Trace (álgebra linear) - Trace (linear algebra)

Em álgebra linear , o rastreio de uma matriz quadrada A , denotado tr ( A ) , é definida como sendo a soma dos elementos da diagonal principal (a partir do canto superior esquerdo para o canto inferior direito) de um .

O traço de uma matriz é a soma de seus autovalores (complexos) (contados com multiplicidades) e é invariável em relação a uma mudança de base . Esta caracterização pode ser usada para definir o traço de um operador linear em geral. O traço é definido apenas para uma matriz quadrada ( n × n ).

O traço está relacionado à derivada do determinante (veja a fórmula de Jacobi ).

Definição

O rastreio de uma N × n matriz quadrada A é definido como

${\ displaystyle \ operatorname {tr} (\ mathbf {A}) = \ sum _ {i = 1} ^ {n} a_ {ii} = a_ {11} + a_ {22} + \ dots + a_ {nn} }$

em que um _II indica a entrada do i th fileira e i th coluna de Uma .

Exemplo

Seja A uma matriz, com

${\ displaystyle \ mathbf {A} = {\ begin {pmatrix} a_ {11} & a_ {12} & a_ {13} \\ a_ {21} & a_ {22} & a_ {23} \\ a_ {31} & a_ {32 } & a_ {33} \ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} 1 & 0 & 3 \\ 11 & 5 & 2 \\ 6 & 12 & -5 \ end {pmatrix}}}$

Então

${\ displaystyle \ operatorname {tr} (\ mathbf {A}) = \ sum _ {i = 1} ^ {3} a_ {ii} = a_ {11} + a_ {22} + a_ {33} = 1 + 5 + (- 5) = 1}$

Propriedades

Propriedades básicas

O traço é um mapeamento linear . Isso é,

${\ displaystyle {\ begin {alinhados} \ operatorname {tr} (\ mathbf {A} + \ mathbf {B}) & = \ operatorname {tr} (\ mathbf {A}) + \ operatorname {tr} (\ mathbf {B}) \\\ operatorname {tr} (c \ mathbf {A}) & = c \ operatorname {tr} (\ mathbf {A}) \ end {alinhado}}}$

para todas as matrizes quadradas A e B , e todos os escalares c .

Uma matriz e sua transposta têm o mesmo traço:

${\ displaystyle \ operatorname {tr} (\ mathbf {A}) = \ operatorname {tr} \ left (\ mathbf {A} ^ {\ mathsf {T}} \ right).}$

Isso decorre imediatamente do fato de que a transposição de uma matriz quadrada não afeta os elementos ao longo da diagonal principal.

Traço de um produto

O traço de uma matriz quadrada que é o produto de duas matrizes pode ser reescrito como a soma dos produtos básicos de seus elementos. Mais precisamente, se A e B são duas matrizes m  ×  n , então:

${\ displaystyle \ operatorname {tr} \ left (\ mathbf {A} ^ {\ mathsf {T}} \ mathbf {B} \ right) = \ operatorname {tr} \ left (\ mathbf {A} \ mathbf {B } ^ {\ mathsf {T}} \ right) = \ operatorname {tr} \ left (\ mathbf {B} ^ {\ mathsf {T}} \ mathbf {A} \ right) = \ operatorname {tr} \ left (\ mathbf {B} \ mathbf {A} ^ {\ mathsf {T}} \ right) = \ sum _ {i, j} a_ {ji} b_ {ji}.}$

Isso significa que o traço de um produto de matrizes de tamanhos iguais funciona de maneira semelhante a um produto escalar de vetores (imagine A e B como vetores longos com colunas empilhadas entre si). Por essa razão, generalizações de operações vetoriais para matrizes (por exemplo, em cálculo de matrizes e estatísticas ) freqüentemente envolvem um traço de produtos de matrizes.

