Forma cúspide - Cusp form

Na teoria dos números , um ramo da matemática , uma forma cúspide é um tipo particular de forma modular com um coeficiente constante zero na expansão da série de Fourier .

Introdução

Uma forma cúspide é distinguida no caso de formas modulares para o grupo modular pelo desaparecimento do coeficiente constante a ₀ na expansão da série de Fourier (ver q -expansão )

${\ displaystyle \ sum a_ {n} q ^ {n}.}$

Esta expansão de Fourier existe como consequência da presença na ação do grupo modular no semiplano superior por meio da transformação

${\ displaystyle z \ mapsto z + 1.}$

Para outros grupos, pode haver alguma tradução através de várias unidades, caso em que a expansão de Fourier é em termos de um parâmetro diferente. Em todos os casos, entretanto, o limite como q → 0 é o limite no semiplano superior como a parte imaginária de z → ∞. Tomando o quociente pelo grupo modular, este limite corresponde a uma cúspide de uma curva modular (no sentido de um ponto adicionado para compactação ). Portanto, a definição equivale a dizer que uma forma cúspide é uma forma modular que desaparece em uma cúspide. No caso de outros grupos, pode haver várias cúspides, e a definição torna-se uma forma modular desaparecendo em todas as cúspides. Isso pode envolver várias expansões.

Dimensão

As dimensões dos espaços das formas cúspides são, em princípio, computáveis ​​por meio do teorema de Riemann-Roch . Por exemplo, a função de tau Ramanujan τ ( n ) surge como uma seqncia de coeficientes de Fourier de forma cúspide de peso 12 para o grupo modular, com um ₁  = 1. O espaço de tais formas tem uma dimensão, o que significa que esta definição é possível; e isso explica a ação dos operadores de Hecke no espaço sendo por multiplicação escalar (a prova de Mordell das identidades de Ramanujan). Explicitamente, é o discriminante modular

${\ displaystyle \ Delta (z, q),}$

que representa (até uma constante de normalização ) o discriminante da cúbica no lado direito da equação de Weierstrass de uma curva elíptica ; e o 24º poder da função eta de Dedekind . Os coeficientes de Fourier aqui são escritos

${\ displaystyle \ tau (n)}$

e chamada de ' função tau de Ramanujan ', com a normalização τ (1) = 1.

Conceitos relacionados

No quadro mais amplo das formas automórficas , as formas cúspides são complementares às séries de Eisenstein , em um espectro discreto / espectro contínuo , ou representação em série discreta / distinção de representação induzida típica em diferentes partes da teoria espectral . Ou seja, a série de Eisenstein pode ser "projetada" para assumir determinados valores nas cúspides. Existe uma grande teoria geral, embora dependendo da teoria bastante intrincada dos subgrupos parabólicos e das representações cúspides correspondentes .

Referências

• Serre, Jean-Pierre , A Course in Arithmetic , Graduate Texts in Mathematics , No. 7, Springer-Verlag , 1978. ISBN  0-387-90040-3
• Shimura, Goro , uma introdução à teoria aritmética de funções automórficas , Princeton University Press , 1994. ISBN  0-691-08092-5
• Gelbart, Stephen , Automorphic Forms on Adele Groups , Annals of Mathematics Studies, No. 83, Princeton University Press, 1975. ISBN  0-691-08156-5