Matriz defeituosa - Defective matrix

Na álgebra linear , uma matriz defeituosa é uma matriz quadrada que não tem uma base completa de autovetores e, portanto, não é diagonalizável . Em particular, um n  ×  n matriz é defeituoso , se e apenas se ele não tem n linearmente independentes vectores eigen. Uma base completa é formada pelo aumento dos autovetores com autovetores generalizados , que são necessários para resolver sistemas defeituosos de equações diferenciais ordinárias e outros problemas.

Um n  ×  n matriz defeituosa tem sempre menos do que n distintos valores próprios , desde valores próprios distintos têm sempre vectores próprios linearmente independentes. Em particular, uma matriz defeituosa tem um ou mais autovalores λ com multiplicidade algébrica m > 1 (isto é, eles são raízes múltiplas do polinômio característico ), mas menos do que m autovetores linearmente independentes associados a λ . Se a multiplicidade algébrica de λ excede sua multiplicidade geométrica (isto é, o número de autovetores linearmente independentes associados a λ ), então λ é considerado um autovalor defeituoso . No entanto, todo autovalor com multiplicidade algébrica m sempre tem m autovetores generalizados linearmente independentes.

Uma matriz Hermitiana (ou o caso especial de uma matriz simétrica real ) ou uma matriz unitária nunca é defeituosa; mais geralmente, uma matriz normal (que inclui hermitiana e unitária como casos especiais) nunca é defeituosa.

Bloco Jordan

Qualquer bloco de Jordan não trivial de tamanho 2 × 2 ou maior (ou seja, não completamente diagonal) está com defeito. (Uma matriz diagonal é um caso especial da forma normal Jordan e não está defeituoso.) Por exemplo, o n  x  n bloco Jordan

${\ displaystyle J = {\ begin {bmatrix} \ lambda & 1 & \; & \; \\\; & \ lambda & \ ddots & \; \\\; & \; & \ ddots & 1 \\\; & \; & \; & \ lambda \ end {bmatrix}},}$

tem um autovalor , λ, com multiplicidade algébrica n , mas apenas um autovetor distinto,

${\ displaystyle v = {\ begin {bmatrix} 1 \\ 0 \\\ vdots \\ 0 \ end {bmatrix}}.}$

Na verdade, qualquer matriz defeituosa tem uma forma normal de Jordan não trivial , que é o mais próximo que se pode chegar da diagonalização de tal matriz.

Exemplo

Um exemplo simples de uma matriz defeituosa é

${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} 3 e 1 \\ 0 & 3 \ end {bmatrix}},}$

que tem um autovalor duplo de 3, mas apenas um autovetor distinto

${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} 1 \\ 0 \ end {bmatrix}}}$

(e seus múltiplos constantes).

Veja também

• Jordan forma normal

Notas

Referências

• Golub, Gene H .; Van Loan, Charles F. (1996), Matrix Computations (3ª ed.), Baltimore: Johns Hopkins University Press , ISBN 978-0-8018-5414-9
• Strang, Gilbert (1988). Linear Algebra and Its Applications (3ª ed.). San Diego: Harcourt. ISBN 978-970-686-609-7.