Para as matrizes reais A e B , o traço de um produto também pode ser escrito nas seguintes formas:

${\ displaystyle \ operatorname {tr} \ left (\ mathbf {A} ^ {\ mathsf {T}} \ mathbf {B} \ right) = \ sum _ {i, j} (\ mathbf {A} \ circ \ mathbf {B}) _ {ij}}$	(usando o produto Hadamard , também conhecido como o produto de entrada).
${\ displaystyle \ operatorname {tr} \ left (\ mathbf {A} ^ {\ mathsf {T}} \ mathbf {B} \ right) = \ operatorname {vec} (\ mathbf {B}) ^ {\ mathsf { T}} \ operatorname {vec} (\ mathbf {A}) = \ operatorname {vec} (\ mathbf {A}) ^ {\ mathsf {T}} \ operatorname {vec} (\ mathbf {B})}$	(usando o operador de vetorização ).

As matrizes em um traço de um produto podem ser trocadas sem alterar o resultado: Se A é uma matriz m × n e B é uma matriz n × m , então

Além disso, para matrizes de colunas reais e , o traço do produto externo é equivalente ao produto interno: ${\ displaystyle \ mathbf {a} \ in \ mathbb {R} ^ {n}}$${\ displaystyle \ mathbf {b} \ in \ mathbb {R} ^ {n}}$

Propriedade cíclica

Mais geralmente, o traço é invariante sob permutações cíclicas , ou seja,

Isso é conhecido como propriedade cíclica .

Permutações arbitrárias não são permitidas: em geral,

${\ displaystyle \ operatorname {tr} (\ mathbf {A} \ mathbf {B} \ mathbf {C}) \ neq \ operatorname {tr} (\ mathbf {A} \ mathbf {C} \ mathbf {B}). }$

No entanto, se produtos de três matrizes simétricas são considerados, qualquer permutação é permitida, uma vez que:

${\ displaystyle \ operatorname {tr} (\ mathbf {A} \ mathbf {B} \ mathbf {C}) = \ operatorname {tr} \ left (\ left (\ mathbf {A} \ mathbf {B} \ mathbf { C} \ right) ^ {\ mathsf {T}} \ right) = \ operatorname {tr} (\ mathbf {C} \ mathbf {B} \ mathbf {A}) = \ operatorname {tr} (\ mathbf {A } \ mathbf {C} \ mathbf {B}),}$

onde a primeira igualdade é porque os traços de uma matriz e sua transposta são iguais. Observe que isso não é verdade em geral para mais de três fatores.

Traço de um produto de matriz

Ao contrário do determinante , o traço do produto não é o produto de traços, ou seja, existem matrizes A e B tais que

${\ displaystyle \ operatorname {tr} (\ mathbf {A} \ mathbf {B}) \ neq \ operatorname {tr} (\ mathbf {A}) \ operatorname {tr} (\ mathbf {B})}$

Por exemplo, se

${\ displaystyle \ mathbf {A} = {\ begin {pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \ end {pmatrix}}, \ \ \ mathbf {B} = {\ begin {pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \ end {pmatrix}} ,}$

então o produto é

${\ displaystyle \ mathbf {AB} = {\ begin {pmatrix} 1 e 0 \\ 0 & 0 \ end {pmatrix}},}$

e os traços são ${\ displaystyle \ operatorname {tr} (\ mathbf {A} \ mathbf {B}) = 1 \ neq 0 \ cdot 0 = \ operatorname {tr} (\ mathbf {A}) \ operatorname {tr} (\ mathbf { B}).}$

Traço de um produto Kronecker

O traço do produto Kronecker de duas matrizes é o produto de seus traços:

${\ displaystyle \ operatorname {tr} (\ mathbf {A} \ otimes \ mathbf {B}) = \ operatorname {tr} (\ mathbf {A}) \ operatorname {tr} (\ mathbf {B}).}$

Caracterização completa do traço

As três propriedades a seguir:

${\ displaystyle {\ begin {alinhados} \ operatorname {tr} (\ mathbf {A} + \ mathbf {B}) & = \ operatorname {tr} (\ mathbf {A}) + \ operatorname {tr} (\ mathbf {B}), \\\ operatorname {tr} (c \ mathbf {A}) & = c \ operatorname {tr} (\ mathbf {A}), \\\ operatorname {tr} (\ mathbf {A} \ mathbf {B}) & = \ operatorname {tr} (\ mathbf {B} \ mathbf {A}), \ end {alinhado}}}$

caracterizar o traço completamente no sentido que se segue. Seja f um funcional linear no espaço de matrizes quadradas que satisfazem f  ( xy ) = f  ( yx ) . Então, f e tr são proporcionais.

