Cone duplo e cone polar - Dual cone and polar cone

Um conjunto C e seu cone duplo C ^* .

Um conjunto C e seu cone polar C ^o . O cone duplo e o cone polar são simétricos em relação à origem.

O cone dual e o cone polar são conceitos intimamente relacionados na análise convexa , um ramo da matemática .

Cone duplo

Em um espaço vetorial

O cone dual C ^* de um subconjunto C em um espaço linear X sobre os reais , por exemplo, espaço euclidiano R ⁿ , com espaço dual X ^* é o conjunto

${\ displaystyle C ^ {*} = \ left \ {y \ in X ^ {*}: \ langle y, x \ rangle \ geq 0 \ quad \ forall x \ in C \ right \},}$

onde é o emparelhamento dualidade entre X e X ^* , ou seja . ${\ displaystyle \ langle y, x \ rangle}$${\ displaystyle \ langle y, x \ rangle = y (x)}$

C ^* é sempre um cone convexo , mesmo que C não seja convexo nem um cone .

Em um espaço vetorial topológico

Se X for um espaço vetorial topológico sobre os números reais ou complexos, então o cone dual de um subconjunto C ⊆ X é o seguinte conjunto de funcionais lineares contínuos em X :

${\ displaystyle C ^ {\ prime}: = \ left \ {f \ in X ^ {\ prime}: \ operatorname {Re} \ left (f (x) \ right) \ geq 0 {\ text {for all} } x \ in C \ right \}}$,

que é o polar do conjunto - C . Não importa o que C seja, será um cone convexo. Se C ⊆ {0} então . ${\ displaystyle C ^ {\ prime}}$${\ displaystyle C ^ {\ prime} = X ^ {\ prime}}$

Em um espaço de Hilbert (cone duplo interno)

Alternativamente, muitos autores definem o cone dual no contexto de um espaço de Hilbert real (como R ⁿ equipado com o produto interno euclidiano) como o que às vezes é chamado de cone dual interno .

${\ displaystyle C _ {\ text {internal}} ^ {*}: = \ left \ {y \ in X: \ langle y, x \ rangle \ geq 0 \ quad \ forall x \ in C \ right \}.}$

Usando esta última definição para C ^* , temos que quando C é um cone, as seguintes propriedades são válidas:

• Um vetor diferente de zero y está em C ^* se e somente se ambas as seguintes condições forem mantidas:

1. y é um normal, na origem de um hiperplana que suporta C .
2. y e C estão no mesmo lado desse hiperplano de suporte.

• C ^* é fechado e convexo.
• ${\ displaystyle C_ {1} \ subseteq C_ {2}}$implica .${\ displaystyle C_ {2} ^ {*} \ subseteq C_ {1} ^ {*}}$
• Se C tem um interior não vazio, então C ^* é apontado , isto é , C * não contém nenhuma linha em sua totalidade.
• Se C for um cone e o fechamento de C for pontiagudo, então C ^* terá interior não vazio.
• C ^** é o fechamento do menor cone convexo contendo C (uma consequência do teorema de separação do hiperplano )

Cones autoduplicados

Um cone C num espaço vectorial X é dito para ser auto-dupla , se X pode ser equipado com um produto interno ⟨⋅, ⋅⟩ de tal modo que o interno de cone duplo em relação a este produto interno é igual a C . Os autores que definem o cone dual como o cone dual interno em um espaço de Hilbert real costumam dizer que um cone é autodual se for igual ao seu dual interno. Isso é ligeiramente diferente da definição acima, que permite uma mudança no produto interno. Por exemplo, a definição acima torna um cone em R ⁿ com base elipsoidal autodual, porque o produto interno pode ser alterado para tornar a base esférica, e um cone com base esférica em R ⁿ é igual ao seu dual interno.

O orthant não negativo de R ⁿ e o espaço de todas as matrizes semidefinidas positivas são autoduais , assim como os cones com base elipsoidal (freqüentemente chamados de "cones esféricos", "cones de Lorentz" ou às vezes "cones de sorvete"). O mesmo ocorre com todos os cones em R ³ cuja base é a casca convexa de um polígono regular com um número ímpar de vértices. Um exemplo menos regular é o cone em R ³ cuja base é a "casa": o casco convexo de um quadrado e um ponto fora do quadrado formando um triângulo equilátero (de altura apropriada) com um dos lados do quadrado.

Cone polar

O polar do cone convexo fechado C é o cone convexo fechado C ^o , e vice-versa.

Para um conjunto C em X , o cone polar de C é o conjunto

${\ displaystyle C ^ {o} = \ left \ {y \ in X ^ {*}: \ langle y, x \ rangle \ leq 0 \ quad \ forall x \ in C \ right \}.}$

Pode-se observar que o cone polar é igual ao negativo do cone dual, ou seja, C ^o = - C ^* .

Para um cone fechada convexa C em X , o cone polar é equivalente ao conjunto polar para C .

Veja também

• Teorema bipolar
• Conjunto polar

Referências

Bibliografia

• Boltyanski, VG ; Martini, H .; Soltan, P. (1997). Excursões em geometria combinatória . Nova York: Springer. ISBN 3-540-61341-2.
• Goh, CJ; Yang, XQ (2002). Dualidade na otimização e desigualdades variacionais . Londres; Nova York: Taylor & Francis. ISBN 0-415-27479-6.
• Narici, Lawrence ; Beckenstein, Edward (2011). Espaços vetoriais topológicos . Matemática pura e aplicada (segunda edição). Boca Raton, FL: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC  144216834 .
• Ramm, AG (2000). Shivakumar, PN; Strauss, AV (eds.). Teoria do operador e suas aplicações . Providence, RI: American Mathematical Society. ISBN 0-8218-1990-9.
• Schaefer, Helmut H .; Wolff, Manfred P. (1999). Espaços vetoriais topológicos . GTM . 8 (segunda edição). New York, NY: Springer New York Imprint Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC  840278135 .