frac {1} {c- \ varepsilon}} a_ {n}}$${\ displaystyle \ sum _ {n} a_ {n}}$${\ displaystyle \ sum _ {n} b_ {n}}$

Da mesma forma , se diverge, novamente pelo teste de comparação direta, o mesmo ocorre . ${\ displaystyle a_ {n} <(c + \ varepsilon) b_ {n}}$${\ displaystyle \ sum _ {n} a_ {n}}$${\ displaystyle \ sum _ {n} b_ {n}}$

Ou seja, ambas as séries convergem ou ambas divergem.

Exemplo

Queremos determinar se a série converge. Para isso, comparamos com as séries convergentes . ${\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {1} {n ^ {2} + 2n}}}$${\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {1} {n ^ {2}}} = {\ frac {\ pi ^ {2}} {6}}}$

Como temos que a série original também converge. ${\ displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} {\ frac {1} {n ^ {2} + 2n}} {\ frac {n ^ {2}} {1}} = 1> 0}$

Versão unilateral

Pode-se estabelecer um teste de comparação unilateral usando o limite superior . Deixe para todos . Então, se com e converge, necessariamente converge. ${\ displaystyle a_ {n}, b_ {n} \ geq 0}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle \ limsup _ {n \ to \ infty} {\ frac {a_ {n}} {b_ {n}}} = c}$${\ displaystyle 0 \ leq c <\ infty}$${\ displaystyle \ Sigma _ {n} b_ {n}}$${\ displaystyle \ Sigma _ {n} a_ {n}}$

Exemplo

Deixe e para todos os números naturais . Agora não existe, então não podemos aplicar o teste de comparação padrão. No entanto, e uma vez que converge, o teste de comparação unilateral implica que converge. ${\ displaystyle a_ {n} = {\ frac {1 - (- 1) ^ {n}} {n ^ {2}}}}$${\ displaystyle b_ {n} = {\ frac {1} {n ^ {2}}}}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} {\ frac {a_ {n}} {b_ {n}}} = \ lim _ {n \ to \ infty} (1 - (- 1) ^ {n })}$${\ displaystyle \ limsup _ {n \ to \ infty} {\ frac {a_ {n}} {b_ {n}}} = \ limsup _ {n \ to \ infty} (1 - (- 1) ^ {n }) = 2 \ in [0, \ infty)}$${\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {1} {n ^ {2}}}}$${\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {1 - (- 1) ^ {n}} {n ^ {2}}}}$

Converse do teste de comparação unilateral

Deixe para todos . Se diverge e converge, então necessariamente , isto é ,. O conteúdo essencial aqui é que, em certo sentido, os números são maiores do que os números . ${\ displaystyle a_ {n}, b_ {n} \ geq 0}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle \ Sigma _ {n} a_ {n}}$${\ displaystyle \ Sigma _ {n} b_ {n}}$${\ displaystyle \ limsup _ {n \ to \ infty} {\ frac {a_ {n}} {b_ {n}}} = \ infty}$${\ displaystyle \ liminf _ {n \ to \ infty} {\ frac {b_ {n}} {a_ {n}}} = 0}$${\ displaystyle a_ {n}}$${\ displaystyle b_ {n}}$

Exemplo

Deixe ser analítico no disco da unidade e tenha imagem de área finita. Pela fórmula de Parseval, a área da imagem de é . Além disso, diverge. Portanto, pelo inverso do teste de comparação, temos , ou seja ,. ${\ displaystyle f (z) = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} a_ {n} z ^ {n}}$${\ displaystyle D = \ {z \ in \ mathbb {C}: | z | <1 \}}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} n | a_ {n} | ^ {2}}$${\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} 1 / n}$${\ displaystyle \ liminf _ {n \ to \ infty} {\ frac {n | a_ {n} | ^ {2}} {1 / n}} = \ liminf _ {n \ to \ infty} (n | a_ {n} |) ^ {2} = 0}$${\ displaystyle \ liminf _ {n \ to \ infty} n | a_ {n} | = 0}$

Veja também

• Testes de convergência
• Teste de comparação direta

Referências

Leitura adicional

• Rinaldo B. Schinazi: do cálculo à análise . Springer, 2011, ISBN  9780817682897 , pp. 50
• Michele Longo e Vincenzo Valori: o teste de comparação: não apenas para séries não negativas . Mathematics Magazine, vol. 79, No. 3 (junho de 2006), pp. 205-210 ( JSTOR )
• J. Marshall Ash: The Limit Comparison Test Needs Positivity . Mathematics Magazine, vol. 85, No. 5 (dezembro de 2012), pp. 374-375 ( JSTOR )

links externos

• Pauls Online Notes on Comparison Test