Invariância de similaridade

O traço é invariante por similaridade , o que significa que para qualquer matriz quadrada A e qualquer matriz invertível P com as mesmas dimensões, as matrizes A e P ⁻¹ AP têm o mesmo traço. Isto é porque

${\ displaystyle \ operatorname {tr} \ left (\ mathbf {P} ^ {- 1} \ mathbf {A} \ mathbf {P} \ right) = \ operatorname {tr} \ left (\ mathbf {P} ^ { -1} (\ mathbf {A} \ mathbf {P}) \ right) = \ operatorname {tr} \ left ((\ mathbf {A} \ mathbf {P}) \ mathbf {P} ^ {- 1} \ direita) = \ operatorname {tr} \ left (\ mathbf {A} \ left (\ mathbf {P} \ mathbf {P} ^ {- 1} \ right) \ right) = \ operatorname {tr} (\ mathbf { UMA} ).}$

Traço de produto da matriz simétrica e assimétrica

Se A for simétrico e B for assimétrico , então

${\ displaystyle \ operatorname {tr} (\ mathbf {A} \ mathbf {B}) = 0}$.

Relação com valores próprios

Traço da matriz de identidade

O traço do n × n matriz de identidade é a dimensão do espaço, ou seja, n .

${\ displaystyle \ operatorname {tr} \ left (\ mathbf {I} _ {n} \ right) = n}$

Isso leva a generalizações de dimensão usando trace .

Traço de uma matriz idempotente

O rastreio de uma matriz idempotente A (uma matriz para a qual um ² = A ) é igual ao posto de Uma .

Traço de uma matriz nilpotente

O traço de uma matriz nilpotente é zero.

Quando a característica do campo base é zero, o inverso também é válido: se tr ( A ^k ) = 0 para todo k , então A é nilpotente.

Quando a característica n > 0 é positiva, a identidade em n dimensões é um contra-exemplo, como , mas a identidade não é nilpotente. ${\ displaystyle \ operatorname {tr} \ left (\ mathbf {I} _ {n} ^ {k} \ right) = \ operatorname {tr} \ left (\ mathbf {I} _ {n} \ right) = n \ equiv 0}$

O traço é igual à soma dos autovalores

Mais geralmente, se

${\ displaystyle f (x) = \ prod _ {i = 1} ^ {k} \ left (x- \ lambda _ {i} \ right) ^ {d_ {i}}}$

é o polinômio característico de uma matriz A , então

ou seja, o traço de uma matriz quadrada é igual à soma dos autovalores contados com multiplicidades.

Traço do comutador

Quando ambos A e B são N × n matrizes, o traço do (anel-teórico) do comutador de um e B desaparece: tr ([ A , B ]) = 0 , devido tr ( AB ) = tr ( BA ) e de tr é linear. Pode-se afirmar isso como "o traço é um mapa de álgebras de Lie gl _n → k de operadores para escalares", já que o comutador de escalares é trivial (é uma álgebra de Lie Abeliana). Em particular, usando a invariância de similaridade, segue-se que a matriz de identidade nunca é semelhante ao comutador de qualquer par de matrizes.

Por outro lado, qualquer matriz quadrada com traço zero é uma combinação linear dos comutadores de pares de matrizes. Além disso, qualquer matriz quadrada com traço zero é unitariamente equivalente a uma matriz quadrada com diagonal consistindo de todos os zeros.

Traço de matriz hermitiana

O traço de uma matriz hermitiana é real, porque os elementos da diagonal são reais.

Traço de matriz de permutação

O traço de uma matriz de permutação é o número de pontos fixos , porque o termo diagonal a _ii é 1 se o i- ésimo ponto for fixo e 0 caso contrário.

