Configuração (geometria) - Configuration (geometry)

Este artigo é sobre pontos e linhas. Para incidências de politopos, consulte Configuração (politopo) .
Configurações (4 3 6 2 ) (um quadrilátero completo , à esquerda) e (6 2 4 3 ) (um quadrilátero completo, à direita).

Em matemática , especificamente na geometria projetiva , uma configuração no plano consiste em um conjunto finito de pontos e um arranjo finito de linhas , de modo que cada ponto incide no mesmo número de linhas e cada linha incide no mesmo número de pontos .

Embora certas configurações específicas tenham sido estudadas anteriormente (por exemplo, por Thomas Kirkman em 1849), o estudo formal das configurações foi introduzido pela primeira vez por Theodor Reye em 1876, na segunda edição de seu livro Geometrie der Lage , no contexto de uma discussão sobre Teorema de Desargues . Ernst Steinitz escreveu sua dissertação sobre o assunto em 1894, e ela foi popularizada pelo livro de Hilbert e Cohn-Vossen de 1932, Anschauliche Geometrie , reimpresso em inglês ( Hilbert & Cohn-Vossen 1952 ).

As configurações podem ser estudadas como conjuntos concretos de pontos e linhas em uma geometria específica, como os planos euclidianos ou projetivos (diz-se que são realizáveis naquela geometria), ou como um tipo de geometria de incidência abstrata . No último caso, eles estão intimamente relacionados a hipergrafos regulares e gráficos bipartidos biregulares , mas com algumas restrições adicionais: cada dois pontos da estrutura de incidência podem ser associados a no máximo uma linha, e cada duas linhas podem ser associadas a no máximo um ponto . Ou seja, a circunferência do grafo bipartido correspondente (o grafo de Levi da configuração) deve ser de pelo menos seis.

Notação

Uma configuração no plano é denotada por ( p γ ℓ π ), onde p é o número de pontos, ℓ o número de linhas, γ o número de linhas por ponto e π o número de pontos por linha. Esses números necessariamente satisfazem a equação

já que este produto é o número de incidências pontuais ( bandeiras ).

Configurações com o mesmo símbolo, digamos ( p γ ℓ π ), não precisam ser isomórficas como estruturas de incidência . Por exemplo, existem três configurações diferentes (9 3  9 3 ): a configuração Pappus e duas configurações menos notáveis.

Em algumas configurações, p = ℓ e, conseqüentemente, γ = π . Estas são chamadas de configurações simétricas ou balanceadas ( Grünbaum 2009 ) e a notação é freqüentemente condensada para evitar a repetição. Por exemplo, (9 3  9 3 ) abrevia para (9 3 ).

Exemplos

Uma configuração (10 3 ) que não é isomórfica de incidência para uma configuração de Desargues

Configurações projetivas notáveis ​​incluem o seguinte:

Dualidade de configurações

O dual projetivo de uma configuração ( p γ ℓ π ) é uma configuração ( ℓ π p γ ) na qual os papéis de "ponto" e "linha" são trocados. Tipos de configurações, portanto, vêm em pares duplos, exceto quando os resultados duplos são considerados em uma configuração isomórfica. Essas exceções são chamadas de configurações autoduais e, em tais casos, p = ℓ .

O número de ( n 3 ) configurações

O número de configurações não isomórficas do tipo ( n 3 ), começando em n = 7 , é dado pela sequência

1 , 1 , 3 , 10 , 31 , 229 , 2036, 21399, 245342, ... (sequência A001403 no OEIS )

Esses números contam configurações como estruturas de incidência abstratas, independentemente da possibilidade de realização ( Betten, Brinkmann & Pisanski 2000 ). Como Gropp (1997) discute, nove das dez (10 3 ) configurações, e todas as (11 3 ) e (12 3 ) configurações, são realizáveis ​​no plano euclidiano, mas para cada n ≥ 16 há pelo menos uma configuração não realizável ( n 3 ). Gropp também aponta um erro duradouro nesta sequência: um artigo de 1895 tentou listar todas as (12 3 ) configurações e encontrou 228 delas, mas a 229ª configuração não foi descoberta até 1988.

Construções de configurações simétricas

Existem várias técnicas para construir configurações, geralmente a partir de configurações conhecidas. Algumas das técnicas mais simples constroem configurações simétricas ( p γ ).

