Axiomas de Eilenberg-Steenrod - Eilenberg–Steenrod axioms

Na matemática , especificamente na topologia algébrica , os axiomas de Eilenberg – Steenrod são propriedades que as teorias de homologia de espaços topológicos têm em comum. O exemplo quintessencial de uma teoria da homologia que satisfaz os axiomas é a homologia singular , desenvolvida por Samuel Eilenberg e Norman Steenrod .

Pode-se definir uma teoria de homologia como uma sequência de functores que satisfazem os axiomas de Eilenberg-Steenrod. A abordagem axiomática, que foi desenvolvida em 1945, permite provar resultados, como a sequência de Mayer-Vietoris , que são comuns a todas as teorias de homologia que satisfazem os axiomas.

Se omitirmos o axioma da dimensão (descrito abaixo), os axiomas restantes definirão o que é chamado de teoria da homologia extraordinária . As teorias de cohomologia extraordinárias surgiram pela primeira vez na teoria K e no cobordismo .

Definição formal

Os axiomas de Eilenberg-Steenrod se aplicam a uma sequência de functores da categoria de pares de espaços topológicos à categoria de grupos abelianos , junto com uma transformação natural chamada de mapa de fronteira (aqui está uma abreviação de . Os axiomas são: ${\ displaystyle H_ {n}}$ ${\ displaystyle (X, A)}$ ${\ displaystyle \ partial \ dois pontos H_ {i} (X, A) \ a H_ {i-1} (A)}$${\ displaystyle H_ {i-1} (A)}$${\ displaystyle H_ {i-1} (A, \ emptyset)}$

1. Homotopia : os mapas homotópicos induzem o mesmo mapa na homologia. Ou seja, se for homotópico a , então seus homomorfismos induzidos são os mesmos.${\ displaystyle g \ dois pontos (X, A) \ rightarrow (Y, B)}$${\ displaystyle h \ dois pontos (X, A) \ rightarrow (Y, B)}$
2. Excisão : Sefor um par e U for um subconjunto de A tal que o fechamento de U esteja contido no interior de A , então o mapa de inclusãoinduz um isomorfismo em homologia.${\ displaystyle (X, A)}$${\ displaystyle i \ dois pontos (X \ setminus U, A \ setminus U) \ to (X, A)}$
3. Dimensão : Seja P o espaço de um ponto; então para todos .${\ displaystyle H_ {n} (P) = 0}$${\ displaystyle n \ neq 0}$
4. Aditividade : Se , a união disjunta de uma família de espaços topológicos , então${\ displaystyle X = \ coprod _ {\ alpha} {X _ {\ alpha}}}$${\ displaystyle X _ {\ alpha}}$${\ displaystyle H_ {n} (X) \ cong \ bigoplus _ {\ alpha} H_ {n} (X _ {\ alpha}).}$
5. Exatidão : Cada par (X, A) induz uma longa sequência exata em homologia, por meio das inclusões e :${\ displaystyle i \ dois pontos A \ a X}$${\ displaystyle j \ colon X \ to (X, A)}$

${\ displaystyle \ cdots \ to H_ {n} (A) \, {\ xrightarrow {i _ {*}}} \, H_ {n} (X) \, {\ xrightarrow {j _ {*}}} \, H_ {n} (X, A) \, {\ xrightarrow {\ partial}} \, H_ {n-1} (A) \ to \ cdots.}$

Se P é o espaço de um ponto, então é chamado de grupo de coeficientes . Por exemplo, homologia singular (tomada com coeficientes inteiros, como é mais comum) tem como coeficientes os inteiros. ${\ displaystyle H_ {0} (P)}$

Consequências

Alguns fatos sobre grupos de homologia podem ser derivados diretamente dos axiomas, como o fato de que espaços homotopicamente equivalentes têm grupos de homologia isomórficos.

A homologia de alguns espaços relativamente simples, como n - esferas , pode ser calculada diretamente a partir dos axiomas.  Disto pode ser facilmente mostrado que a ( n - 1) -sfera não é uma retração do n -disco. Isso é usado em uma demonstração do teorema do ponto fixo de Brouwer .

Axioma de dimensão

Uma teoria "semelhante à homologia" que satisfaça todos os axiomas de Eilenberg-Steenrod, exceto o axioma da dimensão, é chamada de teoria da homologia extraordinária (dupla teoria da cohomologia extraordinária ). Exemplos importantes destes foram encontrados na década de 1950, tais como K-teoria topológica e teoria cobordismo , que são extraordinárias co teorias de homologia, e vêm com teorias de homologia dupla para eles.

Veja também

• Lema do zigue-zague

Notas

Referências

• Eilenberg, Samuel ; Steenrod, Norman E. (1945). "Abordagem axiomática da teoria da homologia" . Anais da Academia Nacional de Ciências dos Estados Unidos da América . 31 (4): 117-120. Bibcode : 1945PNAS ... 31..117E . doi : 10.1073 / pnas.31.4.117 . MR  0012228 . PMC  1078770 . PMID  16578143 .
• Eilenberg, Samuel ; Steenrod, Norman E. (1952). Fundamentos da topologia algébrica . Princeton, New Jersey: Princeton University Press . MR  0050886 .
• Bredon, Glen (1993). Topologia e geometria . Textos de Pós-Graduação em Matemática. 139 . Nova York: Springer-Verlag. doi : 10.1007 / 978-1-4757-6848-0 . ISBN 0-387-97926-3. MR  1224675 .