Traço da matriz de projeção

O traço de uma matriz de projeção é a dimensão do espaço alvo.

${\ displaystyle {\ begin {alinhados} \ mathbf {P} _ {\ mathbf {X}} & = \ mathbf {X} \ left (\ mathbf {X} ^ {\ mathsf {T}} \ mathbf {X} \ right) ^ {- 1} \ mathbf {X} ^ {\ mathsf {T}} \\ [3pt] \ Longrightarrow \ operatorname {tr} \ left (\ mathbf {P} _ {\ mathbf {X}} \ direita) & = \ operatorname {rank} (\ mathbf {X}). \ end {alinhado}}}$

A matriz P _X é idempotente e, mais geralmente, o traço de qualquer matriz idempotente é igual a sua própria classificação.

Traço exponencial

Expressões como tr (exp ( A )) , onde A é uma matriz quadrada, ocorrem com tanta frequência em alguns campos (por exemplo, teoria estatística multivariada), que uma notação abreviada se tornou comum:

${\ displaystyle \ operatorname {tre} (A): = \ operatorname {tr} (\ exp (A)).}$

tre às vezes é chamado de função de rastreamento exponencial ; é usado na desigualdade de Golden – Thompson .

Traço de um operador linear

Em geral, dado algum mapa linear f  : V → V (onde V é um espaço vetorial de dimensão finita ), podemos definir o traço deste mapa considerando o traço de uma representação matricial de f , ou seja, escolhendo uma base para V e descrevendo f como uma matriz em relação a essa base, e tomando o traço dessa matriz quadrada. O resultado não dependerá da base escolhida, uma vez que bases diferentes darão origem a matrizes semelhantes , permitindo a possibilidade de uma definição independente de bases para o traço de um mapa linear.

Uma tal definição pode ser administrada utilizando o isomorfismo canónica entre o espaço final ( V ) de mapas lineares em V e V ⊗ V * , em que V * é o espaço dual de V . Seja v em V e seja f em V * . Então o traço do elemento indecomponível v ⊗ f é definido como f  ( v ) ; o traço de um elemento geral é definido pela linearidade. Usando uma base explícita para V e a base dual correspondente para V * , pode-se mostrar que isso dá a mesma definição do traço dada acima.

Relações de autovalor

Se A é um operador linear representado por uma matriz quadrada com entradas reais ou complexas e se λ ₁ , ..., λ _n são os autovalores de A (listados de acordo com suas multiplicidades algébricas ), então

Isso decorre do fato de que A é sempre semelhante à sua forma Jordan , uma matriz triangular superior tendo λ ₁ , ..., λ _n na diagonal principal. Em contraste, o determinante de A é o produto de seus autovalores; isso é,

${\ displaystyle \ det (\ mathbf {A}) = \ prod _ {i} \ lambda _ {i}.}$

De forma geral,

${\ displaystyle \ operatorname {tr} \ left (\ mathbf {A} ^ {k} \ right) = \ sum _ {i} \ lambda _ {i} ^ {k}.}$

Derivados

O traço corresponde à derivada do determinante: é o análogo da álgebra de Lie do ( grupo de Lie ) mapa do determinante. Isso é tornado preciso na fórmula de Jacobi para a derivada do determinante .

Como caso particular, a identidade , o derivado do determinante, na verdade, eleva-se ao traço: TR = det ' _eu . A partir disso (ou da conexão entre o traço e os autovalores), pode-se derivar uma conexão entre a função traço, o mapa exponencial entre uma álgebra de Lie e seu grupo de Lie (ou concretamente, a função exponencial de matriz ) e o determinante :

${\ displaystyle \ det (\ exp (\ mathbf {A})) = \ exp (\ operatorname {tr} (\ mathbf {A})).}$

Por exemplo, considere a família de um parâmetro de transformações lineares dada pela rotação através do ângulo θ ,

${\ displaystyle \ mathbf {R} _ {\ theta} = {\ begin {pmatrix} \ cos \ theta & - \ sin \ theta \\\ sin \ theta & \ cos \ theta \ end {pmatrix}}.}$

Todas essas transformações têm determinante 1, portanto, preservam área. A derivada desta família em θ = 0 , a rotação de identidade, é a matriz anti-simétrica

${\ displaystyle A = {\ begin {pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \ end {pmatrix}}}$

que claramente possui traço zero, indicando que esta matriz representa uma transformação infinitesimal que preserva área.