Qualquer plano projetivo finito de ordem n é uma configuração (( n 2 + n + 1) n + 1 ) . Seja Π um plano projetivo de ordem n . Remova de Π um ponto P e todas as linhas de Π que passam por P (mas não os pontos que se encontram nessas linhas, exceto P ) e remova uma linha ℓ que não passa por P e todos os pontos que estão na linha ℓ . O resultado é uma configuração do tipo (( n 2 - 1) n ) . Se, nesta construção, a linha ℓ é escolhida para ser uma linha que passa por P , então a construção resulta em uma configuração do tipo (( n 2 ) n ) . Uma vez que se sabe que existem planos projetivos para todas as ordens n que são potências de primos, essas construções fornecem famílias infinitas de configurações simétricas.

Nem todas as configurações são realizáveis, por exemplo, uma configuração (43 7 ) não existe. No entanto, Gropp (1990) forneceu uma construção que mostra que para k ≥ 3 , uma configuração ( p k ) existe para todo p ≥ 2 ℓ k + 1 , onde ℓ k é o comprimento de uma régua de Golomb ótima de ordem k .

Configurações não convencionais

Dimensões superiores

O Schläfli duplo seis .

O conceito de configuração pode ser generalizado para dimensões superiores Gévay (2014) , por exemplo para pontos e linhas ou planos no espaço . Nesses casos, as restrições de que dois pontos não pertençam a mais de uma linha podem ser relaxadas, pois é possível que dois pontos pertençam a mais de um plano.

Configurações tridimensionais notáveis ​​são a configuração de Möbius , que consiste em dois tetraedros mutuamente inscritos, a configuração de Reye , consistindo de doze pontos e doze planos, com seis pontos por plano e seis planos por ponto, a configuração Gray consistindo de um 3 × 3 × 3 grade de 27 pontos e as 27 linhas ortogonais através deles, e o Schläfli duplo seis , uma configuração com 30 pontos, 12 linhas, duas linhas por ponto e cinco pontos por linha.

Configurações topológicas

A configuração no plano projetivo que é realizada por pontos e pseudolinas é chamada de configuração topológica Grünbaum (2009) . Por exemplo, sabe-se que não existem configurações ponto-linha (19 4 ), porém, existe uma configuração topológica com esses parâmetros.

Configurações de pontos e círculos

Outra generalização do conceito de configuração diz respeito às configurações de pontos e círculos, sendo um exemplo notável a configuração de (8 3 6 4 ) Miquel Grünbaum (2009) .

Veja também

  • Configuração de Perles , um conjunto de 9 pontos e 9 linhas que nem todos têm o mesmo número de incidências entre si

Notas

Referências

  • Berman, Leah W. , "Movable ( n 4 ) configurations" , The Electronic Journal of Combinatorics , 13 (1): R104.
  • Betten, A; Brinkmann, G .; Pisanski, T. (2000), "Counting symmetric configurations", Discrete Applied Mathematics , 99 (1-3): 331-338, doi : 10.1016 / S0166-218X (99) 00143-2.
  • Boben, Marko; Gévay, Gábor; Pisanski, T. (2015), "configuração de Danzer revisitada", Advances in Geometry , 15 (4): 393-408.
  • Coxeter, HSM (1999), "Self-dual configurations and regular graphs", The Beauty of Geometry , Dover, ISBN 0-486-40919-8
  • Dembowski, Peter (1968), geometrias finitas , Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete , Band 44, Berlin, New York: Springer-Verlag , ISBN 3-540-61786-8, MR  0233275
  • Gévay, Gábor (2014), "Constructions for large point-line (n k ) configurations", Ars Mathematica Contemporanea , 7 : 175-199.
  • Gropp, Harald (1990), "Sobre a existência e não existência de configurações n k ", Journal of Combinatorics and Information System Science , 15 : 34-48
  • Gropp, Harald (1997), "Configurations and their realization", Discrete Mathematics , 174 (1-3): 137-151, doi : 10.1016 / S0012-365X (96) 00327-5.
  • Grünbaum, Branko (2006), "Configurações de pontos e linhas", em Davis, Chandler; Ellers, Erich W. (eds.), The Coxeter Legacy: Reflections and Projections , American Mathematical Society, pp. 179-225.
  • Grünbaum, Branko (2008), "Musing on an example of Danzer", European Journal of Combinatorics , 29 : 1910-1918.
  • Grünbaum, Branko (2009), Configurations of Points and Lines , Graduate Studies in Mathematics , 103 , American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-4308-6.
  • Hilbert, David ; Cohn-Vossen, Stephan (1952), Geometry and the Imagination (2ª ed.), Chelsea, pp. 94-170, ISBN 0-8284-1087-9.
  • Kelly, LM (1986), "A resolution of the Sylvester-Gallai problem of JP Serre", Discrete and Computational Geometry , 1 (1): 101-104, doi : 10.1007 / BF02187687.
  • Pisanski, Tomaž ; Servatius, Brigitte (2013), Configurations from a Graphical Viewpoint , Springer, ISBN 9780817683641.

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