Conjectura generalizada de Poincaré - Generalized Poincaré conjecture

Na área matemática da topologia , a conjectura de Poincaré generalizada é uma afirmação de que uma variedade que é uma esfera de homotopia é uma esfera . Mais precisamente, fixa-se uma categoria de variedades: topológica ( Top ), linear por partes ( PL ) ou diferenciável ( Diff ). Então a declaração é

Cada esfera de homotopia (uma variedade n fechada que é homotopia equivalente à esfera n ) na categoria escolhida (ou seja, variedades topológicas, variedades PL ou variedades suaves) é isomórfica na categoria escolhida (ou seja, homeomórfica, PL-isomórfica ou difeomórfico) para a esfera n padrão .

O nome deriva da conjectura de Poincaré , que foi feita para variedades (topológicas ou PL) de dimensão 3, onde ser uma esfera de homotopia equivale a ser simplesmente conectada e fechada . A conjectura de Poincaré generalizada é conhecida como verdadeira ou falsa em vários casos, devido ao trabalho de muitos topólogos ilustres, incluindo os ganhadores da medalha Fields, John Milnor , Steve Smale , Michael Freedman e Grigori Perelman .

Status

Aqui está um resumo do status da conjectura de Poincaré generalizada em vários cenários.

• Superior : verdadeiro em todas as dimensões.
• PL : verdadeiro em dimensões diferentes de 4; desconhecido na dimensão 4, onde é equivalente a Dif.
• Dif : falso geralmente, verdadeiro em algumas dimensões, incluindo 1,2,3,5 e 6. O primeiro contra-exemplo conhecido está na dimensão 7. O caso da dimensão 4 é equivalente a PL e não está resolvido (em 2019).

Um fato fundamental da topologia diferencial é que a noção de isomorfismo em Top, PL e Diff é a mesma na dimensão 3 e abaixo; na dimensão 4, PL e Diff concordam, mas Top difere. Na dimensão acima de 6, todos eles diferem. Nas dimensões 5 e 6, cada manifold PL admite uma estrutura infinitamente diferenciável que é chamada de compatível com Whitehead .

História

Os casos n = 1 e 2 são conhecidos há muito tempo pela classificação de variedades nessas dimensões.

Para um PL ou n-esfera de homotopia suave, em 1960 Stephen Smale provou que era homeomórfico à n- esfera e subsequentemente estendeu sua prova para ; ele recebeu a medalha Fields por seu trabalho em 1966. Logo após o anúncio de uma prova por Smale, John Stallings deu uma prova diferente para dimensões de pelo menos 7 de que uma homotopia n- esfera PL era homeomórfica à n- esfera, usando a noção de " engolfando ". EC Zeeman modificou a construção de Stalling para trabalhar nas dimensões 5 e 6. Em 1962, Smale provou que uma homotopia n- esfera PL é PL-isomórfica à esfera n- PL padrão para n pelo menos 5. Em 1966, MHA Newman estendeu o engolfamento de PL para a situação topológica e provou que para uma homotopia topológica n -sfera é homeomórfica para a n -sfera. ${\ displaystyle n \ geq 7}$${\ displaystyle n \ geq 5}$${\ displaystyle n \ geq 5}$

Michael Freedman resolveu o caso topológico em 1982 e recebeu a Medalha Fields em 1986. A prova inicial consistia em um esboço de 50 páginas, com muitos detalhes faltando. Freedman deu uma série de palestras na época, convencendo os especialistas de que a prova estava correta. Um projeto para produzir uma versão escrita da prova com o histórico e todos os detalhes preenchidos começou em 2013, com o apoio da Freedman. A produção do projeto, editada por Stefan Behrens, Boldizsar Kalmar, Min Hoon Kim, Mark Powell e Arunima Ray, com contribuições de 20 matemáticos, foi publicada em agosto de 2021 na forma de um livro de 496 páginas, The Disk Embedding Theorem . ${\ displaystyle n = 4}$

Grigori Perelman resolveu o caso (onde os casos topológicos, PL e diferenciáveis ​​coincidem) em 2003 em uma seqüência de três artigos. Ele recebeu uma medalha Fields em agosto de 2006 e o Prêmio Millennium do Clay Mathematics Institute em março de 2010, mas recusou ambos. ${\ displaystyle n = 3}$

Esferas exóticas

A conjectura de Poincaré generalizada é verdadeira topologicamente, mas falsa suavemente em algumas dimensões. Isso resulta em construções de variedades que são homeomórficas, mas não difeomórficas, em relação à esfera padrão, que são conhecidas como esferas exóticas : você pode interpretá-las como estruturas suaves não padrão na esfera padrão (topológica).

Assim, as esferas de homotopia que John Milnor produziu são homeomórficas (Top-isomorphic e, de fato, homeomorphic linear por partes) à esfera padrão , mas não são difeomórficas (Diff-isomorphic) a ela e, portanto, são esferas exóticas : podem ser interpretadas como não -estruturas diferenciáveis ​​padrão na esfera padrão. ${\ displaystyle S ^ {n}}$

Michel Kervaire e Milnor mostraram que a 7-esfera orientada tem 28 estruturas lisas diferentes (ou 15, ignorando as orientações), e em dimensões mais altas geralmente existem muitas estruturas lisas diferentes em uma esfera. Suspeita-se que certas estruturas diferenciáveis ​​na 4-esfera, chamadas de torções de Gluck , não são isomórficas ao padrão, mas no momento não há invariantes conhecidos capazes de distinguir diferentes estruturas lisas em uma 4-esfera.

PL

Para variedades lineares por partes , a conjectura de Poincaré é verdadeira, exceto possivelmente na dimensão 4, onde a resposta é desconhecida e equivalente ao caso suave. Em outras palavras, toda variedade PL compacta de dimensão diferente de 4 que é homotopia equivalente a uma esfera é PL isomórfica a uma esfera.

Referências