Uma caracterização relacionada do traço se aplica a campos de vetores lineares . Dada uma matriz A , defina um campo vetorial F em R ⁿ por F ( x ) = Ax . Os componentes deste campo vetorial são funções lineares (dadas pelas linhas de A ). Sua divergência div F é uma função constante, cujo valor é igual a tr ( A ) .

Pelo teorema de divergência , pode-se interpretar esta em termos de fluxo de: se F ( x ) representa a velocidade de um fluido a localização X e L é uma região em R ⁿ , o fluxo de líquido do para fora do fluido de L é dado por tr ( a ) · vol ( L ) , onde vol ( L ) é o volume de de L .

O traço é um operador linear, portanto, comuta com a derivada:

${\ displaystyle \ operatorname {d} \ operatorname {tr} (\ mathbf {X}) = \ operatorname {tr} (\ operatorname {d} \ mathbf {X}).}$

Formulários

O traço de uma matriz complexa 2 × 2 é usado para classificar as transformações de Möbius . Primeiro, a matriz é normalizada para tornar seu determinante igual a um. Então, se o quadrado do traço for 4, a transformação correspondente é parabólica . Se o quadrado estiver no intervalo [0,4) , ele é elíptico . Finalmente, se o quadrado for maior que 4, a transformação é loxodrômica . Veja a classificação das transformações de Möbius .

O rastreamento é usado para definir caracteres de representações de grupo . Duas representações A , B  : L → GL ( V ) de um grupo G são equivalentes (-se a alteração da base em V ) se tr ( A ( g )) = tr ( B ( g )) para todos g ∈ L .

O traço também desempenha um papel central na distribuição das formas quadráticas .

Álgebra de mentira

O rastreio é um mapa de álgebra de Lie da álgebra de Lie de operadores lineares em um n espaço dimensional ( n x n matrizes com entradas em ) para o Lie álgebra K de escalares; como K é Abeliano (o colchete de Lie desaparece), o fato de este ser um mapa de álgebras de Lie é exatamente a afirmação de que o traço de um colchete desaparece: ${\ displaystyle \ operatorname {tr}: {\ mathfrak {gl}} _ {n} \ para K}$${\ displaystyle {\ mathfrak {gl}} _ {n}}$${\ displaystyle K}$

${\ displaystyle \ operatorname {tr} ([\ mathbf {A}, \ mathbf {B}]) = 0 {\ text {para cada}} \ mathbf {A}, \ mathbf {B} \ in {\ mathfrak { gl}} _ {n}.}$

O núcleo deste mapa, uma matriz cujo traço é zero , muitas vezes é dito ser sem rastros outraço livre , e essas matrizes formam aálgebra de Lie simples , que é aálgebradeLiedogrupo linear especialde matrizes com determinante 1. O grupo linear especial consiste nas matrizes que não mudam de volume, enquanto aálgebra de Lie linear especialé o matrizes que não alteram o volume deconjuntosinfinitesimais. ${\ displaystyle {\ mathfrak {sl}} _ {n}}$

Na verdade, há uma decomposição de soma direta interna de operadores / matrizes em operadores / matrizes sem rastros e operadores / matrizes escalares. O mapa de projeção em operadores escalares pode ser expresso em termos de traço, concretamente como: ${\ displaystyle {\ mathfrak {gl}} _ {n} = {\ mathfrak {sl}} _ {n} \ oplus K}$

${\ displaystyle \ mathbf {A} \ mapsto {\ frac {1} {n}} \ operatorname {tr} (\ mathbf {A}) \ mathbf {I}.}$

Formalmente, pode-se compor o traço (o mapa de contagem ) com o mapa de unidade de "inclusão de escalares " para obter um mapeamento de mapa em escalares, e multiplicar por n . A divisão por n torna isso uma projeção, produzindo a fórmula acima. ${\ displaystyle K \ to {\ mathfrak {gl}} _ {n}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {gl}} _ {n} \ to {\ mathfrak {gl}} _ {n}}$

Em termos de sequências curtas exatas , tem-se

${\ displaystyle 0 \ to {\ mathfrak {sl}} _ {n} \ to {\ mathfrak {gl}} _ {n} {\ overset {\ operatorname {tr}} {\ to}} K \ to 0}$

que é análogo a

${\ displaystyle 1 \ to \ operatorname {SL} _ {n} \ to \ operatorname {GL} _ {n} {\ overset {\ det} {\ to}} K ^ {*} \ to 1}$

(onde ) para grupos de Lie. No entanto, as separações de rastreio naturalmente (via vezes escalares) de modo , mas a cisão do determinante seria como as n th vezes raiz escalares, e esta não é, em geral definir uma função, de modo que o determinante não dividida e o grupo linear geral não se decompõe: ${\ displaystyle K ^ {*} = K \ setminus \ {0 \}}$${\ displaystyle 1 / n}$${\ displaystyle {\ mathfrak {gl}} _ {n} = {\ mathfrak {sl}} _ {n} \ oplus K}$

${\ displaystyle \ operatorname {GL} _ {n} \ neq \ operatorname {SL} _ {n} \ times K ^ {*}.}$

Formas bilineares

A forma bilinear (onde X , Y são matrizes quadradas)

${\ displaystyle B (\ mathbf {X}, \ mathbf {Y}) = \ operatorname {tr} (\ operatorname {ad} (\ mathbf {X}) \ operatorname {ad} (\ mathbf {Y})) \ quad {\ text {where}} \ operatorname {ad} (\ mathbf {X}) \ mathbf {Y} = [\ mathbf {X}, \ mathbf {Y}] = \ mathbf {X} \ mathbf {Y} - \ mathbf {Y} \ mathbf {X}}$

é chamado de Killing form , que é usado para a classificação de álgebras de Lie.

O traço define uma forma bilinear:

${\ displaystyle (\ mathbf {X}, \ mathbf {Y}) \ mapsto \ operatorname {tr} (\ mathbf {X} \ mathbf {Y}).}$

A forma é simétrica, não degenerada e associativa no sentido de que:

${\ displaystyle \ operatorname {tr} (\ mathbf {X} [\ mathbf {Y}, \ mathbf {Z}]) = \ operatorname {tr} ([\ mathbf {X}, \ mathbf {Y}] \ mathbf {Z}).}$

Para uma álgebra de Lie simples e complexa (como _n ), todas as formas bilineares são proporcionais entre si; em particular, para o formulário Killing. ${\ displaystyle {\ mathfrak {sl}}}$

Duas matrizes X e Y são ditas traços ortogonais se

${\ displaystyle \ operatorname {tr} (\ mathbf {X} \ mathbf {Y}) = 0}$.

Produto Interno

Para uma matriz A m × n com entradas complexas (ou reais) e ^H sendo a transposta conjugada, temos

${\ displaystyle \ operatorname {tr} \ left (\ mathbf {A} ^ {\ mathsf {H}} \ mathbf {A} \ right) \ geq 0}$

com igualdade se e somente se A = 0 .

A atribuição

${\ displaystyle \ langle \ mathbf {A}, \ mathbf {B} \ rangle = \ operatorname {tr} \ left (\ mathbf {A} ^ {\ mathsf {H}} \ mathbf {B} \ right)}$

produz um produto interno no espaço de todas as matrizes m × n complexas (ou reais) .

A norma derivada do produto interno acima é chamada de norma de Frobenius , que satisfaz a propriedade submultiplicativa como norma de matriz. Na verdade, é simplesmente a norma euclidiana se a matriz é considerada um vetor de comprimento m ⋅ n .

Segue-se que se A e B são matrizes semi-definidas positivas reais do mesmo tamanho, então

${\ displaystyle 0 \ leq \ left [\ operatorname {tr} (\ mathbf {A} \ mathbf {B}) \ right] ^ {2} \ leq \ operatorname {tr} \ left (\ mathbf {A} ^ { 2} \ right) \ operatorname {tr} \ left (\ mathbf {B} ^ {2} \ right) \ leq \ left [\ operatorname {tr} (\ mathbf {A}) \ right] ^ {2} \ esquerda [\ operatorname {tr} (\ mathbf {B}) \ direita] ^ {2}.}$

Generalizações

O conceito de traço de uma matriz é generalizado para a classe traço de operadores compactos em espaços de Hilbert , e o análogo da norma de Frobenius é chamado de norma de Hilbert-Schmidt .

Se K é uma classe de traço, então para qualquer base ortonormal , o traço é dado por ${\ displaystyle (\ varphi _ {n}) _ {n}}$

${\ displaystyle \ operatorname {tr} (K) = \ sum _ {n} \ left \ langle \ varphi _ {n}, K \ varphi _ {n} \ right \ rangle,}$

e é finito e independente da base ortonormal.

O rastreamento parcial é outra generalização do rastreamento com valor de operador. O traço de um operador linear Z que vive em um espaço de produto A ⊗ B é igual aos traços parciais sobre A e B :

${\ displaystyle \ operatorname {tr} (Z) = \ operatorname {tr} _ {A} \ left (\ operatorname {tr} _ {B} (Z) \ right) = \ operatorname {tr} _ {B} \ esquerda (\ operatorname {tr} _ {A} (Z) \ direita).}$

Para obter mais propriedades e uma generalização do traço parcial, consulte categorias monoidais traçadas .

Se A é um geral álgebra associativa sobre um campo de k , em seguida, um rastreio em Um é muitas vezes definida como sendo qualquer mapa tr: Um ↦ k que desaparece em comutadores: tr ([ a , b ]) para todos um , b ∈ Uma . Esse traço não é definido exclusivamente; ele sempre pode ser modificado pela multiplicação por um escalar diferente de zero.

Um super traço é a generalização de um traço para a configuração de superálgebras .

A operação de contração do tensor generaliza o traço para tensores arbitrários.

Definição livre de coordenadas

O traço também pode ser abordado de forma livre de coordenadas, ou seja, sem referência a uma escolha de base, como segue: o espaço de operadores lineares em um espaço vetorial de dimensão finita V (definido sobre o campo F ) é isomórfico ao espaço V ⊗ V ^∗ através do mapa linear

${\ displaystyle V \ otimes V ^ {*} \ to \ operatorname {Hom} (V, V), v \ otimes h \ mapsto (w \ mapsto h (w) v).}$

Existe também uma função bilinear canônica t  : V × V ^∗ → F que consiste em aplicar um elemento w ^∗ de V ^∗ a um elemento v de V para obter um elemento de F :

${\ displaystyle t \ left (v, w ^ {*} \ right): = w ^ {*} (v) \ in F.}$

Isso induz uma função linear no produto tensorial (por sua propriedade universal ) t  : V ⊗ V ^∗ → F , que, ao que parece, quando esse produto tensorial é visto como o espaço dos operadores, é igual ao traço.

Em particular, dado um operador de classificação um A (equivalentemente, um tensor simples ), o quadrado é porque em sua imagem unidimensional, A é apenas multiplicação escalar. Em termos da expressão tensorial, e é o traço (e apenas autovalor diferente de zero) de A ; isso dá uma interpretação livre de coordenadas da entrada diagonal. Cada operador em um espaço n- dimensional pode ser expresso como uma soma de n operadores de classificação um; isso dá uma versão sem coordenadas da soma das entradas diagonais. ${\ displaystyle v \ otimes w ^ {*}}$${\ displaystyle A ^ {2} = \ lambda A,}$${\ displaystyle \ lambda = w ^ {*} (v),}$

Isso também esclarece porque tr ( AB ) = tr ( BA ) e porque tr ( AB ) ≠ tr ( A ) tr ( B ) , como composição de operadores (multiplicação de matrizes) e trace podem ser interpretados como o mesmo emparelhamento. Vendo

${\ displaystyle \ operatorname {End} (V) \ cong V \ otimes V ^ {*},}$

pode-se interpretar o mapa de composição

${\ displaystyle \ operatorname {Fim} (V) \ times \ operatorname {Fim} (V) \ to \ operatorname {Fim} (V)}$

Como

${\ displaystyle (V \ otimes V ^ {*}) \ times (V \ otimes V ^ {*}) \ to (V \ otimes V ^ {*})}$

vindo do emparelhamento V ^∗ × V → F nos termos do meio. Obter o traço do produto então vem do emparelhamento nos termos externos, ao mesmo tempo que se pega o produto na ordem oposta e depois se faz o traçado, apenas alterna qual emparelhamento é aplicado primeiro. Por outro lado, pegar o traço de A e o traço de B corresponde à aplicação do emparelhamento nos termos da esquerda e nos termos da direita (em vez de no interno e externo) e, portanto, é diferente.

Em coordenadas, isso corresponde a índices: a multiplicação é dada por

${\ displaystyle (\ mathbf {A} \ mathbf {B}) _ {ik} = \ sum _ {j} a_ {ij} b_ {jk},}$

tão

${\ displaystyle \ operatorname {tr} (\ mathbf {A} \ mathbf {B}) = \ sum _ {ij} a_ {ij} b_ {ji} \ quad {\ text {e}} \ quad \ operatorname {tr } (\ mathbf {B} \ mathbf {A}) = \ sum _ {ij} b_ {ij} a_ {ji}}$

que é o mesmo, enquanto

${\ displaystyle \ operatorname {tr} (\ mathbf {A}) \ cdot \ operatorname {tr} (\ mathbf {B}) = \ sum _ {i} a_ {ii} \ cdot \ sum _ {j} b_ { jj},}$

o que é diferente.

Para V de dimensão finita , com base { e _i } e base dual { e ⁱ } , então e _i ⊗ e ^j é a entrada ij da matriz do operador com relação a essa base. Qualquer operador A é, portanto, uma soma do formulário

${\ displaystyle \ mathbf {A} = a_ {ij} e_ {i} \ otimes e ^ {j}.}$

Com t definido como acima,

${\ displaystyle \ operatorname {tr} (\ mathbf {A}) = a_ {ij} \ operatorname {tr} \ left (e_ {i} \ otimes e ^ {j} \ right).}$

Este último, entretanto, é apenas o delta de Kronecker , sendo 1 se i = j e 0 caso contrário. Isso mostra que tr ( A ) é simplesmente a soma dos coeficientes ao longo da diagonal. Este método, entretanto, torna a invariância coordenada uma conseqüência imediata da definição.

Dual

Além disso, pode-se dualizar este mapa, obtendo um mapa

${\ displaystyle F ^ {*} = F \ to V \ otimes V ^ {*} \ cong \ operatorname {End} (V).}$

Este mapa é justamente a inclusão de escalares , enviando 1 ∈ F para a matriz identidade: "traço é dual para escalares". Na linguagem das bialgebras , os escalares são a unidade , enquanto o traço é a contagem .

Pode-se então compor estes,

${\ displaystyle F ~ {\ overset {I} {\ to}} ~ \ operatorname {End} (V) ~ {\ overset {\ operatorname {tr}} {\ to}} ~ F,}$

o que resulta na multiplicação por n , pois o traço da identidade é a dimensão do espaço vetorial.

Generalizações

Usando a noção de objetos dualizáveis e traços categóricos , esta abordagem aos traços pode ser axiomatizada e aplicada a outras áreas matemáticas.

Veja também

• Traço de um tensor em relação a um tensor métrico
• Função característica
• Traço de campo
• Desigualdade de Golden – Thompson
• Traço singular
• Teorema de Specht
• Aula de rastreamento
• Identidade de rastreamento
• Desigualdades de rastreamento
• o traço de desigualdade de von Neumann

Notas

Referências

links externos

• "Trace of a square matrix" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press , 2001 [1994]